Teoremas de Sylow - Sylow theorems

Em matemática, especificamente no campo da teoria dos grupos finitos , os teoremas de Sylow são uma coleção de teoremas nomeados em homenagem ao matemático norueguês Peter Ludwig Sylow que fornecem informações detalhadas sobre o número de subgrupos de ordem fixa que um determinado grupo finito contém. Os teoremas de Sylow constituem uma parte fundamental da teoria dos grupos finitos e têm aplicações muito importantes na classificação de grupos simples finitos .

Para um número primo , um Sylow p -subgrupo (por vezes p -Sylow subgrupo ) de um grupo é um máximo -subgrupo de , ou seja, um subgrupo de que é um p -group (de modo a que o fim de cada elemento do grupo é um poder de ) que não é um subgrupo adequado de qualquer outro subgrupo de . O conjunto de todos os subgrupos de Sylow para um dado primo às vezes é escrito . ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle {\ text {Syl}} _ {p} (G)}$

Os teoremas de Sylow afirmam um inverso parcial ao teorema de Lagrange . O teorema de Lagrange afirma que, para qualquer grupo finito, a ordem (número de elementos) de cada subgrupo de divide a ordem de . Os teoremas de Sylow afirmam que para cada fator primo da ordem de um grupo finito , existe um subgrupo de Sylow de da ordem , o maior poder de que divide a ordem de . Além disso, cada subgrupo de ordem é um subgrupo de Sylow de , e os subgrupos de Sylow de um grupo (para um dado primo ) são conjugados entre si. Além disso, o número de subgrupos de Sylow de um grupo para um dado primo é congruente com . ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle p ^ {n}}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle p ^ {n}}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle 1 {\ text {mod}} p}$

Teoremas

Motivação

Os teoremas de Sylow são uma afirmação poderosa sobre a estrutura dos grupos em geral, mas também são poderosos nas aplicações da teoria dos grupos finitos. Isso ocorre porque eles fornecem um método para usar a decomposição primária da cardinalidade de um grupo finito para fornecer afirmações sobre a estrutura de seus subgrupos: essencialmente, fornece uma técnica para transportar informações teóricas dos números básicas sobre um grupo para sua estrutura de grupo. A partir dessa observação, classificar grupos finitos torna-se um jogo de descobrir quais combinações / construções de grupos de menor ordem podem ser aplicadas para construir um grupo. Por exemplo, uma aplicação típica desses teoremas é na classificação de grupos finitos de alguma cardinalidade fixa, por exemplo . ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle | G | = 60}$

Demonstração

Conjuntos de subgrupos que são máximos em um sentido ou outro são comuns na teoria dos grupos. O resultado surpreendente é que, no caso de , todos os membros são realmente isomorfo uns aos outros e têm a maior ordem possível: se com onde $p$ não divide $m$ , então cada Sylow $p$ -subgrupo $P$ tem fim . Ou seja, $P$ é um $p$ -grupo e . Estas propriedades podem ser explorados para analisar ainda mais a estrutura de $L$ . ${\ displaystyle \ operatorname {Syl} _ {p} (G)}$ ${\ displaystyle | G | = p ^ {n} m}$ ${\ displaystyle n> 0}$ ${\ displaystyle | P | = p ^ {n}}$ ${\ displaystyle {\ text {gcd}} (| G: P |, p) = 1}$

Os teoremas a seguir foram propostos e provados pela primeira vez por Ludwig Sylow em 1872 e publicados em Mathematische Annalen .

Teorema (1) - Para todo fator primo $p$ com multiplicidade $n$ da ordem de um grupo finito $G$ , existe um $p-$ subgrupo de Sylow de $G$ , de ordem . ${\ displaystyle p ^ {n}}$

A seguinte versão mais fraca do teorema 1 foi provada pela primeira vez por Augustin-Louis Cauchy e é conhecida como teorema de Cauchy .

Corolário - Dado um grupo finito $L$ e um número primo $p$ dividindo a fim de $G$ , então existe um elemento (e, portanto, um subgrupo cíclico gerado por este elemento) de ordem $p$ em $L$ .

