Teoremas de singularidade de Penrose-Hawking - Penrose–Hawking singularity theorems

Relatividade geral
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Os teoremas da singularidade de Penrose-Hawking (após Roger Penrose e Stephen Hawking ) são um conjunto de resultados na relatividade geral que tentam responder à questão de quando a gravitação produz singularidades . O teorema da singularidade de Penrose é um teorema da geometria semirriemanniana e sua interpretação relativística geral prevê uma singularidade gravitacional na formação de buracos negros. O teorema da singularidade de Hawking é baseado no teorema de Penrose e é interpretado como uma singularidade gravitacional na situação do Big Bang . Penrose recebeu o Prêmio Nobel de Física em 2020 "pela descoberta de que a formação de buracos negros é uma previsão robusta da teoria geral da relatividade", que ele compartilhou com Reinhard Genzel e Andrea Ghez .

Singularidade

A singularidade nas soluções das equações de campo de Einstein é uma de duas coisas:

  1. uma situação em que a matéria é forçada a ser comprimida até um ponto (uma singularidade semelhante ao espaço)
  2. uma situação em que certos raios de luz vêm de uma região com curvatura infinita (uma singularidade semelhante ao tempo)

As singularidades espaciais são uma característica dos buracos negros não rotativos e não carregados, conforme descrito pela métrica de Schwarzschild , enquanto as singularidades temporais são aquelas que ocorrem em soluções exatas de buracos negros carregados ou em rotação. Ambos têm a propriedade de incompletude geodésica , na qual algum caminho de luz ou algum caminho de partícula não pode ser estendido além de um certo tempo adequado ou parâmetro afim (parâmetro afim sendo o análogo nulo do tempo adequado).

O teorema de Penrose garante que algum tipo de incompletude geodésica ocorre dentro de qualquer buraco negro sempre que a matéria satisfaz as condições de energia razoáveis . A condição de energia necessária para o teorema da singularidade do buraco negro é fraca: ele diz que os raios de luz são sempre focalizados juntos pela gravidade, nunca separados, e isso é válido sempre que a energia da matéria não é negativa.

O teorema da singularidade de Hawking é para todo o universo e funciona para trás no tempo: ele garante que o Big Bang (clássico) tem densidade infinita. Este teorema é mais restrito e só se mantém quando a matéria obedece a uma condição de energia mais forte, chamada de condição de energia dominante , na qual a energia é maior do que a pressão. Toda matéria comum, com exceção de um valor de expectativa de vácuo de um campo escalar , obedece a essa condição. Durante a inflação , o universo viola a condição de energia dominante, e foi inicialmente argumentado (por exemplo, por Starobinsky) que as cosmologias inflacionárias poderiam evitar a singularidade inicial do big bang. No entanto, desde então, foi demonstrado que as cosmologias inflacionárias ainda estão no passado incompletas e, portanto, requerem física diferente da inflação para descrever o limite do passado da região em inflação do espaço-tempo.

Ainda é uma questão em aberto se a relatividade geral (clássica) prevê singularidades semelhantes ao tempo no interior de buracos negros realistas carregados ou em rotação, ou se estes são artefatos de soluções de alta simetria e se transformam em singularidades semelhantes a espaciais quando perturbações são adicionadas.

Interpretação e significado

Na relatividade geral , uma singularidade é um lugar que objetos ou raios de luz podem alcançar em um tempo finito onde a curvatura se torna infinita, ou o espaço-tempo deixa de ser uma multiplicidade . Singularidades podem ser encontradas em todos os espaços-tempos de buracos negros, na métrica de Schwarzschild , na métrica de Reissner-Nordström , na métrica de Kerr e na métrica de Kerr-Newman , e em todas as soluções cosmológicas que não têm uma energia de campo escalar ou uma constante cosmológica.

Não se pode prever o que pode "sair" de uma singularidade de big bang em nosso passado, ou o que acontece a um observador que cai "em" uma singularidade de buraco negro no futuro, portanto, eles exigem uma modificação da lei física. Antes de Penrose, era concebível que as singularidades só se formassem em situações inventadas. Por exemplo, no colapso de uma estrela para formar um buraco negro, se a estrela está girando e, portanto, possui algum momento angular , talvez a força centrífuga neutralize parcialmente a gravidade e evite a formação de uma singularidade. Os teoremas da singularidade provam que isso não pode acontecer e que uma singularidade sempre se formará quando um horizonte de eventos se formar.

No exemplo da estrela em colapso, uma vez que toda matéria e energia é uma fonte de atração gravitacional na relatividade geral, o momento angular adicional apenas une a estrela com mais força à medida que ela se contrai: a parte fora do horizonte de eventos eventualmente se estabelece em um buraco negro de Kerr (ver teorema sem cabelo ). A parte dentro do horizonte de eventos necessariamente tem uma singularidade em algum lugar. A prova é um tanto construtiva - mostra que a singularidade pode ser encontrada seguindo os raios de luz de uma superfície logo dentro do horizonte. Mas a prova não diz que tipo de singularidade ocorre, semelhante ao espaço, ao tempo, orbifold , salto de descontinuidade na métrica. Isso apenas garante que, se seguirmos as geodésicas temporais para o futuro, será impossível que o limite da região que elas formam seja gerado pelas geodésicas nulas da superfície. Isso significa que a fronteira deve vir de lugar nenhum ou todo o futuro termina em alguma extensão finita.

