Espaço Teichmüller - Teichmüller space

Em matemática , o espaço de Teichmüller de um (real) topológica (ou diferencial) de superfície , é um espaço que parametriza estruturas complexas no -se à acção de Homeomorfismos que são isotópica para o homeomorphism identidade . Os espaços Teichmüller têm o nome de Oswald Teichmüller . ${\ displaystyle T (S)}$ ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$

Cada ponto em um espaço de Teichmüller pode ser considerado uma classe de isomorfismo de superfícies de Riemann "marcadas" , onde uma "marcação" é uma classe de isotopia de homeomorfismos de si mesmo. Pode ser visto como um espaço de módulos para uma estrutura hiperbólica marcada na superfície, e isso o confere com uma topologia natural para a qual é homeomórfico a uma bola de dimensão para uma superfície do gênero . Desta forma, o espaço de Teichmüller pode ser visto como o orbifold de cobertura universal do espaço dos módulos de Riemann . ${\ displaystyle T (S)}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle 6g-6}$${\ displaystyle g \ geq 2}$

O espaço Teichmüller tem uma estrutura múltipla complexa canônica e uma riqueza de métricas naturais . O estudo das características geométricas dessas várias estruturas é um corpo ativo de pesquisa.

História

Espaços moduli para superfícies de Riemann e grupos fuchsianos relacionados têm sido estudados desde o trabalho de Bernhard Riemann (1826-1866), que sabia que parâmetros eram necessários para descrever as variações de estruturas complexas em uma superfície do gênero . O estudo inicial do espaço de Teichmüller, no final do século XIX e início do século XX, era geométrico e baseado na interpretação das superfícies de Riemann como superfícies hiperbólicas. Entre os principais contribuintes estavam Felix Klein , Henri Poincaré , Paul Koebe , Jakob Nielsen , Robert Fricke e Werner Fenchel . ${\ displaystyle 6g-6}$${\ displaystyle g \ geq 2}$

A principal contribuição de Teichmüller para o estudo dos módulos foi a introdução de mapeamentos quase-formais para o assunto. Permitem aprofundar o estudo dos espaços de módulos, dotando-os de características adicionais que não estavam presentes nas obras anteriores, mais elementares. Após a Segunda Guerra Mundial, o assunto foi desenvolvido ainda mais nesta veia analítica, em particular por Lars Ahlfors e Lipman Bers . A teoria continua ativa, com numerosos estudos da complexa estrutura do espaço de Teichmüller (introduzida por Bers).

A veia geométrica no estudo do espaço de Teichmüller foi revivida após o trabalho de William Thurston no final dos anos 1970, que introduziu uma compactificação geométrica que ele usou em seu estudo do grupo de classes de mapeamento de uma superfície. Outros objetos mais combinatórios associados a este grupo (em particular o complexo de curvas ) também foram relacionados ao espaço de Teichmüller, e este é um assunto muito ativo de pesquisa na teoria geométrica de grupos .

Definições

Espaço Teichmüller de estruturas complexas

Let Ser uma superfície lisa orientável (uma variedade diferenciável de dimensão 2). Informalmente o espaço de Teichmüller é o espaço das estruturas superficiais de Riemann até a isotopia . ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle T (S)}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$

Formalmente, pode ser definido como segue. Duas estruturas complexas em são consideradas equivalentes se houver um difeomorfismo tal que: ${\ displaystyle X, Y}$${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle f \ in \ operatorname {Diff} (S)}$

• É holomórfico (o diferencial é linear complexo em cada ponto, para as estruturas na fonte e no alvo);${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$
• é isotópico à identidade de (existe um mapa contínuo de tal forma que .${\ displaystyle S}$${\ displaystyle \ gamma: [0,1] \ to \ operatorname {Diff} (S)}$${\ displaystyle \ gamma (0) = f, \ gamma (1) = \ mathrm {Id}}$

Então é o espaço das classes de equivalência de estruturas complexas para esta relação. ${\ displaystyle T (S)}$${\ displaystyle S}$

