Multiplicador de Schur - Schur multiplier

Estrutura algébrica → Teoria de grupos Teoria de grupos
Noções básicas Subgrupo Subgrupo normal Grupo de quociente Produto (semi) direto Homomorfismos de grupo núcleo imagem soma direta produto de grinalda simples finito infinito contínuo multiplicativo aditivo cíclico abeliano diédrico nilpotente solucionável Glossário da teoria dos grupos Lista de tópicos de teoria de grupo
Grupos finitos Classificação de grupos finitos simples cíclico alternando Tipo de mentira esporádico Teorema de Cauchy Teorema de Lagrange Teoremas de Sylow Teorema de Hall p-grupo Grupo abeliano elementar Grupo Frobenius Multiplicador Schur Grupo simétrico S n Klein quatro grupos V Grupo diédrico D n Quaternion grupo Q Grupo dicíclico Dic n
Grupos discretos Treliças Inteiros ( Z ) Grupo livre Grupos modulares PSL (2, Z ) SL (2, Z ) Grupo aritmético Malha Grupo hiperbólico
Grupos topológicos e de Lie Solenóide Círculo GL linear geral ( n ) SL linear especial ( n ) Ortogonal O ( n ) E Euclidiano ( n ) SO ortogonal especial ( n ) Unitária U ( n ) SU unitário especial ( n ) Sp simplético ( n ) G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz Poincaré Conforme Difeomorfismo Laço Grupo de Lie dimensional infinito O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Grupos algébricos Grupo algébrico linear Grupo redutor Variedade abeliana Curva elíptica
v t e

Em matemático teoria grupo , o Schur multiplicador ou Schur multiplicador é o segundo grupo de homologia de um grupo L . Foi introduzido por Issai Schur  ( 1904 ) em seu trabalho sobre representações projetivas . ${\ displaystyle H_ {2} (G, \ mathbb {Z})}$

Exemplos e propriedades

O multiplicador de Schur de um grupo finito L é um finito grupo abeliano cujo expoente divide a ordem de L . Se um Sylow p -subgrupo de L é cíclico para alguns p , em seguida, a fim de não é divisível por p . Em particular, se todos os Sylow p -subgroups de L são cíclicos, em seguida, é trivial. ${\ displaystyle \ operatorname {M} (G)}$${\ displaystyle \ operatorname {M} (G)}$${\ displaystyle \ operatorname {M} (G)}$

Por exemplo, o multiplicador de Schur do grupo nonabelian de ordem 6 é o grupo trivial, uma vez que todo subgrupo de Sylow é cíclico. O multiplicador Schur do grupo abeliano elementar de ordem 16 é um grupo abeliano elementar de ordem 64, mostrando que o multiplicador pode ser estritamente maior do que o próprio grupo. O multiplicador de Schur do grupo de quatérnio é trivial, mas o multiplicador de Schur de 2 grupos diédricos tem ordem 2.

Os multiplicadores de Schur dos grupos simples finitos são dados na lista de grupos simples finitos . Os grupos de cobertura dos grupos alternados e simétricos são de considerável interesse recente.

Relação com representações projetivas

A motivação original de Schur para estudar o multiplicador era classificar as representações projetivas de um grupo, e a formulação moderna de sua definição é o segundo grupo de cohomologia . Uma representação projetiva é muito parecida com uma representação de grupo, exceto que, em vez de um homomorfismo no grupo linear geral , leva-se um homomorfismo para o grupo linear geral projetivo . Em outras palavras, uma representação projetiva é uma representação módulo do centro . ${\ displaystyle H ^ {2} (G, \ mathbb {C} ^ {\ times})}$ ${\ displaystyle \ operatorname {GL} (n, \ mathbb {C})}$ ${\ displaystyle \ operatorname {PGL} (n, \ mathbb {C})}$

Schur  ( 1904 , 1907 ) mostrou que cada grupo finito L tem associado a ele, pelo menos, um grupo finito C , chamado de uma tampa de Schur , com a propriedade de que cada representação projectiva de L pode ser levantado para uma representação comum de C . A capa de Schur também é conhecida como grupo de cobertura ou Darstellungsgruppe . As coberturas de Schur dos grupos finitos simples são conhecidas e cada uma é um exemplo de grupo quase - simples . A cobertura de Schur de um grupo perfeito é determinada exclusivamente até o isomorfismo, mas a cobertura de Schur de um grupo finito geral é determinada apenas até o isoclinismo .

Relação com as extensões centrais

O estudo de tais grupos de cobertura conduziu naturalmente ao estudo das extensões centrais e do caule .

Uma extensão central de um grupo G é uma extensão

${\ displaystyle 1 \ a K \ a C \ a G \ a 1}$

em que é um subgrupo do centro de C . ${\ displaystyle K \ leq Z (C)}$

Uma extensão de radical de um grupo G é uma extensão

${\ displaystyle 1 \ a K \ a C \ a G \ a 1}$

onde é um subgrupo da interseção do centro de C e o subgrupo derivado de C ; isso é mais restritivo do que central. ${\ displaystyle K \ leq Z (C) \ cap C '}$

Se o grupo L é finita e uma haste considera apenas extensões, então existe uma maior tamanho para um tal grupo C , e para cada C do que o tamanho do subgrupo K é isomorfo para o multiplicador de Schur L . Se o grupo finito G é além disso perfeito , então C é único até o isomorfismo e ele próprio é perfeito. Tais C são freqüentemente chamados de extensões centrais perfeitas universais de G , ou grupo de cobertura (pois é um análogo discreto do espaço de cobertura universal em topologia). Se o grupo finito G não for perfeito, então seus grupos de cobertura de Schur (todos os C de ordem máxima) são apenas isoclínicos .

