Sistema integrável - Integrable system

Em matemática, a integrabilidade é uma propriedade de certos sistemas dinâmicos . Embora existam várias definições formais distintas, informalmente falando, um sistema integrável é um sistema dinâmico com um número suficiente de quantidades conservadas , ou integrais iniciais , de modo que seu comportamento tenha muito menos graus de liberdade do que a dimensionalidade de seu espaço de fase ; ou seja, sua evolução é restrita a uma subvariedade dentro de seu espaço de fase.

Três recursos são frequentemente referidos como caracterizando sistemas integráveis:

• a existência de um conjunto máximo de quantidades conservadas (a propriedade de definição usual de integrabilidade completa )
• a existência de invariantes algébricos , tendo uma base na geometria algébrica (uma propriedade conhecida às vezes como integrabilidade algébrica )
• a determinação explícita de soluções em uma forma funcional explícita (não uma propriedade intrínseca, mas algo frequentemente referido como solucionabilidade )

Os sistemas integráveis ​​podem ser vistos como muito diferentes em caráter qualitativo dos sistemas dinâmicos mais genéricos , que são sistemas mais tipicamente caóticos . Os últimos geralmente não têm quantidades conservadas e são assintoticamente intratáveis, uma vez que uma perturbação arbitrariamente pequena nas condições iniciais pode levar a desvios arbitrariamente grandes em suas trajetórias ao longo de um tempo suficientemente grande.

A integrabilidade completa é, portanto, uma propriedade não genérica dos sistemas dinâmicos. No entanto, muitos sistemas estudados em física são completamente integráveis, em particular, no sentido hamiltoniano , sendo o exemplo chave osciladores harmônicos multidimensionais. Outro exemplo padrão é o movimento planetário em torno de um centro fixo (por exemplo, o sol) ou de dois. Outros exemplos elementares incluem o movimento de um corpo rígido em torno de seu centro de massa (o topo de Euler ) e o movimento de um corpo rígido simétrico axialmente em torno de um ponto em seu eixo de simetria (o topo de Lagrange ).

A teoria moderna dos sistemas integráveis ​​foi revivida com a descoberta numérica dos solitons por Martin Kruskal e Norman Zabusky em 1965, o que levou ao método da transformada de espalhamento inverso em 1967. Foi percebido que existem sistemas completamente integráveis na física com um número infinito de graus de liberdade, como alguns modelos de ondas de água rasas ( equação de Korteweg – de Vries ), o efeito Kerr nas fibras ópticas, descrito pela equação de Schrödinger não linear , e certos sistemas integráveis ​​de muitos corpos, como a rede de Toda .

No caso especial de sistemas hamiltonianos, se houver um número suficiente de integrais de comutação de Poisson independentes para que os parâmetros de fluxo possam servir como um sistema de coordenadas nos conjuntos de nível invariante (as folhas da foliação Lagrangiana ), e se os fluxos forem completos e o nível de energia definido é compacto, isso implica o teorema de Liouville-Arnold ; ou seja, a existência de variáveis ​​de ângulo de ação . Os sistemas dinâmicos gerais não possuem tais quantidades conservadas; no caso de sistemas hamiltonianos autônomos , a energia é geralmente a única, e nos conjuntos de nível de energia, os fluxos são tipicamente caóticos.

Um ingrediente chave na caracterização de sistemas integráveis ​​é o teorema de Frobenius , que afirma que um sistema é Frobenius integrável (isto é, é gerado por uma distribuição integrável) se, localmente, ele tem uma foliação por variedades integrais máximas. Mas a integrabilidade, no sentido de sistemas dinâmicos , é uma propriedade global, não local, uma vez que requer que a foliação seja regular, com as folhas embutidas em subvariedades.

Os sistemas integráveis ​​não têm necessariamente soluções que possam ser expressas de forma fechada ou em termos de funções especiais ; no sentido presente, integrabilidade é uma propriedade da geometria ou topologia das soluções do sistema no espaço de fase.