Teorema (2) - Dado um grupo finito $G$ e um número primo $p$ , todos os $p-$ subgrupos de Sylow de $G$ são conjugados entre si. Ou seja, se $H$ e $K$ são $p-$ subgrupos de $G$ de Sylow , então existe um elemento com . ${\ displaystyle g \ in G}$ ${\ displaystyle g ^ {- 1} Hg = K}$

Teorema (3) - Let $p$ ser um factor primo com multiplicidade $n$ da ordem de um grupo finito $L$ , de modo que a ordem de $L$ pode ser escrita como onde e $p$ não divide $m$ . Let Ser o número de Sylow $p$ -subgroups de $G$ . Em seguida, a seguinte espera: ${\ displaystyle p ^ {n} m}$ ${\ displaystyle n> 0}$ ${\ displaystyle n_ {p}}$

${\ displaystyle n_ {p}}$ divide $m$ , que é o índice da Sylow $p$ -subgrupo em $L$ .
${\ displaystyle n_ {p} \ equiv 1 {\ bmod {p}}}$
${\ displaystyle n_ {p} = | G: N_ {G} (P) |}$ , onde $P$ é qualquer subgrupo $p de$ Sylow de $G$ e denota o normalizador . ${\ displaystyle N_ {G}}$

Consequências

Os teoremas de Sylow implicam que, para um número primo, todo subgrupo de Sylow é da mesma ordem ,. Por outro lado, se um subgrupo tem ordem , então é um subgrupo Sylow e, portanto, é isomórfico a todos os outros subgrupos Sylow . Devido à condição de maximalidade, se for qualquer subgrupo de , então é um subgrupo de um subgrupo de ordem . ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle p ^ {n}}$ ${\ displaystyle p ^ {n}}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle H}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle H}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle p ^ {n}}$

Uma consequência muito importante do Teorema 2 é que a condição é equivalente a dizer que o subgrupo de Sylow de é um subgrupo normal . No entanto, existem grupos que possuem subgrupos normais, mas nenhum subgrupo normal de Sylow, como . ${\ displaystyle n_ {p} = 1}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle S_ {4}}$

Teoremas de Sylow para grupos infinitos

Existe um análogo dos teoremas de Sylow para grupos infinitos. Um define um subgrupo $p de$ Sylow em um grupo infinito como um subgrupo p (ou seja, cada elemento nele tem ordem de poder $p$ ) que é máximo para inclusão entre todos os subgrupos $p$ no grupo. Esses subgrupos existem pelo lema de Zorn . Vamos denotar o conjunto de classes de conjugação de um subgrupo ${\ displaystyle \ operatorname {Cl} (K)}$ ${\ displaystyle K \ subset G}$

Teorema - Se $K$ é um subgrupo $p de$ Sylow de $G$ , e é finito, então todo subgrupo $p de$ Sylow é conjugado com $K$ , e . ${\ displaystyle n_ {p} = | \ operatorname {Cl} (K) |}$ ${\ displaystyle n_ {p} \ equiv 1 {\ bmod {p}}}$

Exemplos

Em D _6, todas as reflexões são conjugadas, uma vez que as reflexões correspondem aos 2 subgrupos de Sylow.

Uma ilustração simples dos subgrupos de Sylow e dos teoremas de Sylow são o grupo diedro do n- gon, D _{2 n} . Para n ímpar, 2 = 2 ¹ é a maior potência de 2 dividindo a ordem e, portanto, os subgrupos de ordem 2 são subgrupos de Sylow. Estes são os grupos gerados por um reflexo, dos quais existem n , e são todos conjugados sob rotações; geometricamente os eixos de simetria passam por um vértice e um lado.

Em D _{12, as} reflexões não correspondem mais aos 2 subgrupos de Sylow e caem em duas classes de conjugação.

Em contraste, se n for par, então 4 divide a ordem do grupo, e os subgrupos de ordem 2 não são mais subgrupos Sylow e, de fato, eles caem em duas classes de conjugação, geometricamente conforme passam por dois vértices ou dois rostos. Eles estão relacionados por um automorfismo externo , que pode ser representado pela rotação através de π / n , metade da rotação mínima no grupo diédrico.

Outro exemplo são os p-subgrupos de Sylow de GL ₂ ( F _q ), onde p e q são primos ≥ 3 e $p \equiv 1 (mod q)$ , que são todos abelianos . A ordem de GL ₂ ( F _q ) é $(q 2 - 1) (q 2 - q) = (q) (q + 1) (q - 1) 2$ . Dado que $q = p n m + 1$ , a ordem de $GL 2 (F q) = p 2 n m'$ . Assim, pelo Teorema 1, a ordem dos subgrupos p de Sylow é p ^{2 n} .

