Malha (subgrupo discreto) - Lattice (discrete subgroup)

Uma parte do grupo de Heisenberg discreto , um subgrupo discreto do grupo de Lie de Heisenberg contínuo. (A coloração e as bordas são apenas para auxílio visual.)

Estrutura algébrica → Teoria de grupos Teoria de grupos
Noções básicas Subgrupo Subgrupo normal Grupo de quociente (Semi) produto direto Homomorfismos de grupo núcleo imagem soma direta produto de coroa simples finito infinito contínuo multiplicativo aditivo cíclico abeliano diédrico nilpotente solucionável Glossário da teoria dos grupos Lista de tópicos de teoria de grupo
Grupos finitos Classificação de grupos finitos simples cíclico alternando Tipo de mentira esporádico Teorema de Cauchy Teorema de Lagrange Teoremas de Sylow Teorema de Hall p-grupo Grupo abeliano elementar Grupo Frobenius Multiplicador Schur Grupo simétrico S n Klein quatro grupos V Grupo diédrico D n Quaternion grupo Q Grupo dicíclico Dic n
Grupos discretos Treliças Inteiros ( Z ) Grupo livre Grupos modulares PSL (2, Z ) SL (2, Z ) Grupo aritmético Malha Grupo hiperbólico
Grupos topológicos e de Lie Solenóide Círculo GL linear geral ( n ) SL linear especial ( n ) Ortogonal O ( n ) E euclidiano ( n ) SO ortogonal especial ( n ) Unitária U ( n ) SU unitário especial ( n ) Sp simplético ( n ) G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz Poincaré Conforme Difeomorfismo Laço Grupo de Lie dimensional infinito O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Grupos algébricos Grupo algébrico linear Grupo redutor Variedade abeliana Curva elíptica
v t e

Na teoria de Lie e áreas relacionadas da matemática, uma rede em um grupo localmente compacto é um subgrupo discreto com a propriedade de que o espaço quociente tem medida invariante finita . No caso especial de subgrupos de R ⁿ , isso equivale à noção geométrica usual de uma rede como um subconjunto periódico de pontos, e tanto a estrutura algébrica das redes quanto a geometria do espaço de todas as redes são relativamente bem compreendidas.

A teoria é particularmente rica para reticulados em grupos de Lie semisimples ou, mais geralmente, em grupos algébricos semisimples sobre campos locais . Em particular, há uma abundância de resultados de rigidez neste cenário, e um célebre teorema de Grigory Margulis afirma que na maioria dos casos todos os reticulados são obtidos como grupos aritméticos .

As reticulados também são bem estudados em algumas outras classes de grupos, em grupos particulares associados a álgebras de Kac-Moody e grupos de automorfismos de árvores regulares (os últimos são conhecidos como retículos de árvores ).

As reticulados são de interesse em muitas áreas da matemática: teoria dos grupos geométricos (como exemplos particularmente agradáveis ​​de grupos discretos ), na geometria diferencial (através da construção de variedades localmente homogêneas), na teoria dos números (através de grupos aritméticos ), na teoria ergódica (através o estudo de fluxos homogêneos nos espaços quocientes) e em combinatória (por meio da construção de grafos expansíveis de Cayley e outros objetos combinatórios).

Generalidades em treliças

Discussão informal

As malhas são mais bem vistas como aproximações discretas de grupos contínuos (como grupos de Lie). Por exemplo, é intuitivamente claro que o subgrupo de vetores inteiros "se parece com" o espaço vetorial real em algum sentido, enquanto ambos os grupos são essencialmente diferentes: um é finitamente gerado e contável , enquanto o outro não é, e tem a cardinalidade de o continuum . ${\ displaystyle \ mathbb {Z} ^ {n}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

