Bipiramide - Bipyramid
Conjunto de bipiramidas n- gonais duplas uniformes | |
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Exemplo de bipirâmide hexagonal dual uniforme |
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Modelo | dual- uniforme no sentido de poliedro semiregular dual |
Diagrama de Coxeter | |
Símbolo Schläfli | {} + { n } |
Rostos | 2 n triângulos isósceles congruentes |
Arestas | 3 n |
Vértices | 2 + n |
Configuração de rosto | V4.4. n |
Grupo de simetria | D n h , [ n , 2], (* n 22), ordem 4 n |
Grupo de rotação | D n , [ n , 2] + , ( n 22), ordem 2 n |
Poliedro duplo | (convexo) prisma n- diagonal uniforme |
Propriedades | vértices regulares convexos , transitivos de face |
Internet |
Rede de bipiramide pentagonal de exemplo ( n = 5) |
Uma bipirâmide ou dipirâmide n- diagonal (simétrica) é um poliedro formado pela união de uma pirâmide n- diagonal e sua imagem espelhada de base a base. Uma bipirâmide n -gonal tem 2 n faces triangulares , 3 n arestas e 2 + n vértices.
O n -gão referenciado em nome de uma bipirâmide não é uma face, mas a base do polígono interno, situada no plano do espelho que conecta as duas metades da pirâmide. (Se fosse uma face, cada uma de suas arestas conectaria três faces em vez de duas.)
"Regular", bipiramides direitas
Uma bipirâmide "regular" tem uma base poligonal regular . Geralmente está implícito que também é uma bipiramide direita .
Uma bipirâmide direita tem seus dois ápices logo acima e logo abaixo do centro ou do centroide de sua base poligonal.
Uma bipirâmide "regular" direita (simétrica) n- diagonal tem o símbolo Schläfli {} + { n }.
Uma bipiramide direita (simétrica) tem o símbolo Schläfli {} + P , para a base poligonal P.
O direito "regular" (assim, face-transitivo ) n bipirâmide -gonal com vértices regulares é a dupla do n (assim direita) -gonal uniforme prisma , e tem congruentes triângulo isósceles rostos.
Uma bipirâmide n- diagonal "regular" direita (simétrica) pode ser projetada em uma esfera ou globo como uma bipirâmide esférica n- diagonal "regular" direita (simétrica) : n linhas igualmente espaçadas de longitude indo de pólo a pólo e um equador linha cortando- os ao meio.
Nome da bipirâmide | Bipiramide digonal |
Bipirâmide triangular (Ver: J 12 ) |
Bipirâmide quadrada (Ver: O ) |
Bipirâmide pentagonal (Ver: J 13 ) |
Bipirâmide hexagonal | Bipirâmide heptagonal | Bipirâmide octogonal | Bipiramide eneagonal | Bipirâmide decagonal | ... | Bipiramide apeirogonal |
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Imagem poliedro | ... | ||||||||||
Imagem de ladrilho esférico | Imagem de ladrilho plano | ||||||||||
Face config. | V2.4.4 | V3.4.4 | V4.4.4 | V5.4.4 | V6.4.4 | V7.4.4 | V8.4.4 | V9.4.4 | V10.4.4 | ... | V∞.4.4 |
Diagrama de Coxeter | ... |
Bipiramidas triangulares equilaterais
Apenas três tipos de bipiramides podem ter todas as arestas do mesmo comprimento (o que implica que todas as faces são triângulos equiláteros e, portanto, a bipiramida é um deltaedro ): as bipiramides "regulares" direitas (simétricas) triangulares , tetragonais e pentagonais . A bipirâmide tetragonal ou quadrada com bordas de mesmo comprimento, ou octaedro regular , conta entre os sólidos platônicos ; as bipiramides triangulares e pentagonais com arestas de mesmo comprimento contam entre os sólidos de Johnson (J 12 e J 13 ).
