Glossário da teoria dos grupos - Glossary of group theory

Estrutura algébrica → Teoria de grupos Teoria de grupos
Noções básicas Subgrupo Subgrupo normal Grupo de quociente (Semi) produto direto Homomorfismos de grupo núcleo imagem soma direta produto de grinalda simples finito infinito contínuo multiplicativo aditivo cíclico abeliano diédrico nilpotente solucionável açao Glossário da teoria dos grupos Lista de tópicos de teoria de grupo
Grupos finitos Classificação de grupos finitos simples cíclico alternando Tipo de mentira esporádico Teorema de Cauchy Teorema de Lagrange Teoremas de Sylow Teorema de Hall p-grupo Grupo abeliano elementar Grupo Frobenius Multiplicador Schur Grupo simétrico S n Klein quatro grupos V Grupo diédrico D n Quaternion grupo Q Grupo dicíclico Dic n
Grupos discretos Treliças Inteiros ( )${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ Grupo livre Grupos modulares PSL (2, )${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ SL (2, )${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ Grupo aritmético Malha Grupo hiperbólico
Grupos topológicos e de Lie Solenóide Círculo GL linear geral ( n ) SL linear especial ( n ) Ortogonal O ( n ) E Euclidiano ( n ) SO ortogonal especial ( n ) Unitária U ( n ) SU unitário especial ( n ) Sp simplético ( n ) G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz Poincaré Conforme Difeomorfismo Ciclo Grupo de Lie dimensional infinito O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Grupos algébricos Grupo algébrico linear Grupo redutor Variedade abeliana Curva elíptica
v t e

Um grupo é um conjunto com uma operação associativa que admite um elemento de identidade e de tal forma que cada elemento tem um inverso .

Ao longo do artigo, usamos para denotar o elemento de identidade de um grupo. ${\ displaystyle e}$

UMA

grupo abeliano

Um grupo é abeliano se for comutativo, ou seja, para todos , ∈ . Da mesma forma, um grupo é não - etiquetado se esta relação falhar para qualquer par , ∈ .${\ displaystyle (G, *)}$${\ displaystyle *}$${\ displaystyle g * h = h * g}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle G}$

subgrupo ascendente

Um subgrupo H de um grupo G é ascendente se houver uma série de subgrupos ascendente começando em H e terminando em G , de modo que cada termo na série é um subgrupo normal de seu sucessor. A série pode ser infinita. Se a série for finita, o subgrupo é subnormal .

automorfismo

Um automorfismo de um grupo é um isomorfismo do grupo para si mesmo.

C

centro de um grupo

O centro de um grupo G , denotado Z ( G ) , é o conjunto dos elementos do grupo que comutam com todos os elementos de L , isto é, o conjunto de todos h ∈ G tal que Hg = gh para todos g ∈ L . Z ( G ) é sempre um subgrupo normal de L . Um grupo  L é abeliano se e somente se Z ( G ) = L .

grupo sem centro

Um grupo G não tem centro se seu centro Z ( G ) for trivial .

subgrupo central

Um subgrupo de um grupo é um subgrupo central desse grupo se estiver dentro do centro do grupo .

função de classe

Uma função de classe em um grupo L é uma função que é constante sobre as classes de conjugação de L .

número da classe

O número da classe de um grupo é o número de suas classes de conjugação .

comutador

O comutador de dois elementos de g e h de um grupo  L é o elemento [ g , h ] = g ^-1 h ^-1 GH . Alguns autores definem o comutador como [ g , h ] = ghg ⁻¹ h ⁻¹ . O comutador de dois elementos de g e h é igual a identidade do grupo se e somente se g e h comutam, isto é, se e somente se gh = hg .

subgrupo de comutador

O subgrupo de comutador ou subgrupo derivado de um grupo é o subgrupo gerado por todos os comutadores do grupo.

série de composição

Uma série de composição de um grupo G é uma série subnormal de comprimento finito