Sistemas dinâmicos gerais

No contexto de sistemas dinâmicos diferenciáveis , a noção de integrabilidade refere-se à existência de folheações regulares e invariantes ; ou seja, aquelas cujas folhas são subvariedades embutidas da menor dimensão possível que são invariantes sob o fluxo . Existe, portanto, uma noção variável do grau de integrabilidade, dependendo da dimensão das folhas da foliação invariante. Este conceito tem um refinamento no caso dos sistemas hamiltonianos , conhecido como integrabilidade completa no sentido de Liouville (ver abaixo), que é o que é mais frequentemente referido neste contexto.

Uma extensão da noção de integrabilidade também é aplicável a sistemas discretos, como reticulados. Esta definição pode ser adaptada para descrever equações de evolução que são sistemas de equações diferenciais ou equações de diferenças finitas .

A distinção entre sistemas dinâmicos integráveis ​​e não integráveis ​​tem a implicação qualitativa de movimento regular versus movimento caótico e, portanto, é uma propriedade intrínseca, não apenas uma questão de se um sistema pode ser explicitamente integrado na forma exata.

Sistemas hamiltonianos e integrabilidade Liouville

No cenário especial de sistemas hamiltonianos , temos a noção de integrabilidade no sentido de Liouville . (Veja o teorema de Liouville-Arnold .) Integrabilidade de Liouville significa que existe uma foliação regular do espaço de fase por variedades invariantes, de modo que os campos vetoriais hamiltonianos associados aos invariantes da foliação abrangem a distribuição tangente. Outra maneira de afirmar isso é que existe um conjunto máximo de invariantes comutáveis ​​de Poisson (isto é, funções no espaço de fase cujos colchetes de Poisson com o hamiltoniano do sistema, e entre si, desaparecem).

Em dimensões finitas, se o espaço de fase é simplético (ou seja, o centro da álgebra de Poisson consiste apenas em constantes), ele deve ter dimensão par , e o número máximo de invariantes comutáveis ​​de Poisson independentes (incluindo o próprio hamiltoniano) é . As folhas da foliação são totalmente isotrópicas em relação à forma simplética e tal foliação isotrópica máxima é chamada de Lagrangiana . Todos os sistemas hamiltonianos autônomos (ou seja, aqueles para os quais os colchetes hamiltoniano e de Poisson não são explicitamente dependentes do tempo) têm pelo menos um invariante; a saber, o próprio hamiltoniano, cujo valor ao longo do fluxo é a energia. Se os conjuntos de níveis de energia são compactos, as folhas da foliação Lagrangiana são toros, e as coordenadas lineares naturais sobre elas são chamadas de variáveis ​​de "ângulo". Os ciclos da forma- canônica são chamados de variáveis ​​de ação, e as coordenadas canônicas resultantes são chamadas de variáveis ​​de ângulo de ação (veja abaixo). ${\ displaystyle 2n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle 1}$

Há também uma distinção entre integrabilidade completa , no sentido de Liouville , e integrabilidade parcial, bem como uma noção de superintegrabilidade e superintegrabilidade máxima. Essencialmente, essas distinções correspondem às dimensões das folhas da foliação. Quando o número de invariantes de comutação de Poisson independentes é menor que o máximo (mas, no caso de sistemas autônomos, mais de um), dizemos que o sistema é parcialmente integrável. Quando existem outros invariantes funcionalmente independentes, além do número máximo que pode ser comutação de Poisson e, portanto, a dimensão das folhas da foliação invariante é menor que n, dizemos que o sistema é superintegrável . Se houver uma foliação regular com folhas unidimensionais (curvas), isso é chamado de superintegrável maximamente.

Variáveis ​​de ângulo de ação

Quando um sistema hamiltoniano de dimensão finita é completamente integrável no sentido de Liouville, e os conjuntos de níveis de energia são compactos, os fluxos são completos e as folhas da foliação invariante são tori . Existem então, como mencionado acima, conjuntos especiais de coordenadas canônicas no espaço de fase conhecido como variáveis ​​de ângulo de ação , de modo que os toros invariantes são os conjuntos de nível de junta das variáveis ​​de ação . Estes, portanto, fornecem um conjunto completo de invariantes do fluxo hamiltoniano (constantes de movimento), e as variáveis ​​de ângulo são as coordenadas periódicas naturais no toro. O movimento nos toros invariantes, expresso em termos dessas coordenadas canônicas, é linear nas variáveis ​​de ângulo.