Um desses subgrupos P é o conjunto de matrizes diagonais , x é qualquer raiz primitiva de F _q . Como a ordem de F _q é $q$ $- 1$ , suas raízes primitivas têm ordem q - 1, o que implica que $x$ $($ $q$ $- 1) /$ $p$ $n$ ou x ^m e todas as suas potências têm uma ordem que é uma potência de p . Portanto, P é um subgrupo onde todos os seus elementos têm ordens que são potências de p . Existem p ⁿ escolhas para a e b , tornando $|$ $P$ $|$ $=$ $p$ $2$ $n$ . Isso significa que P é um subgrupo p de Sylow , que é abeliano, pois todas as matrizes diagonais comutam, e porque o Teorema 2 afirma que todos os subgrupos p de Sylow são conjugados entre si, os subgrupos p de Sylow de GL ₂ ( F _q ) são tudo abeliano. ${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} x ^ {im} & 0 \\ 0 & x ^ {jm} \ end {bmatrix}}}$

Aplicativos de exemplo

Como o teorema de Sylow garante a existência de p-subgrupos de um grupo finito, vale a pena estudar grupos de ordem de potência primária mais de perto. A maioria dos exemplos usa o teorema de Sylow para provar que um grupo de uma ordem particular não é simples . Para grupos de pequena ordem, a condição de congruência do teorema de Sylow é freqüentemente suficiente para forçar a existência de um subgrupo normal .

Exemplo 1: Grupos de ordem pq , p e q primos com p < q .
Exemplo-2: Grupo de ordem 30, grupos de ordem 20, grupos de ordem p ²q , p e q primos distintos são algumas das aplicações.
Exemplo-3: (Grupos da ordem 60): Se a ordem | G | = 60 e G tem mais de um subgrupo 5 de Sylow, então G é simples.

Ordens de grupo cíclico

Alguns números não primos n são tais que todo grupo de ordem n é cíclico. Pode-se mostrar que n = 15 é esse número usando os teoremas de Sylow: Seja G um grupo de ordem 15 = 3,5 e n ₃ o número de 3 subgrupos de Sylow. Então, n ₃ 5 e n ₃ ≡ 1 (mod 3). O único valor que satisfaz essas restrições é 1; portanto, há apenas um subgrupo de ordem 3 e deve ser normal (uma vez que não possui conjugados distintos). Da mesma forma, n ₅ deve dividir 3 e n ₅ deve ser igual a 1 (mod 5); portanto, também deve ter um único subgrupo normal de ordem 5. Como 3 e 5 são coprimos , a interseção desses dois subgrupos é trivial e, portanto, G deve ser o produto interno direto dos grupos de ordem 3 e 5, que é o cíclico grupo de ordem 15. Assim, existe apenas um grupo de ordem 15 ( até o isomorfismo). ${\ displaystyle \ mid}$

Pequenos grupos não são simples

Um exemplo mais complexo envolve a ordem do menor grupo simples que não é cíclico . O teorema p ^a q ^{b de} Burnside afirma que se a ordem de um grupo é o produto de uma ou duas potências primárias , então é solucionável e, portanto, o grupo não é simples, ou é de ordem primária e é cíclico. Isso exclui todos os grupos até o pedido 30 (= 2 · 3 · 5) .

Se G for simples, e | G | = 30, então n ₃ deve dividir 10 (= 2 · 5) e n ₃ deve ser igual a 1 (mod 3). Portanto, n ₃ = 10, visto que nem 4 nem 7 dividem 10, e se n ₃ = 1 então, como acima, G teria um subgrupo normal de ordem 3 e não poderia ser simples. G então tem 10 subgrupos cíclicos distintos de ordem 3, cada um dos quais tem 2 elementos de ordem 3 (mais a identidade). Isso significa que G tem pelo menos 20 elementos distintos de ordem 3.

Da mesma forma, n ₅ = 6, visto que n ₅ deve dividir 6 (= 2 · 3) e n ₅ deve ser igual a 1 (mod 5). Portanto, G também tem 24 elementos distintos de ordem 5. Mas a ordem de G é apenas 30, portanto, um grupo simples de ordem 30 não pode existir.