Definir rigorosamente o significado de "aproximação de um grupo contínuo por um subgrupo discreto" no parágrafo anterior, a fim de obter uma noção generalizando o exemplo, é uma questão do que se pretende atingir. Talvez a ideia mais óbvia seja dizer que um subgrupo "se aproxima" de um grupo maior é que o grupo maior pode ser coberto pelas traduções de um subconjunto "pequeno" por todos os elementos nos subgrupos. Em um grupo topológico localmente compacto existem dois conceitos imediatamente disponíveis de "pequena": topológica (um compacto , ou subconjunto relativamente compacto ) ou medida-teórica (um subconjunto de finita medida de Haar). Observe que, uma vez que a medida Haar é uma medida Borel , em particular dá massa finita para compactar subconjuntos, a segunda definição é mais geral. A definição de uma rede usada em matemática depende do segundo significado (em particular para incluir exemplos como ), mas o primeiro também tem seu próprio interesse (tais redes são chamadas de uniformes). ${\ displaystyle \ mathbb {Z} ^ {n} \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle \ mathrm {SL} _ {2} (\ mathbb {Z}) \ subset \ mathrm {SL} _ {2} (\ mathbb {R})}$

Definição

Let Ser um grupo compacto local e um subgrupo discreto (isso significa que existe uma vizinhança do elemento identidade de tal que ). Então é chamado de rede se, além disso, existe uma medida de Borel no espaço quociente que é finita (isto é ) e -invariante (significando que para todo e qualquer subconjunto aberto a igualdade é satisfeita). ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle e_ {G}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ Gamma \ cap U = \ {e_ {G} \}}$${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle G / \ Gamma}$${\ displaystyle \ mu (G / \ Gamma) <+ \ infty}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle g \ in G}$${\ displaystyle W \ subset G / \ Gamma}$${\ displaystyle \ mu (gW) = \ mu (W)}$

Uma formulação um pouco mais sofisticada é a seguinte: suponha, além disso, que seja unimodular, então, como é discreto, também é unimodular e, por teoremas gerais, existe uma única medida de Borel -invariante em escala. Então é uma rede se e somente se essa medida for finita. ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G / \ Gamma}$${\ displaystyle \ Gamma}$

No caso de subgrupos discretos, esta medida invariante coincide localmente com a medida de Haar e, portanto, um subgrupo discreto em um grupo localmente compacto sendo uma rede é equivalente a ter um domínio fundamental (para a ação por translações à esquerda) de volume finito para a medida Haar. ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$

Uma rede é chamada de uniforme quando o espaço quociente é compacto (e não uniforme de outra forma). Equivalentemente, um subgrupo discreto é uma rede uniforme se e somente se existe um subconjunto compacto com . Observe que se houver qualquer subgrupo discreto em que seja compacto, será automaticamente uma rede em . ${\ displaystyle \ Gamma \ subset G}$${\ displaystyle G / \ Gamma}$${\ displaystyle \ Gamma \ subset G}$${\ displaystyle C \ subset G}$${\ displaystyle G = \ bigcup {} _ {\ gamma \ in \ Gamma} \, C \ gamma}$${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G / \ Gamma}$${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle G}$

Primeiros exemplos

O exemplo fundamental e mais simples é o subgrupo que é uma rede no grupo de Lie . Um exemplo um pouco mais complicado é dado pelo grupo de Heisenberg discreto dentro do grupo de Heisenberg contínuo. ${\ displaystyle \ mathbb {Z} ^ {n}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

Se for um grupo discreto, então uma rede em é exatamente um subgrupo de índice finito (ou seja, o conjunto de quocientes é finito). ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle G / \ Gamma}$

Todos esses exemplos são uniformes. Um exemplo não uniforme é dado pelo grupo modular interno e também pelos análogos de dimensões superiores . ${\ displaystyle \ mathrm {SL} _ {2} (\ mathbb {Z})}$${\ displaystyle \ mathrm {SL} _ {2} (\ mathbb {R})}$${\ displaystyle \ mathrm {SL} _ {n} (\ mathbb {Z}) \ subset \ mathrm {SL} _ {n} (\ mathbb {R})}$

Qualquer subgrupo de índice finito de uma rede também é uma rede no mesmo grupo. Mais geralmente, um subgrupo comensurável a uma rede é uma rede.

Quais grupos têm reticulados?

Nem todo grupo localmente compacto contém uma rede, e não existe uma condição teórica geral de grupo suficiente para isso. Por outro lado, existem muitas configurações mais específicas onde tais critérios existem. Por exemplo, a existência ou não existência de reticulados em grupos de Lie é um tópico bem compreendido.