A abordagem Hamilton-Jacobi

Na teoria da transformação canônica , existe o método de Hamilton – Jacobi , no qual as soluções para as equações de Hamilton são buscadas encontrando primeiro uma solução completa da equação de Hamilton – Jacobi associada . Na terminologia clássica, isso é descrito como a determinação de uma transformação em um conjunto canônico de coordenadas que consiste em variáveis ​​completamente ignoráveis; isto é, aqueles em que não há dependência do hamiltoniano em um conjunto completo de coordenadas canônicas de "posição" e, portanto, os momentos correspondentes canonicamente conjugados são todos quantidades conservadas. No caso de conjuntos compactos de nível de energia, este é o primeiro passo para determinar as variáveis ​​do ângulo de ação . Na teoria geral das equações diferenciais parciais do tipo Hamilton-Jacobi , uma solução completa (ou seja, aquela que depende de n constantes independentes de integração, onde n é a dimensão do espaço de configuração), existe em casos muito gerais, mas apenas no sentido local. Portanto, a existência de uma solução completa da equação de Hamilton-Jacobi não é de forma alguma uma caracterização da integrabilidade completa no sentido de Liouville. A maioria dos casos que podem ser "explicitamente integrados" envolve uma separação completa de variáveis , na qual as constantes de separação fornecem o conjunto completo de constantes de integração necessárias. Somente quando essas constantes podem ser reinterpretadas, dentro da configuração do espaço de fase completa, como os valores de um conjunto completo de funções de comutação de Poisson restritas às folhas de uma foliação de Lagrange, o sistema pode ser considerado como completamente integrável no sentido de Liouville.

Solitons e métodos espectrais inversos

Um ressurgimento do interesse em sistemas integráveis ​​clássicos veio com a descoberta, no final dos anos 1960, de que os solitons , que são soluções localizadas de equações diferenciais parciais fortemente estáveis, como a equação de Korteweg-de Vries (que descreve a dinâmica de fluidos não dissipativa unidimensional em bacias rasas), pode ser entendido vendo essas equações como sistemas hamiltonianos integráveis ​​de dimensão infinita. Seu estudo leva a uma abordagem muito frutífera para "integrar" tais sistemas, a transformada de espalhamento inverso e métodos espectrais inversos mais gerais (muitas vezes redutíveis a problemas de Riemann-Hilbert ), que generalizam métodos lineares locais como a análise de Fourier para linearização não local, por meio da solução de equações integrais associadas.

A ideia básica deste método é introduzir um operador linear que é determinado pela posição no espaço de fase e que evolui sob a dinâmica do sistema em questão de tal forma que seu "espectro" (em um sentido adequadamente generalizado) seja invariante sob a evolução, cf. Par relaxado . Isso fornece, em certos casos, invariantes ou "integrais de movimento" suficientes para tornar o sistema completamente integrável. No caso de sistemas com um número infinito de graus de liberdade, como a equação KdV, isso não é suficiente para tornar precisa a propriedade de integrabilidade de Liouville. No entanto, para condições de contorno adequadamente definidas, a transformação espectral pode, de fato, ser interpretada como uma transformação para coordenadas completamente ignoráveis , em que as quantidades conservadas formam a metade de um conjunto duplamente infinito de coordenadas canônicas, e o fluxo se lineariza nestas. Em alguns casos, isso pode até ser visto como uma transformação para variáveis ​​de ângulo de ação, embora normalmente apenas um número finito das variáveis ​​de "posição" sejam realmente coordenadas de ângulo e o resto não seja compacto.

Equações e funções bilineares de Hirota ${\ displaystyle \ tau}$

Outro ponto de vista que surgiu na teoria moderna dos sistemas integráveis ​​originou-se de uma abordagem de cálculo iniciada por Ryogo Hirota , que envolvia a substituição do sistema dinâmico não linear original por um sistema bilinear de equações de coeficientes constantes para uma quantidade auxiliar, que mais tarde veio a ser conhecido como o -função . Elas agora são chamadas de equações de Hirota . Embora originalmente aparecendo apenas como um dispositivo de cálculo, sem qualquer relação clara com a abordagem de espalhamento inverso , ou a estrutura hamiltoniana, isso, no entanto, forneceu um método muito direto do qual classes importantes de soluções, como os solitons, poderiam ser derivadas. ${\ displaystyle \ tau}$