Outra definição equivalente é a seguinte: é o espaço de pares onde está uma superfície de Riemann e um difeomorfismo, e dois pares são considerados equivalentes se for isotópico a um difeomorfismo holomórfico. Esse par é chamado de superfície de Riemann marcada ; a marcação é o difeomeorfismo; outra definição de marcações é por sistemas de curvas. ${\ displaystyle T (S)}$${\ displaystyle (X, g)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle g: S \ to X}$${\ displaystyle (X, g), (Y, h)}$${\ displaystyle h \ circ g ^ {- 1}: X \ a Y}$

Existem dois exemplos simples que são imediatamente calculados a partir do teorema de uniformização : há uma estrutura complexa única na esfera (ver esfera de Riemann ) e há duas em (o plano complexo e o disco unitário) e em cada caso o grupo de difeomorfismos é contrátil . Assim, o espaço de Teichmüller de é um único ponto e o de contém exatamente dois pontos. ${\ displaystyle \ mathbb {S} ^ {2}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ displaystyle \ mathbb {S} ^ {2}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$

Um exemplo um pouco mais envolvido é o anel aberto , para o qual o espaço de Teichmüller é o intervalo (a estrutura complexa associada é a superfície de Riemann ). ${\ displaystyle [0,1)}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ {z \ in \ mathbb {C}: \ lambda <| z | <\ lambda ^ {- 1} \}}$

O espaço de Teichmüller do toro e métricas planas

O próximo exemplo é o toro. Neste caso, qualquer estrutura complexa pode ser realizada por uma superfície de Riemann da forma (uma curva elíptica complexa ) para um número complexo onde ${\ displaystyle \ mathbb {T} ^ {2} = \ mathbb {R} ^ {2} / \ mathbb {Z} ^ {2}.}$${\ displaystyle \ mathbb {C} / (\ mathbb {Z} + \ tau \ mathbb {Z})}$${\ displaystyle \ tau \ in \ mathbb {H}}$

${\ displaystyle \ mathbb {H} = \ {z \ in \ mathbb {C}: \ operatorname {Im} (z)> 0 \},}$

é o complexo semiplano superior. Então temos uma bijeção:

${\ displaystyle \ mathbb {H} \ longrightarrow T (\ mathbb {T} ^ {2})}$

${\ displaystyle \ tau \ longmapsto (\ mathbb {C} / (\ mathbb {Z} + \ tau \ mathbb {Z}), (x, y) \ mapsto x + \ tau y)}$

e, portanto, o espaço Teichmüller de é${\ displaystyle \ mathbb {T} ^ {2}}$${\ displaystyle \ mathbb {H}.}$

Se nos identificarmos com o plano euclidiano, então cada ponto no espaço de Teichmüller também pode ser visto como uma estrutura plana marcada em. Assim, o espaço de Teichmüller está em bijeção com o conjunto de pares onde é uma superfície plana e é um difeomorfismo até a isotopia . ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$${\ displaystyle \ mathbb {T} ^ {2}.}$${\ displaystyle (M, f)}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle f: \ mathbb {T} ^ {2} \ para M}$${\ displaystyle f}$

Superfícies de tipo finito

Estas são as superfícies para as quais o espaço de Teichmüller é mais frequentemente estudado, o que inclui superfícies fechadas. Uma superfície é do tipo finito se for difeomórfica a uma superfície compacta menos um conjunto finito. Se for uma superfície fechada do gênero, então a superfície obtida pela remoção de pontos é geralmente denotada e seu espaço de Teichmüller por${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle g}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S_ {g, k}}$${\ displaystyle T_ {g, k}.}$

Espaços de Teichmüller e métricas hiperbólicas

Cada superfície orientável de tipo finito, exceto as acima, admite métricas Riemannianas completas de curvatura constante . Para uma dada superfície de tipo finito, há uma bijeção entre tais métricas e estruturas complexas conforme segue do teorema de uniformização . Assim, se o espaço de Teichmüller pode ser percebido como o conjunto de superfícies hiperbólicas marcadas do gênero com cúspides , esse é o conjunto de pares onde é uma superfície hiperbólica e é um difeomorfismo, módulo a relação de equivalência onde e são identificados se é isotópico a uma isometria . ${\ displaystyle -1}$${\ displaystyle 2g-2 + k> 0}$${\ displaystyle T_ {g, k}}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle (M, f)}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle f: S \ a M}$${\ displaystyle (M, f)}$${\ displaystyle (N, g)}$${\ displaystyle f \ circ g ^ {- 1}}$