${\ displaystyle 1 = H_ {0} \ triangleleft H_ {1} \ triangleleft \ cdots \ triangleleft H_ {n} = G,}$

com inclusões estritas, de modo que cada H _i é um subgrupo normal estrito máximo de H _{i +1} . Equivalentemente, uma série de composição é uma série subnormal de modo que cada grupo de fatores H _{i +1} / H _i é simples . Os grupos de fatores são chamados de fatores de composição.

subgrupo conjugado-fechado

Um subgrupo de um grupo é considerado fechado por conjugação se quaisquer dois elementos do subgrupo que estão conjugados no grupo também estiverem conjugados no subgrupo.

aula de conjugação

As classes de conjugação de um grupo G são os subconjuntos de G contendo elementos do grupo que são conjugados entre si.

elementos conjugados

Dois elementos de x e y de um grupo  L está conjugado se existe um elemento g ∈ G tal que g ^-1 xg = y . O elemento g ⁻¹ xg , denotado x ^g , é chamado de conjugado de x por g . Alguns autores definem o conjugado de x por g como gxg ⁻¹ . Isso geralmente é denotado ^g x . Conjugação é uma relação de equivalência . Suas classes de equivalência são chamadas de classes de conjugação .

subgrupos conjugados

Dois subgrupos H ₁ e H ₂ de um grupo G são subgrupos conjugados se houver um g ∈ G tal que gH ₁ g ⁻¹ = H ₂ .

subgrupo contranormal

Um subgrupo de um grupo G é um subgrupo contranormal de G se seu fechamento normal for o próprio G.

grupo cíclico

Um grupo cíclico é um grupo que é gerado por um único elemento, ou seja, um grupo tal que existe um elemento g no grupo de modo que todos os outros elementos do grupo podem ser obtidos aplicando repetidamente a operação de grupo a  g ou a sua inverso.

D

subgrupo derivado

Sinônimo de subgrupo de comutador .

produto direto

O produto direto de dois grupos G e H , denotado G × H , é o produto cartesiano dos conjuntos subjacentes de G e H , equipado com uma operação binária definida por componentes ( g ₁ , h ₁ ) · ( g ₂ , h ₂ ) = ( g ₁ ⋅ g ₂ , h ₁ ⋅ h ₂ ) . Com esta operação, o próprio G × H forma um grupo.

F

grupo de fator

Sinônimo de grupo quociente .

Grupo FC

Um grupo é um grupo FC se cada classe de conjugação de seus elementos tiver cardinalidade finita.

grupo finito

Um grupo finito é um grupo de ordem finita , ou seja, um grupo com um número finito de elementos.

grupo finitamente gerado

Um grupo G é finitamente gerado se houver um conjunto gerador finito , isto é, se houver um conjunto finito S de elementos de G tal que cada elemento de G pode ser escrito como a combinação de muitos elementos finitos de S e de inversos de elementos de S .

G

conjunto gerador

Um conjunto gerador de um grupo L é um subconjunto S de L de tal modo que cada elemento de L pode ser expressa como uma combinação (sob a operação de grupo) de um número finito de elementos de S e inversas de elementos de S .

automorfismo de grupo

Veja automorfismo .

homomorfismo de grupo

Veja homomorfismo .

isomomorfismo de grupo

Veja isomomorfismo .

H

homomorfismo

Dado dois grupos ( G , *) e ( H , ·) , um homomorphism de L para H é uma função de h  : L → H de tal modo que para todos um e b em G , H ( um * b ) = h ( um ) · H ( b ) .

eu

índice de um subgrupo

O índice de um subgrupo H de um grupo G , denotado | G  : H | ou [ G  : H ] ou ( G  : H ) , é o número de classes laterais de H em L . Para um subgrupo normal N de um grupo G , o índice de N em G é igual a ordem do grupo quociente G / N . Para um finito subgrupo H de um grupo finito L , o índice de H em L é igual ao quociente das ordens de G e H .

