Grupo abeliano elementar - Elementary abelian group

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Noções básicas Subgrupo Subgrupo normal Grupo de quociente Produto (semi) direto Homomorfismos de grupo núcleo imagem soma direta produto de coroa simples finito infinito contínuo multiplicativo aditivo cíclico abeliano diédrico nilpotente solucionável Glossário da teoria dos grupos Lista de tópicos de teoria de grupo
Grupos finitos Classificação de grupos finitos simples cíclico alternando Tipo de mentira esporádico Teorema de Cauchy Teorema de Lagrange Teoremas de Sylow Teorema de Hall p-grupo Grupo abeliano elementar Grupo Frobenius Multiplicador Schur Grupo simétrico S n Klein quatro grupos V Grupo diédrico D n Quaternion grupo Q Grupo dicíclico Dic n
Grupos discretos Treliças Inteiros ( Z ) Grupo livre Grupos modulares PSL (2, Z ) SL (2, Z ) Grupo aritmético Malha Grupo hiperbólico
Grupos topológicos e de Lie Solenóide Círculo GL linear geral ( n ) SL linear especial ( n ) Ortogonal O ( n ) E Euclidiano ( n ) SO ortogonal especial ( n ) Unitária U ( n ) SU unitário especial ( n ) Sp simplético ( n ) G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz Poincaré Conforme Difeomorfismo Ciclo Grupo de Lie dimensional infinito O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Grupos algébricos Grupo algébrico linear Grupo redutor Variedade abeliana Curva elíptica
v t e

Na matemática , especificamente na teoria dos grupos , um grupo abeliano elementar (ou grupo abeliano elementar p ) é um grupo abeliano no qual todo elemento não trivial tem ordem p . O número p deve ser primo , e os grupos abelianos elementares são um tipo particular de grupo p . O caso em que p = 2, ou seja, um 2-grupo abeliano elementar, às vezes é chamado de grupo Booleano .

Todo grupo p abeliano elementar é um espaço vetorial sobre o campo primo com p elementos e, inversamente, todo tal espaço vetorial é um grupo abeliano elementar. Pela classificação de grupos abelianos finitamente gerados , ou pelo fato de que todo espaço vetorial tem uma base , todo grupo abeliano elementar finito deve ser da forma ( Z / p Z ) ⁿ para n um inteiro não negativo (às vezes chamado de grupo classificação ). Aqui, Z / p Z denota o grupo cíclico de ordem p (ou equivalentemente os inteiros mod p ), e a notação sobrescrita significa o produto direto n- vezes dos grupos .

Em geral, um (possivelmente infinito) grupo abeliano elementar p é uma soma direta de grupos cíclicos de ordem p . (Observe que, no caso finito, o produto direto e a soma direta coincidem, mas não é assim no caso infinito.)

Atualmente, no restante deste artigo, esses grupos são considerados finitos .

Exemplos e propriedades

• O grupo abeliano elementar ( Z / 2 Z ) ² tem quatro elementos: {(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)} . A adição é realizada componente a componente, tomando o módulo de resultado 2. Por exemplo, (1,0) + (1,1) = (0,1) . Este é de fato o quatro grupos de Klein .
• No grupo gerado pela diferença simétrica em um conjunto (não necessariamente finito), cada elemento tem ordem 2. Qualquer grupo é necessariamente abeliano porque, uma vez que cada elemento é seu próprio inverso, xy = ( xy ) ⁻¹ = y ⁻¹ x ⁻¹ = yx . Esse grupo (também chamado de grupo booleano) generaliza o exemplo de quatro grupos de Klein para um número arbitrário de componentes.
• ( Z / p Z ) ⁿ é gerado por n elementos e n é o menor número possível de geradores. Em particular, o conjunto { e ₁ , ..., e _n } , onde e _i tem um 1 no i ésimo componente e 0 em outro lugar, é um conjunto gerador mínimo.
• Cada grupo abeliano elementar tem uma apresentação finita bastante simples .