A topologia no espaço Teichmüller

Em todos os casos calculados acima, há uma topologia óbvia no espaço de Teichmüller. No caso geral, existem muitas maneiras naturais de topologizar , talvez a mais simples seja por meio de métricas hiperbólicas e funções de comprimento. ${\ displaystyle T (S)}$

Se é uma curva fechada na e uma superfície hiperbólica marcado então um é homotópicas para um único geodésica fechado em (até parametrização). O valor da função de comprimento associada a (a classe de homotopia de) é então: ${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle x = (M, f)}$${\ displaystyle f _ {*} \ alpha}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {x}}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ alpha}$

${\ displaystyle \ ell _ {\ alpha} (x) = \ operatorname {Comprimento} (\ alpha _ {x}).}$

Let Ser o conjunto de curvas fechadas simples on . Então o mapa ${\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$${\ displaystyle S}$

${\ displaystyle T (S) \ to \ mathbb {R} ^ {\ mathcal {S}}}$

${\ displaystyle x \ mapsto \ left (\ ell _ {\ alpha} (x) \ right) _ {\ alpha \ in {\ mathcal {S}}}}$

é uma incorporação. O espaço possui a topologia do produto e é dotado da topologia induzida . Com esta topologia é homeomórfico para${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ mathcal {S}}}$${\ displaystyle T (S)}$${\ displaystyle T (S_ {g, k})}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {6g-6 + 2k}.}$

Na verdade, pode-se obter um embedding com curvas e até mesmo . Em ambos os casos, pode-se usar a incorporação para dar uma prova geométrica do homeomorfismo acima. ${\ displaystyle 9g-9}$${\ displaystyle 6g-5 + 2k}$

Mais exemplos de pequenos espaços Teichmüller

Há uma única métrica hiperbólica completa de volume finito na esfera de três orifícios e, portanto, o espaço de Teichmüller de métrica completa de volume finito de curvatura constante é um ponto (isso também segue da fórmula de dimensão do parágrafo anterior). ${\ displaystyle T (S_ {0,3})}$

Os espaços de Teichmüller e são naturalmente realizados como o semiplano superior, como pode ser visto usando as coordenadas de Fenchel-Nielsen. ${\ displaystyle T (S_ {0,4})}$${\ displaystyle T (S_ {1,1})}$

Espaço Teichmüller e estruturas conformadas

Em vez de estruturas complexas de métricas hiperbólicas, pode-se definir o espaço de Teichmüller usando estruturas conformes . Na verdade, as estruturas conformes são iguais às estruturas complexas em duas dimensões (reais). Além disso, o Teorema de Uniformização também implica que em cada classe conforme de métricas Riemannianas em uma superfície há uma única métrica de curvatura constante.

Os espaços de Teichmüller como espaços de representação

Outra interpretação do espaço de Teichmüller é como um espaço de representação para grupos de superfície. Se é hiperbólica, do tipo finito e é o grupo fundamental de seguida espaço Teichmüller está em bijeção natural com: ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle \ Gamma = \ pi _ {1} (S)}$${\ displaystyle S}$

• O conjunto de representações injetivas com imagem discreta, até a conjugação por um elemento de , se for compacto;${\ displaystyle \ Gamma \ to \ mathrm {PSL} _ {2} (\ mathbb {R})}$${\ displaystyle \ mathrm {PSL} _ {2} (\ mathbb {R})}$${\ displaystyle S}$
• Em geral, o conjunto de tais representações, com a condição adicional de que aqueles elementos representados por curvas livremente homotópicas a um furo sejam enviados a elementos parabólicos de , novamente até a conjugação por um elemento de .${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle \ mathrm {PSL} _ {2} (\ mathbb {R})}$${\ displaystyle \ mathrm {PSL} _ {2} (\ mathbb {R})}$

O mapa envia uma estrutura hiperbólica marcada para a composição onde está a monodromia da estrutura hiperbólica e é o isomorfismo induzido por . ${\ displaystyle (M, f)}$${\ displaystyle \ rho \ circ f _ {*}}$${\ displaystyle \ rho: \ pi _ {1} (M) \ to \ mathrm {PSL} _ {2} (\ mathbb {R})}$${\ displaystyle f _ {*}: \ pi _ {1} (S) \ a \ pi _ {1} (M)}$${\ displaystyle f}$