Nome de bipirâmide "normal" à direita (simétrico) |
Bipiramide triangular (J 12 ) |
Bipirâmide tetragonal (octaedro regular) |
Bipirâmide pentagonal (J 13 ) |
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Imagem bipiramida |
Simetria caleidoscópica
Uma bipirâmide "regular" direita (simétrica) n- diagonal tem grupo de simetria diédrica D n h , de ordem 4 n , exceto no caso de um octaedro regular , que tem o maior grupo de simetria octaédrica O h , de ordem 48, que tem três versões do D 4h como subgrupos. O grupo de rotação é D n , de ordem 2 n , exceto no caso de um octaedro regular, que possui o maior grupo de rotação O, de ordem 24, que possui três versões de D 4 como subgrupos.
As 4 n faces do triângulo de uma bipirâmide 2 n- diagonal "regular" direita (simétrica) , projetada como as 4 n faces do triângulo esférico de uma bipirâmide esférica "regular" direita (simétrica) 2 n- diagonal , representam os domínios fundamentais do diédrico simetria em três dimensões : D n h , [ n , 2], (* n 22), ordem 4 n . Esses domínios podem ser mostrados como triângulos esféricos de cores alternadas:
- em um plano de reflexão através de bordas cíclicas , os domínios da imagem no espelho estão em cores diferentes (isometria indireta);
- sobre um eixo de rotação de n vezes através de vértices opostos , um domínio e sua imagem estão na mesma cor (isometria direta).
Um n -gonal bipirâmide (simétrica) pode ser visto como o Kleetope do "correspondente" n -gonal diedro .
D n h | D 1h | D 2h | D 3h | D 4h | D 5h | D 6h | ... |
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Imagem de domínios fundamentais | ... |
Volume
Volume de uma bipirâmide (simétrica):
onde B é a área da base eh a altura do plano da base até um ápice.
Isso funciona para qualquer forma da base e para qualquer localização do vértice, desde que h seja medido como a distância perpendicular ao plano que contém a base do polígono interno. Portanto:
Volume de uma bipirâmide (simétrica) cuja base é um polígono regular de n lados com comprimento lateral s e cuja altura é h :
Bipiramidas oblíquas
As bipiramidas não direitas são chamadas de bipiramidas oblíquas .
Bipiramidas côncavas
Uma bipiramide côncava tem uma base poligonal côncava .
(*) Sua base não possui centróide óbvio ; se seus ápices não estão logo acima / abaixo do centro de gravidade de sua base, não é uma bipirâmide direita . De qualquer forma, é um octaedro côncavo.
Bipiramidas assimétricas / invertidas à direita
Uma bipiramide direita assimétrica une duas pirâmides direitas com bases congruentes, mas alturas desiguais, base a base.
Uma bipirâmide direita invertida une duas pirâmides direitas com bases congruentes, mas alturas desiguais, base a base, mas no mesmo lado de sua base comum.
O dual de uma bipirâmide direita assimétrica ou invertida é um tronco .
Uma bipiramide "regular" assimétrica / invertida à direita n- diagonal tem grupo de simetria C n v , de ordem 2 n .
Assimétrico | Invertido |
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Bipiramidas triângulo escaleno
Um " isotoxal " direita (simétrica) de di- n bipirâmide -gonal é um direito (simétrica) 2 n bipirâmide -gonal com um isotoxal base de polígono simples: os seus 2 n vértices em torno lados são coplanares, mas em alternativa dois raios.
Um "isotoxal" direita (simétrica) de di- n bipirâmide -gonal tem n eixos de duas pregas de rotação por meio de vértices, em torno de lados n planos de reflexão através de vértices e vértices, um n eixo de rotação através de vezes de vértices, um plano de reflexão através da base, e um eixo de rotação-reflexão de n vezes através dos ápices, representando o grupo de simetria D n h , [ n , 2], (* 22 n ), de ordem 4 n . (A reflexão no plano de base corresponde à reflexão de rotação de 0 °. Se n for par, há uma simetria em torno do centro, correspondendo à reflexão de rotação de 180 °.)
Todas as suas faces são triângulos escalenos congruentes e é isohedral . Ele pode ser visto como um outro tipo de di- "simétrica" direito n -gonal scalenohedron .
Nota: Para no máximo duas alturas de vértice particulares, as faces do triângulo podem ser isósceles.