isomorfismo

Dados dois grupos ( G , ∗) e ( H , ·) , um isomorfismo entre G e H é um homomorfismo bijetivo de G para H , ou seja, uma correspondência um-para-um entre os elementos dos grupos de uma forma que respeita as operações do grupo. Dois grupos são isomórficos se houver um mapeamento de isomorfismo de grupo de um para o outro. Os grupos isomórficos podem ser considerados essencialmente os mesmos, apenas com rótulos diferentes nos elementos individuais.

eu

rede de subgrupos

A rede de subgrupos de um grupo é a rede definida por seus subgrupos , parcialmente ordenada por inclusão de conjunto .

grupo localmente cíclico

Um grupo é localmente cíclico se todo subgrupo finitamente gerado for cíclico . Todo grupo cíclico é localmente cíclico, e todo grupo finitamente gerado localmente cíclico é cíclico. Todo grupo localmente cíclico é abeliano . Cada subgrupo , cada grupo quociente e cada imagem homomórfica de um grupo localmente cíclico é localmente cíclico.

N

fechamento normal

O fechamento normal de um subconjunto  S de um grupo  G , é a intersecção de todos os subgrupos normais de  L que contêm  S .

núcleo normal

O núcleo normais de um subgrupo H de um grupo L é o maior subgrupo normal de L que está contido em H .

normalizador

Para um subconjunto S de um grupo  G , o normalizador de S em G , denotado N _G ( S ) , é o subgrupo de G definido por

${\ displaystyle \ mathrm {N} _ {G} (S) = \ {g \ in G \ mid gS = Sg \}.}$

série normal

Uma série normal de um grupo  G é uma sequência de subgrupos normais de G, de modo que cada elemento da sequência é um subgrupo normal do próximo elemento:

${\ displaystyle 1 = A_ {0} \ triangleleft A_ {1} \ triangleleft \ cdots \ triangleleft A_ {n} = G}$

com

${\ displaystyle A_ {i} \ triangleleft G}$.

subgrupo normal

Um subgrupo N de um grupo L é normal, em L (indicado ) se a conjugação de um elemento n de N por um elemento g de L está sempre em N , isto é, se por todo g ∈ L e n ∈ N , gng ^{- 1} ∈ N . Um subgrupo normal N de um grupo G pode ser usado para construir o grupo quociente G / N ( G mod N ).${\ displaystyle N \ triangleleft G}$

O

órbita

Considere um grupo G agindo sobre um conjunto X . A órbita de um elemento x em X é o conjunto de elementos em X para que x pode ser movidas por os elementos de L . A órbita de x é denotada por G ⋅ x

ordem de um grupo

A ordem de um grupo é a cardinalidade (ou seja, o número de elementos) de . Um grupo com ordem finita é denominado grupo finito .${\ displaystyle (G, *)}$${\ displaystyle G}$

ordem de um elemento de grupo

A ordem de um elemento g de um grupo G é o menor inteiro positivo n tal que g ⁿ = e . Se tal número inteiro não existe, então a ordem de g é considerada infinita. A ordem de um grupo finito é divisível pela ordem de cada elemento.

P

núcleo perfeito

O núcleo perfeito de um grupo é seu maior subgrupo perfeito .

grupo perfeito

Um grupo perfeito é um grupo igual ao seu próprio subgrupo de comutador .

grupo periódico

Um grupo é periódico se cada elemento do grupo tiver ordem finita . Todo grupo finito é periódico.

grupo de permutação

Um grupo de permutação é um grupo cujos elementos são permutações de um determinado conjunto M (as funções bijetivas do conjunto M para ele mesmo) e cuja operação de grupo é a composição dessas permutações. O grupo que consiste de todas as permutaes de um conjunto H é o grupo simétrico de M .

p -grupo

Se p é um número primo , então um grupo p é aquele em que a ordem de cada elemento é uma potência de p . Um grupo finito é um p -grupo se e somente se a ordem do grupo é uma potência de p .

p- subgrupo

Um subgrupo que também é um grupo p . O estudo de p- subgrupos é o objeto central dos teoremas de Sylow .