Em seguida, suponha | G | = 42 = 2 · 3 · 7. Aqui n ₇ deve dividir 6 (= 2 · 3) e n ₇ deve ser igual a 1 (mod 7), então n ₇ = 1. Portanto, como antes, G não pode ser simples.

Por outro lado, para | G | = 60 = 2 ² · 3 · 5, então n ₃ = 10 e n ₅ = 6 é perfeitamente possível. E, de fato, o menor grupo não cíclico simples é A ₅ , o grupo alternado de 5 elementos. Tem ordem 60 e 24 permutações cíclicas de ordem 5 e 20 de ordem 3.

Teorema de Wilson

Parte do teorema de Wilson afirma que

{\ displaystyle (p-1)! \ \ equiv \ -1 {\ pmod {p}}}

para cada primo p . Pode-se facilmente provar esse teorema pelo terceiro teorema de Sylow. De fato, observa-se que o número n _p de de Sylow p -subgroups no grupo simétrico S _p é $(p - 2)!$ . Por outro lado, $n p \equiv 1 (mod p)$ . Portanto, $(p - 2)! \equiv 1 (mod p)$ . Então, $(p - 1)! \equiv -1 (mod p)$ .

Resultados de fusão

O argumento de Frattini mostra que um subgrupo Sylow de um subgrupo normal fornece uma fatoração de um grupo finito. Uma ligeira generalização conhecida como teorema de fusão de Burnside afirma que se G é um grupo finito com Sylow p -subgrupo P e dois subconjuntos A e B normalizados por P , então A e B são G- conjugados se e somente se eles são N _G ( P )-conjugado. A prova é uma aplicação simples do teorema de Sylow: Se B = A ^g , então o normalizador de B contém não apenas P, mas também P ^g (uma vez que P ^g está contido no normalizador de A ^g ). Pelo teorema de Sylow P e P ^g são conjugado não só em G , mas no normalizador de B . Portanto, gh ⁻¹ normaliza P para algum h que normaliza B , e então A ^{gh ⁻¹} = B ^{h ⁻¹} = B , de forma que A e B são N _G ( P ) -conjugado. Fusão de Burnside teorema pode ser usado para dar uma fatoração mais poderoso chamado um produto semidirect : Se L é um grupo finito cuja Sylow p -subgrupo P está contido no centro da sua normalizador, então G tem um subgrupo normal K de primos entre si a fim de P , G = PK e P ∩ K = {1}, ou seja, G é p -nilpotente .

Aplicações menos triviais dos teoremas de Sylow incluem o teorema do subgrupo focal , que estuda o controle que um p- subgrupo de Sylow do subgrupo derivado tem sobre a estrutura do grupo inteiro. Este controle é explorado em vários estágios da classificação de grupos simples finitos e, por exemplo, define as divisões de caso usadas no teorema de Alperin-Brauer-Gorenstein que classifica grupos simples finitos cujo subgrupo de Sylow 2 é um grupo quase diédrico . Estes dependem do fortalecimento de JL Alperin da porção de conjugação do teorema de Sylow para controlar quais tipos de elementos são usados na conjugação.

Prova dos teoremas de Sylow

Os teoremas de Sylow foram provados de várias maneiras, e a história das próprias provas é o assunto de muitos artigos, incluindo Waterhouse, Scharlau, Casadio e Zappa, Gow e, até certo ponto, Meo.

Uma prova dos teoremas de Sylow explora a noção de ação de grupo de várias maneiras criativas. O grupo $G$ atua sobre si mesmo ou sobre o conjunto de seus p- subgrupos de várias maneiras, e cada uma dessas ações pode ser explorada para provar um dos teoremas de Sylow. As seguintes provas são baseadas em argumentos combinatórios de Wielandt. A seguir, usamos como notação para "a divide b" e para a negação desta declaração. ${\ displaystyle a \ mid b}$ ${\ displaystyle a \ nmid b}$

Teorema (1) - Um grupo finito G cuja ordem é divisível por uma potência primária p ^k tem um subgrupo de ordem p ^k . ${\ displaystyle | G |}$