É também chamado de extensão central universal , mas note que não há extensão central maior, já que o produto direto de G e um grupo abeliano forma uma extensão central de G de tamanho arbitrário.

Stem extensões têm a propriedade agradável que qualquer elevador de um grupo gerador de G é um grupo gerador de C . Se o grupo G é apresentado em termos de um grupo livre F em um conjunto de geradores, e um subgrupo normal R gerado por um conjunto de relações nos geradores , então o próprio grupo de cobertura pode ser apresentado em termos de F, mas com um subgrupo S normal menor , isto é ,. Uma vez que as relações de G especificam elementos de K quando considerados como parte de C , deve-se ter . ${\ displaystyle G \ cong F / R}$${\ displaystyle C \ cong F / S}$${\ displaystyle S \ leq [F, R]}$

Na verdade, se G for perfeito, isso é tudo o que é necessário: C ≅ [ F , F ] / [ F , R ] e M ( G ) ≅ K ≅ R / [ F , R ]. Por causa dessa simplicidade, exposições como ( Aschbacher 2000 , §33) tratam primeiro do caso perfeito. O caso geral para o multiplicador de Schur é semelhante, mas garante que a extensão seja uma extensão da haste restringindo-se ao subgrupo derivado de F : M ( G ) ≅ ( R ∩ [ F , F ]) / [ F , R ]. Todos esses são resultados ligeiramente posteriores de Schur, que também deu uma série de critérios úteis para calculá-los de forma mais explícita.

Relação com apresentações eficientes

Na teoria combinatória de grupos , um grupo geralmente se origina de uma apresentação . Um tema importante nesta área da matemática é estudar apresentações com o mínimo de relações possível, como grupos de um relator como os grupos Baumslag-Solitar . Esses grupos são grupos infinitos com dois geradores e uma relação, e um resultado antigo de Schreier mostra que em qualquer apresentação com mais geradores do que relações, o grupo resultante é infinito. O caso limítrofe é, portanto, bastante interessante: grupos finitos com o mesmo número de geradores que as relações têm uma deficiência zero. Para um grupo ter deficiência zero, o grupo deve ter um multiplicador de Schur trivial porque o número mínimo de geradores do multiplicador de Schur é sempre menor ou igual à diferença entre o número de relações e o número de geradores, que é o negativo deficiência. Um grupo eficiente é aquele em que o multiplicador de Schur requer esse número de geradores.

Um tópico relativamente recente de pesquisa é encontrar apresentações eficientes para todos os grupos simples finitos com multiplicadores de Schur triviais. De certa forma, essas apresentações são boas porque geralmente são curtas, mas são difíceis de encontrar e trabalhar porque não são adequadas para métodos padrão, como enumeração de cosets .

Relação com a topologia

Em topologia , os grupos podem frequentemente ser descritos como grupos finitamente apresentados e uma questão fundamental é calcular sua homologia integral . Em particular, a segunda homologia desempenha um papel especial e isso levou Heinz Hopf a encontrar um método eficaz para calculá-la. O método em ( Hopf 1942 ) também é conhecido como fórmula de homologia integral de Hopf e é idêntico à fórmula de Schur para o multiplicador de Schur de um grupo finito: ${\ displaystyle H_ {n} (G, \ mathbb {Z})}$

${\ displaystyle H_ {2} (G, \ mathbb {Z}) \ cong (R \ cap [F, F]) / [F, R]}$

onde e F é um grupo livre. A mesma fórmula também é válida quando G é um grupo perfeito. ${\ displaystyle G \ cong F / R}$

O reconhecimento de que essas fórmulas eram as mesmas levou Samuel Eilenberg e Saunders Mac Lane à criação da cohomologia de grupos . Em geral,

${\ displaystyle H_ {2} (G, \ mathbb {Z}) \ cong {\ bigl (} H ^ {2} (G, \ mathbb {C} ^ {\ times}) {\ bigr)} ^ {* }}$

onde a estrela denota o grupo dual algébrico. Além disso, quando G é finito, há um isomorfismo não natural

${\ displaystyle {\ bigl (} H ^ {2} (G, \ mathbb {C} ^ {\ times}) {\ bigr)} ^ {*} \ cong H ^ {2} (G, \ mathbb {C } ^ {\ times}).}$

A fórmula de Hopf para foi generalizada para dimensões superiores. Para uma abordagem e referências, consulte o artigo de Everaert, Gran e Van der Linden listado abaixo. ${\ displaystyle H_ {2} (G)}$

Um grupo perfeito é aquele cuja primeira homologia integral desaparece. Um grupo superperfeito é aquele cujos primeiros dois grupos de homologia integral desaparecem. As coberturas de Schur de grupos finitos perfeitos são superperfeitas. Um grupo acíclico é um grupo cuja homologia integral reduzida desaparece.

Formulários

O segundo grupo K algébrico K ₂ ( R ) de um anel comutativo R pode ser identificado com o segundo grupo de homologia H ₂ ( E ( R ), Z ) do grupo E ( R ) de matrizes elementares (infinitas) com entradas em R .

Veja também

• Grupo quasisimple

As referências de Clair Miller fornecem outra visão do Multiplicador de Schur como o núcleo de um morfismo κ: G ∧ G → G induzido pelo mapa do comutador.

Notas

Referências