Como mencionamos, uma condição necessária para um grupo conter uma rede é que o grupo deve ser unimodular . Isso permite a construção fácil de grupos sem reticulados, por exemplo, o grupo de matrizes triangulares superiores invertíveis ou os grupos afins . Também não é muito difícil encontrar grupos unimodulares sem reticulados, por exemplo, certos grupos de Lie nilpotentes como explicado abaixo.

Uma condição mais forte do que a unimodularidade é a simplicidade . Isso é suficiente para implicar a existência de uma rede em um grupo de Lie, mas no cenário mais geral de grupos localmente compactos, existem grupos simples sem redes, por exemplo, os "grupos de Neretin".

Treliças em grupos de Lie solucionáveis

Grupos de Lie nilpotentes

Para grupos nilpotentes, a teoria simplifica muito do caso geral e permanece semelhante ao caso dos grupos Abelianos. Todos os reticulados em um grupo de Lie nilpotente são uniformes, e se for um grupo de Lie nilpotente conectado simplesmente conectado (de forma equivalente, ele não contém um subgrupo compacto não trivial), então um subgrupo discreto é um reticulado se e somente se não estiver contido em um grupo conectado adequado subgrupo (isto generaliza o fato de que um subgrupo discreto em um espaço vetorial é uma rede se e somente se abrange o espaço vetorial). ${\ displaystyle N}$

Um grupo de Lie nilpotente G contém uma rede se e somente se a álgebra de Lie 𝓰 de G pode ser definida sobre os racionais. Isto é, se e somente se as constantes de estrutura de 𝓰 são números racionais. Mais precisamente: Em um grupo nilpotente cuja álgebra de Lie tem apenas constantes de estrutura racionais, reticulados são as imagens via mapa exponencial de reticulados (no sentido mais elementar de Lattice (grupo) ) na álgebra de Lie.

Uma rede em um grupo de Lie nilpotente é sempre gerada finitamente (e, portanto, finitamente apresentada, uma vez que ela mesma é nilpotente); na verdade, ele é gerado por no máximo elementos. ${\ displaystyle N}$${\ displaystyle \ dim (G)}$

Finalmente, um grupo nilpotente é isomorfo a uma rede em um grupo de Lie nilpotente se e somente se ele contém um subgrupo de índice finito que é livre de torção e finitamente gerado.

O caso geral

O critério para grupos de Lie nilpotentes terem uma rede fornecida acima não se aplica a grupos de Lie solucionáveis ​​mais gerais. É verdade que qualquer rede em um grupo de Lie solucionável é uniforme e que as redes em grupos solucionáveis ​​são finitamente apresentados.

Nem todos os grupos solucionáveis ​​gerados finitamente são reticulados em um grupo de Lie. Um critério algébrico é que o grupo seja policíclico .

Treliças em grupos de Lie semisimples

Grupos aritméticos e existência de redes

Se for um grupo algébrico linear semi-simples no qual é definido sobre o campo de números racionais (isto é, as equações polinomiais que definem têm seus coeficientes em ) então ele tem um subgrupo . Um teorema fundamental de Armand Borel e Harish-Chandra afirma que é sempre uma rede em ; o exemplo mais simples disso é o subgrupo . ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ mathrm {GL} _ {n} (\ mathbb {R})}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle \ Gamma = G \ cap \ mathrm {GL} _ {n} (\ mathbb {Z})}$${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ mathrm {SL} _ {2} (\ mathbb {Z}) \ subset \ mathrm {SL} _ {2} (\ mathbb {R})}$

Generalizando a construção acima, obtém-se a noção de uma rede aritmética em um grupo de Lie semisimples. Uma vez que todos os grupos de Lie semisimples podem ser definidos sobre uma conseqüência da construção aritmética, qualquer grupo de Lie semisimples contém uma rede. ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

Irredutibilidade

Quando o grupo de Lie se divide como um produto, há uma construção óbvia de reticulados a partir dos grupos menores: se são reticulados, então também é um reticulado. Grosso modo, uma rede é então considerada irredutível se não vier dessa construção. ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G = G_ {1} \ vezes G_ {2}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ Gamma _ {1} \ subset G_ {1}, \ Gamma _ {2} \ subset G_ {2}}$${\ displaystyle \ Gamma _ {1} \ times \ Gamma _ {2} \ subset G}$