Prova -

Let $| G | = p k m = p k + r u$ tal que , e seja Ω o conjunto de subconjuntos de $G$ de tamanho p ^k . $G$ atua em Ω por multiplicação à esquerda: para $g$ $\in$ $G$ e $ω$ $\in Ω$ , $g$ $\cdot$ $ω$ $= {$ $g$ $x$ $|$ $x$ $\in$ $ω$ $}$ . Para um dado conjunto $ω$ $\in Ω$ , escreva G _ω para seu subgrupo estabilizador ${$ $g$ $\in$ $G$ $|$ $g$ $\cdot$ $ω$ $=$ $ω$ $}$ e G ω para a sua órbita ${$ $g$ $\cdot$ $ω$ $|$ $g$ $\in$ $G$ $}$ em Ω. ${\ displaystyle p \ nmid u}$

A prova mostrará a existência de algum $ω \in Ω$ para o qual $G$ _$ω$ possui p ^k elementos, fornecendo o subgrupo desejado. Este é o tamanho máximo possível de um subgrupo estabilizador $G$ _$ω$ , uma vez que para qualquer elemento fixo $α \in ω \subseteq G$ , o coset direito $G$ _$ω$ $α$ está contido em $ω$ ; portanto, $| G ω | = | G ω α | \leq | ω | = p k$ .

Pelo teorema do estabilizador de órbita , temos $| G ω | | G ω | = | G |$ para cada $ω \in Ω$ , e portanto usando a valoração p-ádica aditiva ν _p , que conta o número de fatores p , tem-se $ν p (| G ω |) + ν p (| G ω |) = ν p (| G |) = k + r$ . Isso significa que para aqueles $ω$ com $| G ω | = P k$ , as que estão procurando, tem-se $ν p (| G ω |) = r$ , enquanto que para qualquer outro $ω$ um tem $ν p (| G ω |)> r$ (como $0 <| G ω | < p k$ implica $ν p (| G ω |) < k)$ . Desde $| Ω |$ é a soma de $| G ω |$ sobre todas as órbitas distintas $G$ $ω$ , pode-se mostrar a existência de ω do primeiro tipo mostrando que $ν p (| Ω |) = r$ (se não existisse, essa avaliação seria superior a r ). Esta é uma instância do teorema de Kummer (uma vez que na notação de base p o número $| G |$ termina precisamente com k + r dígitos zero, subtrair p ^k dele envolve um transporte em r lugares), e também pode ser mostrado por um cálculo simples:

{\ displaystyle | \ Omega | = {p ^ {k} m \ escolher p ^ {k}} = \ prod _ {j = 0} ^ {p ^ {k} -1} {\ frac {p ^ {k } mj} {p ^ {k} -j}} = m \ prod _ {j = 1} ^ {p ^ {k} -1} {\ frac {p ^ {k- \ nu _ {p} (j )} mj / p ^ {\ nu _ {p} (j)}} {p ^ {k- \ nu _ {p} (j)} - j / p ^ {\ nu _ {p} (j)} }}}

e nenhuma potência de p permanece em nenhum dos fatores dentro do produto à direita. Logo, $ν p (| Ω |) = ν p (m) = r$ , completando a prova.

Pode-se notar que, inversamente, todo subgrupo H de ordem p ^k dá origem a conjuntos $ω \in Ω$ para os quais G _ω = H , ou seja, qualquer um dos m cosets distintos Hg .

Lema - Let $H$ ser um finito $p$ -group, deixar Ω ser um conjunto finito actuado por $H$ , e deixar Ω ₀ designam o conjunto de pontos de Ω que são fixas sob a acção de $H$ . Então $| Ω | \equiv | Ω 0 | (mod p)$ .

Prova -

Qualquer elemento $x \in Ω$ não fixado por $H$ ficará em uma órbita de ordem $| H | / | H x |$ (onde H _x denota o estabilizador ), que é um múltiplo de $p$ por suposição. O resultado segue imediatamente escrevendo $| Ω |$ como a soma de $| H x |$ sobre todas as órbitas distintas $H$ $x$ e mod $p$ redutor .

Teorema (2) - Se H é um p -subgrupo de $L$ e P é um Sylow p -subgrupo de $G$ , então existe um elemento g em $L$ de tal modo que g ^-1Hg ≤ P . Em particular, todos os p- subgrupos Sylow de $G$ são conjugados entre si (e, portanto, isomórficos ), isto é, se H e K são p- subgrupos Sylow de $G$ , então existe um elemento g em $G$ com g ^-1Hg = K .