${\ displaystyle (\ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z}) ^ {n} \ cong \ langle e_ {1}, \ ldots, e_ {n} \ mid e_ {i} ^ {p} = 1, \ e_ {i} e_ {j} = e_ {j} e_ {i} \ rangle}$

Estrutura do espaço vetorial

Suponha que V ( Z / p Z ) ⁿ seja um grupo abeliano elementar. Como Z / p Z F _p , o corpo finito de p elementos, temos V = ( Z / p Z ) ⁿ F _p ⁿ , portanto, V pode ser considerado um espaço vetorial n- dimensional sobre o campo F _p . Observe que um grupo abeliano elementar não tem, em geral, uma base distinta: a escolha do isomorfismo V ( Z / p Z ) ⁿ corresponde a uma escolha da base. ${\ displaystyle \ cong}$ ${\ displaystyle \ cong}$ ${\ displaystyle \ cong}$ ${\ displaystyle {\ overset {\ cong} {\ to}}}$

Para o leitor observador, pode parecer que F _p ⁿ tem mais estrutura do que o grupo V , em particular que tem multiplicação escalar além da adição (vetor / grupo). No entanto, V como um grupo abeliano tem um único Z - módulo de estrutura em que a acção de Z corresponde a adição repetida, e este Z estrutura -module é consistente com a F _p multiplicação escalar. Ou seja, c · g = g  +  g  + ... +  g ( c vezes) onde c em F _p (considerado como um inteiro com 0 ≤  c  <  p ) dá a V uma estrutura natural do módulo F _p .

Grupo de automorfismo

Como um espaço vetorial V tem uma base { e ₁ , ..., e _n } conforme descrito nos exemplos, se tomarmos { v ₁ , ..., v _n } como sendo quaisquer n elementos de V , então por linear álgebra temos que o mapeamento T ( e _i ) = v _i estende-se exclusivamente a uma transformação linear de v . Cada um desses T pode ser considerado como um homomorfismo de grupo de V para V (um endomorfismo ) e da mesma forma qualquer endomorfismo de V pode ser considerado uma transformação linear de V como um espaço vetorial.

Se restringirmos nossa atenção aos automorfismos de V teremos Aut ( V ) = { T  : V → V | ker t = 0} = GL _n ( F _p ), o grupo linear geral de n  x  n matrizes inversíveis em F _p .

O grupo de automorfismo GL ( V ) = GL _n ( F _p ) atua transitivamente em V \ {0} (como é verdadeiro para qualquer espaço vetorial). Isso de fato caracteriza grupos abelianos elementares entre todos os grupos finitos: se G é um grupo finito com identidade e tal que Aut ( G ) atua transitivamente em G \ {e} , então G é abeliano elementar. (Prova: se Aut ( G ) atua transitivamente em G \ {e} , então todos os elementos de não-identidade de G têm a mesma ordem (necessariamente primos). Então G é um p- grupo. Segue-se que G tem um centro não trivial , é necessariamente invariante sob todos os automorfismos e, portanto, é igual a todos os G. )

Uma generalização para ordens superiores

Também pode ser interessante ir além dos componentes da ordem primária para a ordem da potência primária. Considere um grupo abeliano elementar G como sendo do tipo ( p , p , ..., p ) para algum primo p . Um grupo homocíclico (de classificação n ) é um grupo abeliano do tipo ( m , m , ..., m ), ou seja, o produto direto de n grupos cíclicos isomórficos de ordem m , dos quais grupos do tipo ( p ^k , p ^k , ..., p ^k ) são um caso especial.

Grupos relacionados

Os grupos especiais extras são extensões de grupos abelianos elementares por um grupo cíclico de ordem p, e são análogos ao grupo de Heisenberg .

Veja também

• Grupo elementar
• Espaço de Hamming

Referências