Mais formalmente, se for a decomposição de em fatores simples, uma rede é considerada irredutível se qualquer uma das seguintes condições equivalentes se mantiver: ${\ displaystyle G = G_ {1} \ times \ ldots \ times G_ {r}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ Gamma \ subset G}$

• A projeção de qualquer fator é densa; ${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle G_ {i_ {1}} \ times \ ldots \ times G_ {i_ {k}}}$
• A interseção de com qualquer fator não é uma rede. ${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle G_ {i_ {1}} \ times \ ldots \ times G_ {i_ {k}}}$

Um exemplo de rede irredutível é dado pelo subgrupo que vemos como um subgrupo através do mapa, onde o mapa de Galois está enviando uma matriz com coeficientes para . ${\ displaystyle \ mathrm {SL} _ {2} (\ mathbb {Z} [{\ sqrt {2}}])}$${\ displaystyle \ mathrm {SL} _ {2} (\ mathbb {R}) \ times \ mathrm {SL} _ {2} (\ mathbb {R})}$${\ displaystyle g \ mapsto (g, \ sigma (g))}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle a_ {i} + b_ {i} {\ sqrt {2}}}$${\ displaystyle a_ {i} -b_ {i} {\ sqrt {2}}}$

Classificação 1 versus classificação superior

A posição real de um grupo de Lie é a dimensão máxima de um subgrupo abeliano contendo apenas elementos semi-simples . Os grupos de Lie semisimples de classificação real 1 sem fatores compactos são (até a isogenia ) aqueles na lista a seguir (ver Lista de grupos de Lie simples ):

• Os grupos ortogonais de formas quadráticas reais de assinatura para ; ${\ displaystyle \ mathrm {SO} (n, 1)}$${\ displaystyle (n, 1)}$${\ displaystyle n \ geq 2}$
• Os grupos unitários de formas de assinatura de Hermitian para ; ${\ displaystyle \ mathrm {SU} (n, 1)}$${\ displaystyle (n, 1)}$${\ displaystyle n \ geq 2}$
• Os grupos (grupos de matrizes com coeficientes de quaternion que preservam uma "forma quadrática quaterniônica" de assinatura ) para ; ${\ displaystyle \ mathrm {Sp} (n, 1)}$${\ displaystyle (n, 1)}$${\ displaystyle n \ geq 2}$
• O grupo de Lie excepcional (a forma real de classificação 1 correspondendo à álgebra de Lie excepcional ). ${\ displaystyle F_ {4} ^ {- 20}}$${\ displaystyle F_ {4}}$

A classificação real de um grupo de Lie tem uma influência significativa no comportamento das redes que ele contém. Em particular, o comportamento dos reticulados nas duas primeiras famílias de grupos (e em menor extensão aquele dos reticulados nos dois últimos) difere muito daquele dos reticulados irredutíveis em grupos de classificação superior. Por exemplo:

• Existem reticulados não aritméticos em todos os grupos , em , e possivelmente em (a última é uma questão em aberto ), mas todos os reticulados irredutíveis nos outros são aritméticos; ${\ displaystyle \ mathrm {SO} (n, 1)}$${\ displaystyle \ mathrm {SU} (2,1), \ mathrm {SU} (3,1)}$${\ displaystyle \ mathrm {SU} (n, 1), n ​​\ geq 4}$
• Reticulados em grupos de Lie de classificação 1 têm subgrupos normais de índice infinito, infinito, enquanto todos os subgrupos normais de reticulados irredutíveis em classificação superior são de índice finito ou contidos em seu centro;
• Conjeturalmente, as redes aritméticas em grupos de classificação superior têm a propriedade de subgrupo de congruência, mas há muitas redes nas quais há subgrupos de índice finito de não congruência. ${\ displaystyle \ mathrm {SO} (n, 1), \ mathrm {SU} (n, 1)}$

Propriedade de Kazhdan (T)

A propriedade conhecida como (T) foi introduzida por Kazhdan para estudar as redes da estrutura algébrica em certos grupos de Lie quando os métodos clássicos e mais geométricos falharam ou pelo menos não eram tão eficientes. O resultado fundamental ao estudar retículos é o seguinte:

Uma rede em um grupo localmente compacto possui propriedade (T) se e somente se o próprio grupo possui propriedade (T).