Prova -

Seja Ω o conjunto de cosets esquerdos de P em $G$ e seja H agir em Ω por multiplicação à esquerda. Aplicando o Lema a H em Ω, vemos que $| Ω 0 | \equiv | Ω | = [G : P] (mod p)$ . Agora, por definição , portanto, em particular $|$ $Ω$ $0$ $|$ $\neq 0$ então existe algum $gP$ $\in Ω$ $0$ . Com este gP , temos HGP = gP para todos $h$ $\in$ $H$ , então g ^-1HGP = P e, por conseguinte, g ^-1Hg ≤ P . Além disso, se H for um subgrupo p de Sylow , então $|$ $g$ $-1$ $Hg$ $|$ $= |$ $H$ $|$ $= |$ $P$ $|$ de modo que g ^-1Hg = P . ${\ displaystyle p \ nmid [G: P]}$ ${\ displaystyle p \ nmid | \ Omega _ {0} |}$

Teorema (3) - Let q denotar o fim de qualquer Sylow p -subgrupo P de um grupo finito L . Vamos n _p denota o número de Sylow p -subgroups de L . Então (a) $n p = [G : N G (P)]$ (onde N _G ( P ) é o normalizador de P ), (b) $n p$ divide $| G | / q$ , e (c) $n p \equiv 1 (mod p)$ .

Prova -

Seja Ω o conjunto de todos os p- subgrupos de Sylow de $G$ e seja $G$ atuar em Ω por conjugação. Seja $P \in Ω$ um subgrupo p de Sylow . Pelo Teorema 2, a órbita de P tem tamanho n _p , então pelo teorema do estabilizador de órbita $n p = [G : G P]$ . Para esta ação de grupo, o estabilizador $G$ _P é dado por ${g \in G | GPG -1 = P} = N L (P)$ , o normalizador de P em L . Assim, $n p = [G : N G (P)]$ , e segue-se que este número é um divisor de $[G : P] = | G | / q$ .

Agora, deixe P atuar em Ω por conjugação, e novamente seja Ω ₀ denotar o conjunto de pontos fixos dessa ação. Seja $Q \in Ω 0$ e observe que então $Q = xQx -1$ para todo $x \in P de$ forma que P ≤ N _G ( Q ). Pelo teorema 2, P e Q são conjugado em N _L ( Q ), em particular, e Q é normal em N _L ( Q ), de modo que, em seguida, P = Q . Segue-se que Ω ₀ = { P } de modo que, pelo Lema, $| Ω | \equiv | Ω 0 | = 1 (mod p)$ .

Algoritmos

O problema de encontrar um subgrupo Sylow de um determinado grupo é um problema importante na teoria computacional de grupos .

Uma prova da existência de p- subgrupos de Sylow é construtiva: se H é um p- subgrupo de G e o índice [ G : H ] é divisível por p , então o normalizador N = N _G ( H ) de H em G é também tal que [ N : H ] é divisível por p . Em outras palavras, um sistema de geração policíclico de um subgrupo p de Sylow pode ser encontrado começando de qualquer subgrupo p H (incluindo a identidade) e tomando elementos da ordem de potência p contidos no normalizador de H, mas não no próprio H. A versão algorítmica disso (e muitas melhorias) é descrita na forma de livro-texto em Butler, incluindo o algoritmo descrito em Cannon. Essas versões ainda são usadas no sistema de álgebra computacional GAP .

Em grupos de permutação , foi provado, em Kantor e Kantor e Taylor, que um subgrupo p de Sylow e seu normalizador podem ser encontrados no tempo polinomial da entrada (o grau do grupo vezes o número de geradores). Esses algoritmos são descritos em forma de livro no Seress e agora estão se tornando práticos à medida que o reconhecimento construtivo de grupos simples finitos se torna uma realidade. Em particular, versões deste algoritmo são usadas no sistema de álgebra computacional Magma .