Observe que isso é percebido como um subconjunto fechado que o confere com uma topologia. Isso pode ser usado para ver o homeomorfismo diretamente. ${\ displaystyle T (S)}$${\ displaystyle \ mathrm {PSL} _ {2} (\ mathbb {R}) ^ {2g + k-1}}$${\ displaystyle T (S) \ cong \ mathbb {R} ^ {6g-6 + 2k}}$

Esta interpretação do espaço de Teichmüller é generalizada pela teoria superior de Teichmüller , onde o grupo é substituído por um grupo de Lie semissimples arbitrário . ${\ displaystyle \ mathrm {PSL} _ {2} (\ mathbb {R})}$

Uma observação sobre categorias

Todas as definições acima podem ser feitas na categoria topológica em vez da categoria de variedades diferenciáveis, e isso não altera os objetos.

Espaços Teichmüller de dimensão infinita

Superfícies que não são do tipo finito também admitem estruturas hiperbólicas, que podem ser parametrizadas por espaços de dimensão infinita (homeomórfico a ). Outro exemplo de espaço de dimensão infinita relacionado à teoria de Teichmüller é o espaço de Teichmüller de uma laminação por superfícies. ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {N}}}$

Ação do grupo de classes de mapeamento e relação com o espaço dos módulos

O mapa para o espaço dos módulos

Há um mapa do espaço de Teichmüller para o espaço de módulos das superfícies de Riemann difeomórficas , definidas por . É um mapa de cobertura e, como está simplesmente conectado , é a cobertura orbifold universal para o espaço dos módulos. ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle (X, f) \ mapsto X}$${\ displaystyle T (S)}$

Ação do grupo de classes de mapeamento

O grupo classe de mapeamento de é o grupo coset do grupo difeomorfismo de pelo subgrupo normal daqueles que são isotópica para a identidade (a mesma definição pode ser feita com Homeomorfismos em vez de Difeomorfismos e isso não altera o grupo resultante). O grupo de difeomorfismos atua naturalmente no espaço de Teichmüller por ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle MCG (S)}$${\ displaystyle S}$

${\ displaystyle g \ cdot (X, f) \ mapsto (X, f \ circ g ^ {- 1}).}$

Se for uma classe de mapeamento e dois difeomorfismos que a representam, eles são isotópicos. Assim, as classes de e são as mesmas no espaço de Teichmüller, e a ação acima é fatorada por meio do grupo de classes de mapeamento. ${\ displaystyle \ gamma \ in MCG (S)}$${\ displaystyle g, h}$${\ displaystyle (X, f \ circ g ^ {- 1})}$${\ displaystyle (X, f \ circ h ^ {- 1})}$

A ação do grupo de classes de mapeamento no espaço de Teichmüller é apropriadamente descontínua , e o quociente é o espaço dos módulos. ${\ displaystyle MCG (S)}$

Pontos fixos

O problema de realização Nielsen pergunta se algum subgrupo finito do grupo de classes de mapeamento tem um ponto fixo global (um ponto fixado por todos os elementos do grupo) no espaço de Teichmüller. Em termos mais clássicos, a questão é: pode cada subgrupo finito de ser realizado como um grupo de isometrias de alguma métrica hiperbólica completa (ou equivalentemente como um grupo de difeomorfismos holomórficos de alguma estrutura complexa). Isso foi resolvido por Steven Kerckhoff . ${\ displaystyle MCG (S)}$${\ displaystyle S}$

Coordenadas

Coordenadas de Fenchel-Nielsen

As coordenadas Fenchel-Nielsen (assim chamadas em homenagem a Werner Fenchel e Jakob Nielsen ) no espaço de Teichmüller estão associadas a uma decomposição em calça da superfície . Esta é uma decomposição em pares de calças , e a cada curva na decomposição está associado seu comprimento na métrica hiperbólica correspondente ao ponto no espaço de Teichmüller, e outro parâmetro real chamado de torção que é mais complicado para definir. ${\ displaystyle T (S)}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$