Uma interessante característica "filosófica" da relatividade geral é revelada pelos teoremas da singularidade. Como a relatividade geral prediz a ocorrência inevitável de singularidades, a teoria não está completa sem uma especificação do que acontece com a matéria que atinge a singularidade. Pode-se estender a relatividade geral a uma teoria de campo unificado, como o sistema Einstein-Maxwell-Dirac, onde essas singularidades não ocorrem.

Elementos dos teoremas

Na história, há uma conexão profunda entre a curvatura de uma variedade e sua topologia . O teorema de Bonnet-Myers afirma que uma variedade Riemanniana completa que tem curvatura de Ricci em todos os lugares maior do que uma certa constante positiva deve ser compacta . A condição da curvatura positiva de Ricci é mais convenientemente declarada da seguinte maneira: para cada geodésica há uma geodésica próxima inicialmente paralela que se curvará em direção a ela quando estendida, e as duas se cruzarão em algum comprimento finito.

Quando duas geodésicas paralelas próximas se cruzam, a extensão de qualquer uma delas não é mais o caminho mais curto entre os pontos finais. A razão é que dois caminhos geodésicos paralelos necessariamente colidem após uma extensão de comprimento igual e, se um caminho for seguido até a interseção, o outro, você está conectando os pontos finais por um caminho não geodésico de igual comprimento. Isso significa que para uma geodésica ser um caminho de menor comprimento, ela nunca deve cruzar geodésicas paralelas vizinhas.

Começando com uma pequena esfera e enviando geodésicas paralelas da fronteira, assumindo que a variedade tem uma curvatura de Ricci limitada abaixo por uma constante positiva, nenhuma das geodésicas são caminhos mais curtos depois de um tempo, uma vez que todas colidem com um vizinho. Isso significa que após uma certa extensão, todos os pontos potencialmente novos foram alcançados. Se todos os pontos em uma variedade conectada estão a uma distância geodésica finita de uma pequena esfera, a variedade deve ser compacta.

Roger Penrose argumentou analogamente na relatividade. Se geodésicas nulas , os caminhos dos raios de luz , são seguidos no futuro, pontos no futuro da região são gerados. Se um ponto está na fronteira do futuro da região, ele só pode ser alcançado indo à velocidade da luz, não mais devagar, então geodésicas nulas incluem toda a fronteira do futuro adequado de uma região. Quando as geodésicas nulas se cruzam, elas não estão mais na fronteira do futuro, elas estão no interior do futuro. Portanto, se todas as geodésicas nulas colidirem, não haverá fronteira para o futuro.

Na relatividade, a curvatura de Ricci, que determina as propriedades de colisão das geodésicas, é determinada pelo tensor de energia , e sua projeção nos raios de luz é igual à projeção nula do tensor de energia-momento e é sempre não negativa. Isso implica que o volume de uma congruência de geodésicas nulas paralelas, uma vez que começa a diminuir, chegará a zero em um tempo finito. Uma vez que o volume é zero, ocorre um colapso em alguma direção, de modo que toda geodésica cruza com algum vizinho.

Penrose concluiu que sempre que houver uma esfera onde todos os raios de luz de saída (e entrada) estão convergindo inicialmente, o limite do futuro daquela região terminará após uma extensão finita, porque todas as geodésicas nulas convergirão. Isso é significativo, porque os raios de luz que saem de qualquer esfera dentro do horizonte de uma solução de buraco negro estão todos convergindo, então o limite do futuro desta região é compacto ou não vem de lugar nenhum. O futuro do interior termina após uma extensão finita ou tem um limite que é eventualmente gerado por novos raios de luz que não podem ser rastreados de volta à esfera original.

Natureza de uma singularidade

Os teoremas da singularidade usam a noção de incompletude geodésica como um substituto para a presença de curvaturas infinitas. Incompletude geodésica é a noção de que existem geodésicas , caminhos de observadores através do espaço-tempo, que só podem ser estendidos por um tempo finito medido por um observador viajando ao longo de um. Presumivelmente, no final da geodésica, o observador caiu em uma singularidade ou encontrou alguma outra patologia na qual as leis da relatividade geral se rompem.

Suposições dos teoremas

Normalmente, um teorema da singularidade tem três ingredientes:

  1. Uma condição energética sobre o assunto,
  2. Uma condição na estrutura global do espaço-tempo ,
  3. A gravidade é forte o suficiente (em algum lugar) para prender uma região.

Existem várias possibilidades para cada ingrediente, e cada uma leva a diferentes teoremas de singularidade.