Usando a análise harmônica , é possível classificar grupos de Lie semisimples de acordo com se eles têm ou não a propriedade. Como consequência, obtemos o seguinte resultado, ilustrando ainda mais a dicotomia da seção anterior:

• As malhas em não têm a propriedade de Kazhdan (T), enquanto as malhas irredutíveis em todos os outros grupos de Lie simples têm; ${\ displaystyle \ mathrm {SO} (n, 1), \ mathrm {SU} (n, 1)}$

Propriedades de finitude

Os reticulados em grupos de Lie semisimples são sempre apresentados finitamente e, na verdade, satisfazem condições de finitude mais fortes . Para redes uniformes, isso é uma consequência direta da co-compactação. No caso não uniforme, isso pode ser provado usando a teoria da redução. No entanto, para mera apresentabilidade finita, uma prova muito mais rápida é usar a propriedade de Kazhdan (T) quando possível.

Variedades Riemannianas associadas a reticulados em grupos de Lie

Métricas invariantes à esquerda

Se for um grupo de Lie, então a partir de um produto interno no espaço tangente (a álgebra de Lie ), pode-se construir uma métrica Riemanniana em como segue: se pertencer ao espaço tangente em um ponto colocado onde indica o mapa tangente (em ) do difeomorfismo de . ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle g_ {e}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle v, w}$${\ displaystyle \ gamma \ in G}$${\ displaystyle g _ {\ gamma} (v, w) = g_ {e} (\ gamma ^ {*} v, \ gamma ^ {*} w)}$${\ displaystyle \ gamma ^ {*}}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle x \ mapsto \ gamma ^ {- 1} x}$${\ displaystyle G}$

Os mapas para são, por definição, isometrias para esta métrica . Em particular, se for qualquer subgrupo discreto em (de forma que ele atue livre e adequadamente descontinuamente por translações à esquerda ), o quociente é uma variedade Riemanniana localmente isométrica com a métrica . ${\ displaystyle x \ mapsto \ gamma x}$${\ displaystyle \ gamma \ in G}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ Gamma \ barra invertida G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle g}$

A forma de volume Riemanniana associada a define uma medida de Haar e vemos que a variedade quociente é de volume Riemanniano finito se e somente se for uma rede. ${\ displaystyle g}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ Gamma}$

Exemplos interessantes nesta classe de espaços Riemannianos incluem variedades planas compactas e nilvariedades .

Espaços localmente simétricos

Um produto interno natural é dado pela forma Killing . Se não for compacto, não é definido e, portanto, não é um produto interno: no entanto, quando é semisimples e é um subgrupo compacto máximo, pode ser usado para definir uma métrica -invariante no espaço homogêneo : tais variedades Riemannianas são chamadas de espaços simétricos de não tipo compacto sem fatores euclidianos. ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle X = G / K}$

Um subgrupo atua livremente e de forma descontinuada de forma adequada se e somente se for discreto e livre de torção. Os quocientes são chamados de espaços localmente simétricos. Há, portanto, uma correspondência bijetiva entre espaços localmente simétricos completos localmente isomórficos a e de volume Riemanniano finito e redes sem torção em . Esta correspondência pode ser estendida a todas as redes, adicionando orbifolds no lado geométrico. ${\ displaystyle \ Gamma \ subset G}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ Gamma \ barra invertida X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle G}$

Treliças em grupos de Lie p-ádicos

Uma classe de grupos com propriedades semelhantes (com respeito a reticulados) a grupos de Lie semisimples reais são grupos algébricos semisimples sobre campos locais de característica 0, por exemplo, os campos p-ádicos . Há uma construção aritmética semelhante ao caso real, e a dicotomia entre posto superior e posto um também se mantém neste caso, de forma mais acentuada. Let Ser um grupo algébrico over of split- -rank r . Então: ${\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {p}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {p}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {p}}$

• Se r for pelo menos 2, todas as redes irredutíveis em são aritméticas; ${\ displaystyle G}$
• se r = 1 então existem inúmeras classes de comensurabilidade de redes não aritméticas.