No caso de uma superfície fechada do gênero, existem curvas em uma decomposição de calças e obtemos parâmetros, que é a dimensão de . As coordenadas de Fenchel-Nielsen de fato definem um homeomorfismo . ${\ displaystyle g}$${\ displaystyle 3g-3}$${\ displaystyle 6g-6}$${\ displaystyle T (S_ {g})}$${\ displaystyle T (S_ {g}) \ to] 0, + \ infty [^ {3g-3} \ times \ mathbb {R} ^ {3g-3}}$

No caso de uma superfície com furos, alguns pares de calças são "degenerados" (têm cúspides) e fornecem apenas dois parâmetros de comprimento e torção. Novamente, neste caso, as coordenadas de Fenchel-Nielsen definem um homeomorfismo . ${\ displaystyle T (S_ {g, k}) \ to] 0, + \ infty [^ {3g-3 + k} \ times \ mathbb {R} ^ {3g-3 + k}}$

Coordenadas de cisalhamento

Se a superfície admite triangulações ideais (cujos vértices são exatamente os furos). Pela fórmula da característica de Euler, tal triangulação tem triângulos. Uma estrutura hiperbólica em determina um difeomorfismo (único até a isotopia) enviando cada triângulo para um triângulo ideal hiperbólico , portanto, um ponto em . Os parâmetros para tal estrutura são os comprimentos de translação para cada par de lados dos triângulos colados na triangulação. Existem parâmetros em que cada um pode ter qualquer valor , e a integridade da estrutura corresponde a uma equação linear e, portanto, obtemos a dimensão certa . Essas coordenadas são chamadas de coordenadas de cisalhamento . ${\ displaystyle k> 0}$${\ displaystyle S = S_ {g, k}}$${\ displaystyle 4g-4 + 2k}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S \ a M}$${\ displaystyle T (S)}$${\ displaystyle 6g-6 + 3k}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle 6g-6 + 2k}$

Para superfícies fechadas, um par de calças pode ser decomposto como a união de dois triângulos ideais (pode ser visto como uma métrica hiperbólica incompleta na esfera de três orifícios). Assim, também obtemos coordenadas de cisalhamento . ${\ displaystyle 3g-3}$${\ displaystyle T (S_ {g})}$

Terremotos

Um caminho sísmico simples no espaço de Teichmüller é um caminho determinado pela variação de um único cisalhamento ou coordenada de Fenchel-Nielsen de comprimento (para uma triangulação ideal fixa de uma superfície). O nome vem de ver os triângulos ideais ou as calças como placas tectônicas e o cisalhamento como movimento das placas.

Mais geralmente, pode-se fazer terremotos ao longo de laminações geodésicas . Um teorema de Thurston afirma que dois pontos no espaço de Teichmüller são unidos por um caminho de terremoto único.

Teoria analítica

Mapeamentos quasiconformais

Um mapeamento quasiconformal entre duas superfícies de Riemann é um homeomorfismo que deforma a estrutura conforme de uma maneira limitada sobre a superfície. Mais precisamente, é diferenciável em quase todos os lugares e há uma constante , chamada de dilatação , tal que ${\ displaystyle K \ geq 1}$

${\ displaystyle {\ frac {| f_ {z} | + | f _ {\ bar {z}} |} {| f_ {z} | - | f _ {\ bar {z}} |}} \ leq K}$

onde estão os derivados em uma coordenada conforme e seu conjugado . ${\ displaystyle f_ {z}, f _ {\ bar {z}}}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle {\ bar {z}}}$

Existem mapeamentos quase conformes em todas as classes de isotopia e, portanto, uma definição alternativa para o espaço de Teichmüller é a seguinte. Fixe uma superfície de Riemann difeomórfica a , e o espaço de Teichmüller está em bijeção natural com as superfícies marcadas onde há um mapeamento quase-formal, até a mesma relação de equivalência acima. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle (Y, g)}$${\ displaystyle g: X \ a Y}$

Diferenciais quadráticos e a incorporação de Bers

Com a definição acima, se existe um mapa natural do espaço de Teichmüller para o espaço de soluções -equivariáveis ​​para a equação diferencial de Beltrami. Estes dão origem, via derivada de Schwarzian, a diferenciais quadráticos em . O espaço desses é um espaço complexo de dimensão complexa , e a imagem do espaço Teichmüller é um conjunto aberto. Este mapa é chamado de incorporação de Bers. ${\ displaystyle X = \ Gamma \ setminus \ mathbb {H} ^ {2}}$${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle 3g-3}$