Veja também

Notas

Referências

Provas

Casadio, Giuseppina; Zappa, Guido (1990). "História do teorema de Sylow e suas provas". Boll. Storia Sci. Esteira. (em italiano). 10 (1): 29–75. ISSN 0392-4432 . MR 1096350 . Zbl 0721.01008 .
Gow, Rod (1994). "A prova de Sylow do teorema de Sylow". Irish Math. Soc. Touro. (33): 55–63. ISSN 0791-5578 . MR 1313412 . Zbl 0829.01011 .
Kammüller, Florian; Paulson, Lawrence C. (1999). "Uma prova formal do teorema de Sylow. Um experimento em álgebra abstrata com Isabelle HOL" (PDF) . J. Automat. Razão. . 23 (3): 235–264. doi : 10.1023 / A: 1006269330992 . ISSN 0168-7433 . MR 1721912 . Zbl 0943.68149 . Arquivado do original (PDF) em 03-01-2006.
Meo, M. (2004). "A vida matemática do teorema do grupo de Cauchy" . Historia Math. 31 (2): 196–221. doi : 10.1016 / S0315-0860 (03) 00003-X . ISSN 0315-0860 . MR 2055642 . Zbl 1065.01009 .
Scharlau, Winfried (1988). "Die Entdeckung der Sylow-Sätze" . Historia Math. (em alemão). 15 (1): 40–52. doi : 10.1016 / 0315-0860 (88) 90048-1 . ISSN 0315-0860 . MR 0931678 . Zbl 0637.01006 .
Waterhouse, William C. (1980). "As primeiras provas do teorema de Sylow". Arco. Hist. Exact Sci. . 21 (3): 279–290. doi : 10.1007 / BF00327877 . ISSN 0003-9519 . MR 0575718 . Zbl 0436.01006 .
Wielandt, Helmut (1959). "Ein Beweis für die Existenz der Sylowgruppen". Arco. Matemática. (em alemão). 10 (1): 401–402. doi : 10.1007 / BF01240818 . ISSN 0003-9268 . MR 0147529 . Zbl 0092.02403 .

Algoritmos

Butler, G. (1991). Algoritmos Fundamentais para Grupos de Permutação . Notas de aula em Ciência da Computação . 559 . Berlim, Nova York: Springer-Verlag . doi : 10.1007 / 3-540-54955-2 . ISBN 9783540549550. MR 1225579 . Zbl 0785.20001 .
Cannon, John J. (1971). "Cálculo da estrutura local de grandes grupos finitos". Computers in Algebra and Number Theory ( Proc. SIAM-AMS Sympos. Appl. Math. , New York City, 1970) . SIAM-AMS Proc. . 4 . Providence RI: AMS . pp. 161–176. ISSN 0160-7634 . MR 0367027 . Zbl 0253.20027 .
Kantor, William M. (1985a). "Algoritmos de tempo polinomial para encontrar elementos de ordem primária e subgrupos de Sylow" (PDF) . J. Algorithms . 6 (4): 478-514. CiteSeerX 10.1.1.74.3690 . doi : 10.1016 / 0196-6774 (85) 90029-X . ISSN 0196-6774 . MR 0813589 . Zbl 0604.20001 .
Kantor, William M. (1985b). "Teorema de Sylow em tempo polinomial" . J. Comput. Syst. Sci. . 30 (3): 359–394. doi : 10.1016 / 0022-0000 (85) 90052-2 . ISSN 1090-2724 . MR 0805654 . Zbl 0573.20022 .
Kantor, William M .; Taylor, Donald E. (1988). "Versões em tempo polinomial do teorema de Sylow". J. Algorithms . 9 (1): 1-17. doi : 10.1016 / 0196-6774 (88) 90002-8 . ISSN 0196-6774 . MR 0925595 . Zbl 0642.20019 .
Kantor, William M. (1990). "Encontrando normalizadores de Sylow em tempo polinomial". J. Algorithms . 11 (4): 523–563. doi : 10.1016 / 0196-6774 (90) 90009-4 . ISSN 0196-6774 . MR 1079450 . Zbl 0731.20005 .
Seress, Ákos (2003). Algoritmos de grupo de permutação . Cambridge Tracts in Mathematics. 152 . Cambridge University Press . ISBN 9780521661034. MR 1970241 . Zbl 1028.20002 .

links externos

"Teoremas de Sylow" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
Álgebra abstrata / Teoria de grupo / Teoremas de Sylow no Wikilivros
Weisstein, Eric W. "Sylow p-Subgroup" . MathWorld .
Weisstein, Eric W. "Teoremas de Sylow" . MathWorld .

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Teoremas de Sylow - Sylow theorems

Conteúdo

Teoremas

Motivação

Demonstração

Consequências

Teoremas de Sylow para grupos infinitos

Exemplos

Aplicativos de exemplo

Ordens de grupo cíclico

Pequenos grupos não são simples

Teorema de Wilson

Resultados de fusão

Prova dos teoremas de Sylow

Algoritmos

Veja também

Notas

Referências

Provas

Algoritmos

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