Exemplo:
- A bipirâmide "isotoxal" direita (simétrica) "didigonal" (*) com vértices de base:
- U = (1,0,0), U ′ = (−1,0,0), V = (0,2,0), V ′ = (0, −2,0),
- e com ápices:
- A = (0,0,1), A ′ = (0,0, −1),
- tem dois comprimentos de borda diferentes:
- UV = UV ′ = U′V = U′V ′ = √ 5 ,
- AU = AU ′ = A′U = A′U ′ = √ 2 ,
- AV = AV ′ = A′V = A′V ′ = √ 5 ;
- portanto, todas as faces do triângulo são isósceles.
- A bipirâmide "isotoxal" direita (simétrica) "didigonal" (*) com os mesmos vértices da base, mas com altura do ápice: 2, também tem dois comprimentos de aresta diferentes: √ 5 e 2 √ 2 .
Na cristalografia , existem bipiramides "isotóxicas" à direita (simétrica) "didigonal" (*) (8 faces), ditrigonal (12 faces), ditetragonal (16 faces) e dihexagonal (24 faces).
(*) As menores di- geométricas n bipyramids -gonal tem oito faces, e são topologicamente idêntico ao octaedro regular . Neste caso (2 n = 2 × 2):
uma bipiramide direita "isotoxal" (simétrica) "didigonal" é chamada de bipiramide rômbica , embora todas as suas faces sejam triângulos escalenos, porque sua base poligonal plana é um losango.
Scalenohedra
Um escalenoedro "regular" direito "simétrico" di- n -gonal pode ser feito com uma base em ziguezague regular de 2 n -gon, dois vértices simétricos logo acima e logo abaixo do centro da base e faces de triângulo conectando cada aresta da base a cada vértice .
Possui dois ápices e 2 n vértices ao redor dos lados, 4 n faces e 6 n arestas; é topologicamente idêntico a uma bipirâmide 2 n- diagonal, mas seus 2 n vértices em torno dos lados se alternam em dois anéis acima e abaixo do centro.
Um certo "simétrica" di "normal" n scalenohedron -gonal tem n eixos de duas pregas de rotação até meados de arestas em torno lados, n planos de reflexão através de vértices e vértices, um n eixo de rotação através de vezes de vértices, e um n fold eixo rotação-reflexão através dos ápices, representando o grupo de simetria D n v = D n d , [2 + , 2 n ], (2 * n ), de ordem 4 n . (Se n for ímpar, há uma simetria em torno do centro, correspondendo à reflexão de rotação de 180 °.)
Todas as suas faces são triângulos escalenos congruentes e é isohedral . Ele pode ser visto como um outro tipo de 2 "simétrica" direito n bipirâmide -gonal, com um regulares inclinação ziguezague base de polígono.
Nota: Para no máximo duas alturas de vértice particulares, as faces do triângulo podem ser isoceles .
Na cristalografia , existem escalenoedros "regulares" à direita "simétricos" "didigonal" (8 faces) e ditrigonal (12 faces).
Os menores escalenoedros geométricos têm oito faces e são topologicamente idênticos ao octaedro regular . Neste caso (2 n = 2 × 2):
um escalenoedro "regular" direito "simétrico" "didigonal" é denominado escalenoedro tetragonal ; seus seis vértices podem ser representados como (0,0, ± 1), (± 1,0, z ), (0, ± 1, - z ), onde z é um parâmetro entre 0 e 1; em z = 0, é um octaedro regular; em z = 1, é um disfenóide com todas as faces coplanares mescladas (quatro triângulos isósceles congruentes); para z > 1, torna-se côncavo.
z = 0,1 | z = 0,25 | z = 0,5 | z = 0,95 | z = 1,5 |
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Nota: Se a base de 2 n- gon for isotoxal in-out e ziguezague skew, então nem todas as faces triangulares do sólido "isotóxico" direito "simétrico" são congruentes.