Um diferencial quadrático ligado pode ser representado por uma superfície de translação conforme . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$

Mapeamentos de Teichmüller

O teorema de Teichmüller afirma que entre duas superfícies de Riemann marcadas e há sempre um mapeamento quase-formal único na classe de isotopia que tem dilatação mínima. Este mapa é chamado de mapeamento Teichmüller. ${\ displaystyle (X, g)}$${\ displaystyle (Y, h)}$${\ displaystyle X \ a Y}$${\ displaystyle h \ circ g ^ {- 1}}$

Na figura geométrica, isso significa que para cada duas superfícies de Riemann difeomórficas e difeomorfismo existem dois polígonos representando e um mapa afim enviando um para o outro, que tem a menor dilatação entre todos os mapas quase-formais . ${\ displaystyle X, Y}$${\ displaystyle f: X \ a Y}$${\ displaystyle X, Y}$${\ displaystyle X \ a Y}$

Métricas

A métrica Teichmüller

Se e o mapeamento de Teichmüller entre eles tem dilatação, então a distância de Teichmüller entre eles é por definição . Isso de fato define uma distância na qual induz sua topologia e para a qual está completa. Esta é a métrica mais comumente usada para o estudo da geometria métrica do espaço de Teichmüller. Em particular, é de interesse para os teóricos de grupos geométricos. ${\ displaystyle x, y \ in T (S)}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ log K}$${\ displaystyle T (S)}$

Há uma função definida de forma semelhante, usando as constantes de Lipschitz dos mapas entre superfícies hiperbólicas em vez das dilatações quase-formais, on , que não são simétricas. ${\ displaystyle T (S) \ vezes T (S)}$

A métrica Weil-Petersson

Diferenciais quadráticos em uma superfície de Riemann são identificados com o espaço tangente ao espaço de Teichmüller. A métrica Weil-Petersson é a métrica Riemanniana definida pelo produto interno em diferenciais quadráticos. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle (X, f)}$${\ displaystyle L ^ {2}}$

Compactificações

Existem várias compactificações inequivalentes de espaços de Teichmüller que foram estudadas. Várias das compactificações anteriores dependem da escolha de um ponto no espaço de Teichmüller, portanto, não são invariantes no grupo modular, o que pode ser inconveniente. William Thurston mais tarde encontrou uma compactificação sem esta desvantagem, que se tornou a compactação mais amplamente usada.

Compactificação de Thurston

Observando os comprimentos hiperbólicos de curvas fechadas simples para cada ponto no espaço de Teichmüller e tomando o fechamento no espaço projetivo (dimensão infinita), Thurston (1988) introduziu uma compactação cujos pontos no infinito correspondem a laminações projetivas medidas. O espaço compactado é homeomórfico a uma bola fechada. Esta compactação Thurston é acionada continuamente pelo grupo modular. Em particular, qualquer elemento do grupo modular tem um ponto fixo na compactação de Thurston, que Thurston usou em sua classificação dos elementos do grupo modular .

Compactificação de Bers

A compactação de Bers é dada pelo fechamento da imagem da incorporação de Bers do espaço de Teichmüller, estudada por Bers (1970) . A incorporação de Bers depende da escolha de um ponto no espaço de Teichmüller, portanto, não é invariável sob o grupo modular e, de fato, o grupo modular não atua continuamente na compactação de Bers.

Compactificação de Teichmüller

Os "pontos no infinito" na compactação de Teichmüller consistem em raios geodésicos (para a métrica de Teichmüller) começando em um ponto de base fixo. Esta compactação depende da escolha do ponto base, portanto, não é influenciada pelo grupo modular, e de fato Kerckhoff mostrou que a ação do grupo modular no espaço de Teichmüller não se estende a uma ação contínua sobre esta compactação.

Compactificação Gardiner-Masur

Gardiner e Masur (1991) consideraram uma compactificação semelhante à compactação de Thurston, mas usando comprimento extremo em vez de comprimento hiperbólico. O grupo modular atua continuamente nesta compactação, mas mostrou que sua compactação possui estritamente mais pontos no infinito.