Ferramentas empregadas

Uma ferramenta chave usada na formulação e prova dos teoremas de singularidade é a equação de Raychaudhuri , que descreve a divergência de uma congruência (família) de geodésicas. A divergência de uma congruência é definida como a derivada do log do determinante do volume de congruência. A equação de Raychaudhuri é

onde está o tensor de cisalhamento da congruência e também é conhecido como escalar de Raychaudhuri (consulte a página de congruência para obter detalhes). O ponto principal é que não será negativo, desde que as equações de campo de Einstein sejam mantidas e

Quando estes se mantêm, a divergência torna-se infinita em algum valor finito do parâmetro afim. Assim, todas as geodésicas que saem de um ponto acabarão por se reconverter após um tempo finito, desde que a condição de energia apropriada se mantenha, um resultado também conhecido como teorema da focalização .

Isso é relevante para singularidades graças ao seguinte argumento:

  1. Suponha que temos um espaço-tempo que é globalmente hiperbólico e dois pontos e que podem ser conectados por uma curva semelhante ao tempo ou nula . Então existe uma geodésica de comprimento máximo conectando e . Chame isso de geodésico .
  2. A geodésica pode ser alterada para uma curva mais longa se outra geodésica de se cruzar em outro ponto, chamado de ponto conjugado.
  3. A partir do teorema de focalização, sabemos que todas as geodésicas de possuem pontos conjugados em valores finitos do parâmetro afim. Em particular, isso é verdade para a geodésica de comprimento máximo. Mas isso é uma contradição - pode-se, portanto, concluir que o espaço-tempo é geodésicamente incompleto.

Na relatividade geral , existem várias versões do teorema da singularidade de Penrose-Hawking . A maioria das versões afirmam, grosso modo, que se houver uma superfície nula presa e a densidade de energia não for negativa, então existem geodésicas de comprimento finito que não podem ser estendidas.

Esses teoremas, estritamente falando, provam que há pelo menos uma geodésica não espacial que é apenas finitamente extensível ao passado, mas há casos em que as condições desses teoremas se obtêm de tal forma que todos os caminhos do espaço-tempo direcionados ao passado terminam em uma singularidade.

Versões

Existem muitas versões. Aqui está a versão nula:

Presumir
  1. A condição de energia nula se mantém.
  2. Temos uma superfície de Cauchy conectada não compacta .
  3. Temos uma superfície nula fechada com armadilha .
Então, temos incompletude geodésica nula ou curvas fechadas tipo tempo .
Esboço da prova : Prova por contradição. O limite do futuro de , é gerado por segmentos geodésicos nulos originados de vetores tangentes ortogonais a ele. Sendo uma superfície nula aprisionada, pela equação de Raychaudhuri nula , ambas as famílias de raios nulos que emanam de encontrarão cáusticos. (Uma cáustica por si só não é problemática. Por exemplo, o limite do futuro de dois pontos separados em forma de espaço é a união de dois cones de luz futuros com as partes internas da interseção removidas. As cáusticas ocorrem onde os cones de luz se cruzam, mas não há singularidade lá.) A geração de geodésicas nulas tem que terminar, ou seja, alcançar seus pontos finais futuros em ou antes dos cáusticos. Caso contrário, podemos pegar dois segmentos geodésicos nulos - mudando no cáustico - e então deformá-los ligeiramente para obter uma curva semelhante ao tempo conectando um ponto na fronteira a um ponto adiante , uma contradição. Mas como é compacto, dada uma parametrização afim contínua dos geradores geodésicos, existe um limite inferior para o valor absoluto do parâmetro de expansão. Portanto, sabemos que as cáusticas se desenvolverão para cada gerador antes que um limite uniforme no parâmetro afim tenha decorrido. Como resultado, tem que ser compacto. Ou fechamos curvas semelhantes ao tempo, ou podemos construir uma congruência por curvas semelhantes ao tempo, e cada uma delas tem que cruzar a superfície não compacta de Cauchy exatamente uma vez. Considere todas essas curvas parecidas com o tempo passando e observe sua imagem na superfície de Cauchy. Por ser um mapa contínuo, a imagem também deve ser compacta. Por ser uma congruência semelhante ao tempo, as curvas semelhantes ao tempo não podem se cruzar e, portanto, o mapa é injetivo . Se a superfície de Cauchy não for compacta, a imagem tem um limite. Estamos assumindo que o espaço-tempo vem em uma peça conectada. Mas é compacto e sem limites porque o limite de um limite está vazio. Um mapa injetivo contínuo não pode criar um limite, dando-nos nossa contradição.
Brechas : Se curvas fechadas tipo tempo existem, então curvas tipo tempo não precisam cruzar a superfície parcial de Cauchy. Se a superfície de Cauchy fosse compacta, isto é, o espaço é compacto, os geradores geodésicos nulos da fronteira podem se cruzar em todos os lugares porque eles podem se cruzar no outro lado do espaço.

Outras versões do teorema envolvendo a condição de energia forte ou fraca também existem.

Gravidade modificada

Na gravidade modificada, as equações do campo de Einstein não são válidas e, portanto, essas singularidades não surgem necessariamente. Por exemplo, na Gravidade Derivada Infinita , é possível ser negativo mesmo se a Condição de Energia Nula for mantida.

Notas

Referências