No último caso, todas as redes são de fato grupos livres (até o índice finito).

Grupos S-aritméticos

De forma mais geral, pode-se olhar para reticulados em grupos da forma

${\ displaystyle G = \ prod _ {p \ in S} G_ {p}}$

onde está um grupo algébrico semi-simples terminado . Normalmente é permitido, caso em que é um grupo de Lie real. Um exemplo de tal rede é dado por ${\ displaystyle G_ {p}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {p}}$${\ displaystyle p = \ infty}$${\ displaystyle G _ {\ infty}}$

${\ displaystyle \ mathrm {SL} _ {2} \ left (\ mathbb {Z} \ left [{\ frac {1} {p}} \ right] \ right) \ subset \ mathrm {SL} _ {2} (\ mathbb {R}) \ times \ mathrm {SL} _ {2} (\ mathbb {Q} _ {p})}$ .

Esta construção aritmética pode ser generalizada para obter a noção de um grupo S-aritmético . O teorema da aritmeticidade de Margulis também se aplica a essa configuração. Em particular, se pelo menos dois dos fatores são não compactos, então qualquer rede irredutível em é S-aritmética. ${\ displaystyle G_ {p}}$${\ displaystyle G}$

Treliças em grupos adelic

Se for um grupo algébrico semi-simples sobre um campo numérico e seu anel adèle, então o grupo de pontos adélic é bem definido (módulo alguns detalhes técnicos) e é um grupo localmente compacto que naturalmente contém o grupo do ponto -racional como um subgrupo discreto. O teorema Borel-Harish-Chandra se estende a essa configuração e é uma rede. ${\ displaystyle \ mathrm {G}}$ ${\ displaystyle F}$${\ displaystyle \ mathbb {A}}$${\ displaystyle G = \ mathrm {G} (\ mathbb {A})}$${\ displaystyle \ mathrm {G} (F)}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle \ mathrm {G} (F) \ subset \ mathrm {G} (\ mathbb {A})}$

O teorema da aproximação forte relaciona o quociente a quocientes S-aritméticos mais clássicos. Este fato torna os grupos adèle muito eficazes como ferramentas na teoria das formas automórficas . Em particular, as formas modernas da fórmula de traço são geralmente declaradas e comprovadas para grupos adélic em vez de para grupos de Lie. ${\ displaystyle \ mathrm {G} (F) \ barra invertida \ mathrm {G} (\ mathbb {A})}$

Rigidez

Resultados de rigidez

Outro grupo de fenômenos relativos às redes em grupos algébricos semisimples é conhecido coletivamente como rigidez . Aqui estão três exemplos clássicos de resultados nesta categoria.

Os resultados de rigidez local afirmam que, na maioria das situações, cada subgrupo que é suficientemente "próximo" de uma rede (no sentido intuitivo, formalizado pela topologia Chabauty ou pela topologia em uma variedade de caracteres ) é na verdade conjugado à rede original por um elemento do grupo de Lie ambiente. Uma consequência da rigidez local e do teorema de Kazhdan-Margulis é o teorema de Wang: em um determinado grupo (com uma medida Haar fixa), para qualquer v> 0 há apenas finitamente muitas (até a conjugação) redes com covolume limitado por v .

O teorema de rigidez de Mostow afirma que para redes em grupos de Lie simples não localmente isomórficos para (o grupo de 2 por 2 matrizes com determinante 1) qualquer isomorfismo de redes é essencialmente induzido por um isomorfismo entre os próprios grupos. Em particular, uma rede em um grupo de Lie "lembra" o grupo de Lie ambiente por meio de sua estrutura de grupo. A primeira afirmação é às vezes chamada de forte rigidez e deve-se a George Mostow e Gopal Prasad (Mostow a provou para redes co-compactas e Prasad a estendeu ao caso geral). ${\ displaystyle \ mathrm {SL} _ {2} (\ mathbb {R})}$

Superrigidity fornece (por grupos de Lie e grupos algébricas sobre campos locais de maior classificação) um reforço de rigidez tanto local e forte, lidando com homomorphisms arbitrárias de uma rede em um grupo algébrico L em outro grupo algébrica H . Foi provado por Grigori Margulis e é um ingrediente essencial na prova de seu teorema de aritmeticidade.