Geometria em grande escala

Houve um extenso estudo das propriedades geométricas do espaço de Teichmüller dotado da métrica de Teichmüller. Propriedades conhecidas em grande escala incluem:

• O espaço de Teichmüller contém subespaços planos de dimensão , e não há planos de dimensão superior quase isometricamente embutidos.${\ displaystyle T (S_ {g, k})}$${\ displaystyle 3g-3 + k}$
• Em particular, se ou ou então não é hiperbólico .${\ displaystyle g> 1}$${\ displaystyle g = 1, k> 1}$${\ displaystyle g = 0, k> 4}$${\ displaystyle T (S_ {g, k})}$

Por outro lado, o espaço de Teichmüller exibe várias propriedades características dos espaços hiperbólicos, tais como:

• Algumas geodésicas se comportam como no espaço hiperbólico.
• Caminhadas aleatórias no espaço de Teichmüller convergem quase com certeza para um ponto na fronteira de Thurston.

Algumas dessas características podem ser explicadas pelo estudo de mapas do espaço de Teichmüller até o complexo da curva, que é sabidamente hiperbólica.

Geometria complexa

A incorporação de Bers fornece uma estrutura complexa como um subconjunto aberto de${\ displaystyle T (S)}$${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {3g-3}.}$

Métricas provenientes da estrutura complexa

Como o espaço de Teichmüller é uma variedade complexa, ele carrega uma métrica Carathéodory . O espaço de Teichmüller é hiperbólico Kobayashi e sua métrica Kobayashi coincide com a métrica Teichmüller. Este último resultado é usado na prova de Royden de que o grupo de classes de mapeamento é o grupo completo de isometrias para a métrica Teichmüller.

A incorporação de Bers realiza o espaço de Teichmüller como um domínio de holomorfia e, portanto, também carrega uma métrica de Bergman .

Métricas Kähler no espaço Teichmüller

A métrica Weil-Petersson é Kähler, mas não está completa.

Cheng e Yau mostraram que existe uma métrica Kähler-Einstein completa e exclusiva no espaço de Teichmüller. Possui curvatura escalar negativa constante.

O espaço de Teichmüller também carrega uma métrica Kähler completa de curvatura seccional limitada introduzida por McMullen (2000) que é Kähler-hiperbólica.

Equivalência de métricas

Com exceção da métrica Weil-Petersson incompleta, todas as métricas no espaço de Teichmüller apresentadas aqui são quase isométricas entre si.

Veja também

• Módulos de curvas algébricas
• teoria p-adica de Teichmüller
• Teoria interuniversal de Teichmüller

Referências

Fontes

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• Ratcliffe, John (2006). Fundamentos de variedades hiperbólicas, segunda edição . Springer. pp. xii + 779. ISBN 978-0387-33197-3.
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Leitura adicional

• Bers, Lipman (1981), "Finite-dimensional Teichmüller spaces and generalizations", Bulletin of the American Mathematical Society , New Series, 5 (2): 131-172, doi : 10.1090 / S0273-0979-1981-14933-8 , MR  0621883
• Gardiner, Frederick P. (1987), Teichmüller teoria e diferenciais quadráticos , Pure and Applied Mathematics (New York), New York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-84539-3, MR  0903027
• Hubbard, John Hamal (2006), Teichmüller teoria e aplicações à geometria, topologia e dinâmica. Vol. 1 , Matrix Editions, Ithaca, NY, ISBN 978-0-9715766-2-9, MR  2245223
• Papadopoulos, Athanase, ed. (2007-2016), Manual da teoria de Teichmüller. Vols. IV (PDF) , IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, 11, 13, 17, 19, 26, European Mathematical Society (EMS), Zürich, doi : 10.4171 / 029 , ISBN 978-3-03719-029-6, MR  2284826 , S2CID  9203341 O último volume contém traduções de vários documentos de Teichmüller.
• Teichmüller, Oswald (1939), "Extremale quasikonforme Abbildungen und quadratische Differentiale", Abh. Preuss. Akad. Wiss. Math.-Nat. Kl. , 1939 (22): 197, JFM  66.1252.01 , MR  0003242
• Teichmüller, Oswald (1982), Ahlfors, Lars V .; Gehring, Frederick W. (eds.), Gesammelte Abhandlungen , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-10899-3, MR  0649778
• Voitsekhovskii, MI (2001) [1994], "Teichmüller space" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press