Posteriormente, isso foi lindamente interpretado, por Mikio Sato e seus alunos, primeiro para o caso de hierarquias integráveis ​​de PDE's, como a hierarquia Kadomtsev-Petviashvili , mas depois para classes muito mais gerais de hierarquias integráveis, como uma espécie de fase universal abordagem espacial , na qual, tipicamente, as dinâmicas de comutação eram vistas simplesmente como determinadas por uma ação de grupo abeliana fixa (finita ou infinita) em uma variedade de Grassmann (finita ou infinita). A função -foi vista como o determinante de um operador de projeção de elementos da órbita do grupo para alguma origem dentro do Grassmanniano, e as equações de Hirota como expressando as relações de Plucker , caracterizando a incorporação de Plücker do Grassmanniano na projetivizatina de um adequadamente definido ( infinito) espaço exterior, visto como um espaço Fock fermiônico . ${\ displaystyle \ tau}$

Sistemas quânticos integráveis

Também existe uma noção de sistemas quânticos integráveis.

No cenário quântico, as funções no espaço de fase devem ser substituídas por operadores auto-adjuntos em um espaço de Hilbert , e a noção de funções de comutação de Poisson substituída por operadores de comutação. A noção de leis de conservação deve ser especializada nas leis de conservação locais . Cada hamiltoniano tem um conjunto infinito de quantidades conservadas dadas por projetores a seus autoestados de energia . No entanto, isso não implica qualquer estrutura dinâmica especial.

Para explicar a integrabilidade quântica, é útil considerar o ajuste de partículas livres. Aqui, todas as dinâmicas são redutíveis por um corpo. Um sistema quântico é considerado integrável se a dinâmica for redutível por dois corpos. A equação de Yang-Baxter é uma consequência dessa redutibilidade e leva a identidades traço que fornecem um conjunto infinito de quantidades conservadas. Todas essas idéias são incorporadas ao método de espalhamento inverso quântico, onde o algébrico Bethe ansatz pode ser usado para obter soluções explícitas. Exemplos de modelos quânticos integráveis ​​são o modelo Lieb-Liniger , o modelo Hubbard e várias variações do modelo Heisenberg . Alguns outros tipos de integrabilidade quântica são conhecidos em problemas quânticos explicitamente dependentes do tempo, como o modelo de Tavis-Cummings dirigido.

Modelos exatamente solucionáveis

Na física, sistemas completamente integráveis, especialmente no cenário de dimensão infinita, são freqüentemente chamados de modelos exatamente solucionáveis. Isso obscurece a distinção entre integrabilidade no sentido hamiltoniano e o sentido de sistemas dinâmicos mais geral.

Existem também modelos exatamente solucionáveis ​​na mecânica estatística, que estão mais intimamente relacionados aos sistemas quânticos integráveis ​​do que os clássicos. Dois métodos intimamente relacionados: a abordagem Bethe ansatz , em seu sentido moderno, baseada nas equações de Yang-Baxter e o método de espalhamento inverso quântico fornecem análogos quânticos dos métodos espectrais inversos. Eles são igualmente importantes no estudo de modelos solucionáveis ​​em mecânica estatística.

Uma noção imprecisa de "solubilidade exata" como significado: "As soluções podem ser expressas explicitamente em termos de algumas funções previamente conhecidas" também é às vezes usada, como se isso fosse uma propriedade intrínseca do próprio sistema, ao invés do recurso puramente calculacional que Acontece que temos algumas funções "conhecidas" disponíveis, em termos das quais as soluções podem ser expressas. Esta noção não tem significado intrínseco, uma vez que o que se entende por funções "conhecidas" muitas vezes é definido precisamente pelo fato de que elas satisfazem certas equações dadas, e a lista de tais "funções conhecidas" está crescendo constantemente. Embora tal caracterização de "integrabilidade" não tenha validade intrínseca, frequentemente implica o tipo de regularidade que se espera em sistemas integráveis.