Q

grupo de quociente

Dado um grupo e um subgrupo normal de , o grupo de quociente é o conjunto / de cosets à esquerda junto com a operação. A relação entre subgrupos normais, homomorfismos e grupos de fatores é resumida no teorema fundamental dos homomorfismos .${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle N}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle N}$ ${\ displaystyle \ {aN: a \ in G \}}$${\ displaystyle aN * bN = abN.}$

R

elemento real

Um elemento g de um grupo G é denominado elemento real de G se pertencer à mesma classe de conjugação de seu inverso, ou seja, se houver um h em G com ,${\ displaystyle g ^ {h} = g ^ {- 1}}$ onde é definido como h ^-1 gh . Um elemento de um grupo G é real se, e somente se, para todas as representações de G, o traço da matriz correspondente é um número real.${\ displaystyle g ^ {h}}$

S

subgrupo serial

Um subgrupo H de um grupo L é um subgrupo de série de L se houver uma cadeia C de subgrupos de L a partir de H a L , tal que, para cada par de subgrupos consecutivos X e Y em C , X é um subgrupo normal de Y . Se a corrente é finito, então H é um subgrupo subnormal de L .

grupo simples

Um grupo simples é um grupo não trivial cujos únicos subgrupos normais são o grupo trivial e o próprio grupo.

subgrupo

Um subgrupo de um grupo L é um subconjunto H dos elementos de L que se forma um grupo quando equipado com a restrição da operação do grupo de L para H × H . Um subconjunto H de um grupo L é um subgrupo de G se e só se for não vazio e fechada sob produtos e inversos, isto é, se e somente se, para cada um e b em H , AB e uma ^-1 também estão em H .

série de subgrupo

Uma série de subgrupos de um grupo G é uma sequência de subgrupos de G de modo que cada elemento da série seja um subgrupo do próximo elemento:

${\ displaystyle 1 = A_ {0} \ leq A_ {1} \ leq \ cdots \ leq A_ {n} = G.}$

subgrupo subnormal

Um subgrupo H de um grupo L é um subgrupo subnormal de L se houver uma cadeia finito de subgrupos do grupo, cada um normal, no seguinte, começando em H e terminando na L .

grupo simétrico

Dado um conjunto M , o grupo simétrico de M é o conjunto de todas as permutações de M (o conjunto de todas as funções bijetivas de M a M ) com a composição das permutações como operação de grupo. O grupo simétrico de um conjunto finito de tamanho n é denotado S _n . (Os grupos simétricos de quaisquer dois conjuntos do mesmo tamanho são isomórficos .)

T

grupo de torção

Sinônimo de grupo periódico .

subgrupo transitivamente normal

Um subgrupo de um grupo é considerado transitivamente normal no grupo se cada subgrupo normal do subgrupo também for normal em todo o grupo.

grupo trivial

Um grupo trivial é um grupo que consiste em um único elemento, ou seja, o elemento de identidade do grupo. Todos esses grupos são isomorfos , e muitas vezes se fala do grupo trivial.

Definições básicas

Subgrupo . Um subconjunto de um grupoque permanece um grupo quando a operaçãoé restritaé chamado de subgrupo de. ${\ displaystyle H}$${\ displaystyle (G, *)}$${\ displaystyle *}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle G}$

Dado um subconjunto de . Denotamos pelo menor subgrupo de conteúdo . é chamado de subgrupo de gerado por . ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle <S>}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle <S>}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle S}$

Subgrupo normal . é um subgrupo normal deif for allinein,também pertence ao. ${\ displaystyle H}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle g * h * g ^ {- 1}}$${\ displaystyle H}$

Ambos os subgrupos e subgrupos normais de um determinado grupo formam uma rede completa com a inclusão de subconjuntos; esta propriedade e alguns resultados relacionados são descritos pelo teorema da rede .