Não rigidez em dimensões baixas

Os únicos grupos de Lie semisimples para os quais a rigidez de Mostow não se mantém são todos os grupos localmente isomórficos a . Neste caso, há de fato continuamente muitas treliças e elas dão origem aos espaços de Teichmüller . ${\ displaystyle \ mathrm {PSL} _ {2} (\ mathbb {R})}$

As redes não uniformes no grupo não são localmente rígidas. Na verdade, eles são pontos de acumulação (na topologia Chabauty) de redes de menor covolume, conforme demonstrado pela cirurgia de Dehn hiperbólica . ${\ displaystyle \ mathrm {PSL} _ {2} (\ mathbb {C})}$

Como reticulados em grupos p-ádicos de classificação um são grupos virtualmente livres, eles são muito não rígidos.

Treliça de árvore

Definição

Seja uma árvore com um grupo co-compacto de automorfismos; por exemplo, pode ser uma árvore regular ou biregular . O grupo de automorfismos de é um grupo localmente compacto (quando dotado da topologia compacto-aberto , em que uma base de vizinhanças da identidade é dada pelos estabilizadores de subárvores finitas, que são compactas). Qualquer grupo que seja uma treliça em alguns é então chamado de treliça de árvore . ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle \ mathrm {Aut} (T)}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle \ mathrm {Aut} (T)}$

A discrição, neste caso, é fácil de ver a partir da ação do grupo na árvore: um subgrupo de é discreto se e somente se todos os estabilizadores de vértice forem grupos finitos. ${\ displaystyle \ mathrm {Aut} (T)}$

É facilmente visto a partir da teoria básica de ações de grupo em árvores que as redes de árvore uniformes são grupos virtualmente livres. Assim, as redes de árvore mais interessantes são as não uniformes, equivalentemente aquelas para as quais o gráfico de quociente é infinito. A existência de tais redes não é fácil de ver. ${\ displaystyle \ Gamma \ barra invertida T}$

Redes de árvores de grupos algébricos

Se for um campo local de característica positiva (ou seja, a conclusão de um campo de função de uma curva sobre um campo finito, por exemplo, o campo da série de potências de Laurent formal ) e um grupo algébrico definido ao longo da posição dividida um, então qualquer rede em é uma treliça de árvore por meio de sua ação no edifício Bruhat-Tits que, neste caso, é uma árvore. Em contraste com o caso característico 0, tais redes podem ser não uniformes e, neste caso, nunca são geradas finitamente. ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle \ mathbb {F} _ {p} ((t))}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle G}$

Redes de árvores da teoria de Bass-Serre

Se for o grupo fundamental de um gráfico infinito de grupos , todos cujos grupos de vértices são finitos, e sob suposições adicionais necessárias sobre o índice dos grupos de arestas e o tamanho dos grupos de vértices, então a ação de na árvore Bass-Serre associado ao grafo de grupos realiza-o como uma treliça de árvore. ${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle \ Gamma}$

Critério de existência

De maneira mais geral, pode-se fazer a seguinte pergunta: se é um subgrupo fechado de , sob quais condições contém uma rede? A existência de uma rede uniforme é equivalente a ser unimodular e o quociente ser finito. O teorema da existência geral é mais sutil: é necessário e suficiente que seja unimodular, e que o quociente seja de "volume finito" em um sentido adequado (que pode ser expresso combinatorialmente em termos da ação de ), mais geral do que o mais forte condição de que o quociente seja finito (como provado pela própria existência de redes de árvore não uniformes). ${\ displaystyle H}$${\ displaystyle \ mathrm {Aut} (T)}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle H \ barra invertida T}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle H \ barra invertida T}$${\ displaystyle H}$

Notas

Referências

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• Platonov, Vladimir ; Rapinchuk, Andrei (1994). Grupos algébricos e teoria dos números. (Traduzido do original russo de 1991 por Rachel Rowen.) . Matemática Pura e Aplicada. 139 . Boston, MA: Academic Press, Inc. ISBN   0-12-558180-7 . MR   1278263 .
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• Witte-Morris, Dave (2015). Introdução aos grupos aritméticos . Imprensa dedutiva. p. 492. ISBN   978-0-9865716-0-2 .