Lista de alguns sistemas integráveis ​​clássicos bem conhecidos

Sistemas mecânicos clássicos (espaço de fase de dimensão finita)

• Osciladores harmônicos em n dimensões
• Movimento da força central ( soluções exatas dos problemas clássicos da força central )
• Movimento gravitacional newtoniano de dois centros
• Movimento geodésico em elipsóides
• Oscilador Neumann
• Lagrange, Euler e Kovalevskaya tops
• Sistemas Clebsch e Steklov integráveis ​​em fluidos
• Modelo Calogero – Moser – Sutherland

Modelos de rede integráveis

• Toda treliça
• Treliça de Ablowitz-Ladik
• Malha de Volterra
• Equação de Korteweg-de Vries
• Equação Sine-Gordon
• Equação de Schrödinger não linear
• Sistema AKNS
• Equação de Boussinesq (ondas de água)
• Equação Camassa-Holm
• Modelos sigma não lineares
• Modelo clássico de ferromagneto de Heisenberg (cadeia de spin)
• Sistema de rotação de Gaudin clássico (sistema Garnier)
• Equação de Kaup-Kupershmidt
• Equação de Krichever-Novikov
• Equação de Landau-Lifshitz (campo de rotação contínua)
• Equação de Benjamin-Ono
• Equação Degasperis-Procesi
• Equação Dym
• Modelo maciço Thirring
• Equação de três ondas

PDEs integráveis ​​em 2 + 1 dimensões

• Equação de Kadomtsev-Petviashvili
• Equação de Davey-Stewartson
• Equação de Ishimori
• Equação de Novikov-Veselov
• A transformada de Belinski-Zakharov gera um par Lax para as equações de campo de Einstein ; soluções gerais são chamadas de solitons gravitacionais , das quais a métrica de Schwarzschild , a métrica de Kerr e algumas soluções de ondas gravitacionais são exemplos.

Veja também

• Sistema Hitchin

Áreas relacionadas

• Física matemática
• Soliton
• Painleve transcendents
• Mecânica estatística
• Algoritmo integrável

Alguns contribuidores importantes (desde 1965)

Referências

• Arnold, VI (1997). Métodos Matemáticos de Mecânica Clássica (2ª ed.). Springer. ISBN 978-0-387-96890-2.
• Audin, M. (1996). Spinning Tops: Um Curso de Sistemas Integráveis . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 51 . Cambridge University Press . ISBN 978-0521779197.
• Babelon, O .; Bernard, D .; Talon, M. (2003). Introdução aos sistemas integráveis ​​clássicos . Cambridge University Press . doi : 10.1017 / CBO9780511535024 . ISBN 0-521-82267-X.
• Baxter, RJ (1982). Modelos exatamente resolvidos em mecânica estatística . Academic Press. ISBN 978-0-12-083180-7.
• Dunajski, M. (2009). Solitons, Instantons e Twistors . Oxford University Press . ISBN 978-0-19-857063-9.
• Faddeev, LD ; Takhtajan, LA (1987). Métodos Hamiltonianos na Teoria das Solitons . Addison-Wesley. ISBN 978-0-387-15579-1.
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• Fomenko, AT ; Bolsinov, AV (2003). Sistemas Hamiltonianos Integráveis: Geometria, Topologia, Classificação . Taylor e Francis. ISBN 978-0-415-29805-6.
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• Sardanashvily, G. (2015). Handbook of Integrable Hamiltonian Systems . URSS. ISBN 978-5-396-00687-4.

Leitura adicional

• Beilinson, A .; Drinfeld, V. "Quantization of Hitchin's integrable system and Hecke eigensheaves" (PDF) .
• Donagi, R .; Markman, E. (1996). "Coberturas espectrais, algebricamente completamente integráveis, sistemas hamiltonianos e módulos de feixes". Sistemas integráveis ​​e grupos quânticos . Springer. pp. 1–119. doi : 10.1007 / BFb0094792 .
• Sonnad, Kiran G .; Cary, John R. (2004). "Encontrar uma rede não linear com integrabilidade melhorada usando a teoria de perturbação por transformada de Lie". Physical Review E . 69 (5): 056501. bibcode : 2004PhRvE..69e6501S . doi : 10.1103 / PhysRevE.69.056501 .

links externos

• "Integrable system" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• "SIDE - Simetrias e Integrabilidade de Equações de Diferença" , uma conferência dedicada ao estudo de equações de diferenças integráveis ​​e tópicos relacionados.

Notas