Homomorfismo de grupo . Estas são funçõesque têm a propriedade especial de ${\ displaystyle f \ dois pontos (G, *) \ to (H, \ vezes)}$

${\ displaystyle f (a * b) = f (a) \ vezes f (b),}$

para quaisquer elementos e de . ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle G}$

Núcleo de um homomorfismo de grupo . É a pré - imagem da identidade no codomorfismo de um homomorfismo de grupo. Todo subgrupo normal é o núcleo de um homomorfismo de grupo e vice-versa.

Isomorfismo de grupo . Homomorfismos de grupo que possuem funções inversas . O inverso de um isomorfismo, ao que parece, também deve ser um homomorfismo.

Grupos isomórficos . Dois grupos são isomórficos se houver um mapeamento de isomorfismo de grupo de um para o outro. Os grupos isomórficos podem ser considerados essencialmente os mesmos, apenas com rótulos diferentes nos elementos individuais. Um dos problemas fundamentais da teoria dos grupos é a classificação dos grupos até o isomorfismo.

Produto direto , soma direta e produto semidireto de grupos. Essas são maneiras de combinar grupos para construir novos grupos; consulte os links correspondentes para obter uma explicação.

Tipos de grupos

Grupo finitamente gerado . Se existe um conjunto finitotal queentãoé dito ser finitamente gerado . Sepode ser considerado como tendo apenas um elemento,é um grupo cíclico de ordem finita, um grupo cíclico infinito , ou possivelmente um grupocom apenas um elemento. ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle <S> = G,}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ {e \}}$

Grupo simples . Grupos simples são aqueles grupos que têm apenase a si próprios como subgrupos normais . O nome é enganoso porque um grupo simples pode, na verdade, ser muito complexo. Um exemplo é o grupo de monstros , cuja ordem é de cerca de 10 ⁵⁴ . Cada grupo finito é construído a partir de grupos simples por meio de extensões de grupo , portanto, o estudo de grupos simples finitos é central para o estudo de todos os grupos finitos. Os grupos finitos simples são conhecidos e classificados . ${\ displaystyle e}$

A estrutura de qualquer grupo abeliano finito é relativamente simples; todo grupo abeliano finito é a soma direta de p-grupos cíclicos . Isso pode ser estendido para uma classificação completa de todos os grupos abelianos finitamente gerados , ou seja, todos os grupos abelianos gerados por um conjunto finito.

A situação é muito mais complicada para os grupos não abelianos.

Grupo livre . Dado qualquer conjunto, pode-se definir um grupo como o menor grupo que contém o semigrupo livre de. O grupo consiste em cadeias finitas (palavras) que podem ser compostas por elementos de, juntamente com outros elementos que são necessários para formar um grupo. A multiplicação de strings é definida por concatenação, por exemplo${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle (abb) * (bca) = abbbca.}$

Cada grupo é basicamente um grupo de fatores de um grupo livre gerado por . Consulte a apresentação de um grupo para obter mais explicações. Pode-se então fazer perguntas algorítmicas sobre essas apresentações, como: ${\ displaystyle (G, *)}$${\ displaystyle G}$

• Essas duas apresentações especificam grupos isomórficos ?; ou
• Esta apresentação especifica o grupo trivial?

O caso geral disso é o problema da palavra , e várias dessas questões são de fato insolúveis por qualquer algoritmo geral.

Grupo linear geral , denotado por GL ( n , F ), é o grupo de matrizes -por- invertíveis , onde os elementos das matrizes são retirados de um campo como os números reais ou os números complexos. ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle F}$

Representação de grupo (não deve ser confundida com a apresentação de um grupo). Uma representação de grupo é um homomorfismo de um grupo para um grupo linear geral. Basicamente, tenta-se "representar" um determinado grupo abstrato como um grupo concreto de matrizes invertíveisque é muito mais fácil de estudar.

Veja também

• Glossário de grupos de Lie e álgebras de Lie
• Glossário da teoria dos anéis
• Série de composição
• Série normal