Exemplo:
- O sólido com isotoxal in-out ziguezague skew vértices de base 2 × 2 gon:
- U = (1,0,1), U ′ = (−1,0,1), V = (0,2, −1), V ′ = (0, −2, −1),
- e com vértices simétricos "certos":
- A = (0,0,3), A ′ = (0,0,3),
- tem cinco comprimentos de borda diferentes:
- UV = UV ′ = U′V = U′V ′ = 3,
- AU = AU ′ = √ 5 ,
- AV = AV ′ = 2 √ 5 ,
- A′U = A′U ′ = √ 17 ,
- A′V = A′V ′ = 2 √ 2 ;
- portanto, nem todas as faces do triângulo são congruentes.
Bipiramidas estrela "normais"
Uma bipirâmide de auto-intersecção ou estrela tem uma base de polígono em estrela .
A "regular" simétrica direito bipirâmide estrela pode ser feita com um normal base de estrela polígono, dois simétricos ápices direita acima e à direita abaixo do centro da base, e, assim, um-para-um simétrica faces triangulares conectando cada aresta base para cada vértice.
Uma bipirâmide estrela simétrica "regular" à direita tem faces triangulares isósceles congruentes e é isohedral .
Nota: Para no máximo uma altura de vértice particular, as faces do triângulo podem ser equiláteras.
Uma { p / q } -bipiramida tem diagrama de Coxeter .
Base do polígono em estrela | 5/2 -gon | 7/2-gon | 7/3 gon | 8/3 gon | 9/2-gon | 9/4 gon |
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Imagem de estrela bipirâmide | ||||||
Diagrama de Coxeter |
Base do polígono em estrela | 10/3 gon | 11/2-gon | 11/3 gon | 11/4 gon | 11/5 gon | 12/5 gon |
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Imagem de estrela bipirâmide | ||||||
Diagrama de Coxeter |
Bipiramidas estrela em triângulo escaleno
Uma bipirâmide estrela simétrica 2 p / q -gonal "isotoxal" direita pode ser feita com uma base de estrela 2 p / q -gon isotoxal , dois vértices simétricos logo acima e logo abaixo do centro da base, e, portanto, um-para- um triângulo simétrico enfrenta conectando cada aresta de base a cada vértice.
Uma estrela bipirâmide 2 p / q -gonal "isotóxica" simétrica à direita tem faces de triângulo escaleno congruente e é isohédrica . Pode ser visto como outro tipo de escalenoedro em estrela 2 p / q -gonal direito "simétrico" .
Nota: Para no máximo duas alturas de vértice particulares, as faces do triângulo podem ser isoceles.
Base do polígono em estrela | Isotoxal in-out 8/3-gon |
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Imagem de bipirâmide estrela em triângulo escaleno |
Escalenoedro estrela
A "regular" direito "simétrica" 2 p / q scalenohedron -gonal estrela pode ser feita com um regulares ziguezague inclinação estrela 2 p / q Gon base, dois simétricos ápices direita acima e à direita abaixo do centro da base, e faces triangulares ligando cada borda da base para cada vértice.
Um escalenoedro de estrela "regular" "simétrico" 2 p / q -gonal tem faces de triângulos escalenos congruentes e é isohédrico . Pode ser visto como outro tipo de estrela bipirâmide 2 p / q -gonal "simétrica" certa, com uma base poligonal de estrela inclinada em zigue-zague regular.
Nota: Para no máximo duas alturas de vértice particulares, as faces do triângulo podem ser isósceles .
Base do polígono em estrela | Inclinação regular em ziguezague 8/3 gon |
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Imagem de escalenoedro em estrela |
Nota: Se a base da estrela 2 p / q -gon for isotoxal de dentro para fora e inclinação em zigue-zague, então nem todas as faces do triângulo do poliedro estrela "isotóxico" direito "simétrico" são congruentes.
Base do polígono em estrela | Isotoxal in-out ziguezag skew 8/3-gon |
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Imagem de estrela poliedro |
Com vértices de base:
- U 0 = (1,0,1), U 1 = (0,1,1), U 2 = (−1,0,1), U 3 = (0, −1,1),
- V 0 = (2,2, −1), V 1 = (−2,2, −1), V 2 = (−2, −2, −1), V 3 = (2, −2, −1 ),
e com ápices:
- A = (0,0,3), A ′ = (0,0, −3),
tem quatro comprimentos de aresta diferentes:
- U 0 V 1 = V 1 U 3 = U 3 V 0 = V 0 U 2 = U 2 V 3 = V 3 U 1 = U 1 V 2 = V 2 U 0 = √ 17 ,
- AU 0 = AU 1 = AU 2 = AU 3 = √ 5 ,
- AV 0 = AV 1 = AV 2 = AV 3 = 2 √ 6 ,
- A′U 0 = A′U 1 = A′U 2 = A′U 3 = √ 17 ,
- A′V 0 = A′V 1 = A′V 2 = A′V 3 = 2 √ 3 ;
portanto, nem todas as faces do triângulo são congruentes.
4-politopos com células bipiramidais
O dual da retificação de cada 4-politopos regulares convexos é um 4-politopo transitivo de células com células bipiramidais. A seguir, o vértice do vértice da bipirâmide é A e um vértice do equador é E. A distância entre vértices adjacentes no equador EE = 1, o vértice para a borda do equador é AE e a distância entre os vértices é AA. O 4-politopo bipiramídico terá vértices V A onde os ápices das bipiramides N A se encontram. Ele terá vértices V E onde os vértices tipo E de N E bipiramides se encontram. As bipiramides N AE encontram-se ao longo de cada borda do tipo AE. As bipiramides N EE encontram-se ao longo de cada borda do tipo EE. C AE é o cosseno do ângulo diedro ao longo de uma aresta AE. C EE é o cosseno do ângulo diedro ao longo de uma aresta EE. Como as células devem caber em torno de uma aresta, N AA cos −1 (C AA ) ≤ 2 π , N AE cos −1 (C AE ) ≤ 2 π .
Propriedades de 4 politopos | Propriedades bipiramídicas | |||||||||||||
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Dual de |
Diagrama de Coxeter |
Células | V A | V E | N A | N E | N AE | N EE | Célula | Diagrama de Coxeter |
AA | AE ** | C AE | C EE |
5 células retificadas | 10 | 5 | 5 | 4 | 6 | 3 | 3 | Bipirâmide triangular | 0,667 | |||||
Tesserato retificado | 32 | 16 | 8 | 4 | 12 | 3 | 4 | Bipirâmide triangular | 0,624 | |||||
24 células retificadas | 96 | 24 | 24 | 8 | 12 | 4 | 3 | Bipirâmide triangular | 0,745 | |||||
120 células retificadas | 1200 | 600 | 120 | 4 | 30 | 3 | 5 | Bipirâmide triangular | 0,613 | |||||
16 células retificadas | 24 * | 8 | 16 | 6 | 6 | 3 | 3 | Bipirâmide quadrada | 1 | |||||
Favo de mel cúbico retificado | ∞ | ∞ | ∞ | 6 | 12 | 3 | 4 | Bipirâmide quadrada | 0,866 | |||||
600 células retificadas | 720 | 120 | 600 | 12 | 6 | 3 | 3 | Bipirâmide pentagonal | 1.447 |
- * As 16 células retificadas são as 24 células regulares e os vértices são todos equivalentes - os octaedros são bipiramídeos regulares.
- ** Dado numericamente devido à forma mais complexa.
Dimensões superiores
Em geral, uma bipiramide pode ser vista como um n - politopo construído com um ( n - 1) -polítopo em um hiperplano com dois pontos em direções opostas, a mesma distância perpendicular ao hiperplano. Se o ( n - 1) -polítopo for um politopo regular, ele terá facetas piramidais idênticas . Um exemplo é a de 16 células , que é uma bipiramide octaédrica e, mais geralmente, um n - ortoplexo é uma bipirâmide ( n - 1) - ortoplexo.
Uma bipirâmide bidimensional é um losango .
Veja também
Referências
Citações
Referências gerais
- Anthony Pugh (1976). Poliedros: uma abordagem visual . Califórnia: University of California Press Berkeley. ISBN 0-520-03056-7. Capítulo 4: Duplos dos poliedros arquimedianos, prisma e antiprismas
links externos
- Weisstein, Eric W. "Dipyramid" . MathWorld .
- Weisstein, Eric W. "Isohedron" . MathWorld .
- O Poliedro Uniforme
- Poliedros de Realidade Virtual A Enciclopédia de Poliedros