Versor - Versor

Em matemática , um versor é um quaternion de norma um (um quaternion unitário ). A palavra é derivada do latim versare = "girar" com o sufixo - ou formando um substantivo a partir do verbo (isto é, versor = "girar"). Foi introduzido por William Rowan Hamilton no contexto de sua teoria do quaternion.

Cada versor tem a forma

${\ displaystyle q = \ exp (a \ mathbf {r}) = \ cos a + \ mathbf {r} \ sin a, \ quad \ mathbf {r} ^ {2} = - 1, \ quad a \ in [0 , \ pi],}$

onde a condição r ² = −1 significa que r é um vetor quatérnio de comprimento unitário (ou que o primeiro componente de r é zero, e os últimos três componentes de r são um vetor unitário em 3 dimensões). O correspondente 3-dimensional rotação tem o ângulo de dois um em torno do eixo R , em representação eixo angular . No caso de a = π / 2 , o versor é denominado versor direito .

Apresentação em 3 e 2 esferas

arco AB + arco BC = arco AC

Hamilton denotou o versor de um quaternion q pelo símbolo U q . Ele foi então capaz de exibir o quaternion geral na forma de coordenadas polares

q = T q U q ,

onde T q é a norma de q . A norma de um versor é sempre igual a um; portanto, eles ocupam a unidade de 3-esfera em H . Os exemplos de versores incluem os oito elementos do grupo do quaternion . De particular importância são os versores corretos , que têm ângulo π / 2 . Esses versores têm parte escalar zero e, portanto, vetores de comprimento um (vetores unitários). Os versores direitos formam uma esfera de raízes quadradas de -1 na álgebra de quaternion. Os geradores i , j e k são exemplos de versores à direita, bem como seus inversos aditivos . Outros versores incluem os vinte e quatro quaternions de Hurwitz que têm a norma 1 e formam vértices de um policoro de 24 células .

Hamilton definiu um quatérnio como o quociente de dois vetores. Um versor pode ser definido como o quociente de dois vetores unitários. Para qualquer plano fixo Π, o quociente de dois vetores unitários situados em Π depende apenas do ângulo (direcionado) entre eles, o mesmo a que na representação do vetor unitário-ângulo de um versor explicada acima. É por isso que pode ser natural entender os versores correspondentes como arcos direcionados que conectam pares de vetores unitários e se situam em um grande círculo formado pela intersecção de Π com a esfera unitária , onde o plano Π passa pela origem. Arcos de mesma direção e comprimento (ou, o mesmo, seu ângulo subtendido em radianos ) são equivalentes , ou seja, definem o mesmo versor.

Tal arco, embora situado no espaço tridimensional , não representa um caminho de um ponto girando como descrito com o produto ensanduichado com o versor. Na verdade, ele representa a ação de multiplicação à esquerda do versor em quatérnios que preserva o plano Π e o grande círculo de 3 vetores correspondente. A rotação tridimensional definida pelo versor tem o ângulo duas vezes o ângulo subtendido do arco e preserva o mesmo plano. É uma rotação em torno do vetor correspondente r , que é perpendicular a Π.

Em três vetores unitários, Hamilton escreve

${\ displaystyle q = \ beta: \ alpha = OB: OA \}$ e

${\ displaystyle q '= \ gamma: \ beta = OC: OB}$

implica

${\ displaystyle q'q = \ gamma: \ alpha = OC: OA.}$

A multiplicação dos quatérnions da norma um corresponde à "adição" (não comutativa) de arcos de grande círculo na esfera unitária. Qualquer par de grandes círculos é o mesmo círculo ou tem dois pontos de interseção . Portanto, pode-se sempre mover o ponto B e o vetor correspondente para um desses pontos de forma que o início do segundo arco seja igual ao final do primeiro arco.

Uma equação

${\ displaystyle \ exp (c \ mathbf {r}) \ exp (a \ mathbf {s}) = \ exp (b \ mathbf {t}) \!}$

especifica implicitamente a representação do vetor-ângulo unitário para o produto de dois versores. Sua solução é uma instância da fórmula geral de Campbell – Baker – Hausdorff na teoria dos grupos de Lie . Como a esfera 3 representada por versores em é um grupo de Lie de 3 parâmetros, a prática com composições de versores é um passo na teoria de Lie . Evidentemente, os versores são a imagem do mapa exponencial aplicado a uma bola de raio π no subespaço quaternion de vetores. ${\ displaystyle \ mathbb {H}}$

Os versores compõem os arcos vetoriais mencionados anteriormente, e Hamilton se referiu a essa operação de grupo como "a soma dos arcos", mas como quatérnios eles simplesmente se multiplicam.

A geometria do espaço elíptico foi descrita como o espaço dos versores.

Representação do SO (3)

O grupo ortogonal em três dimensões, grupo de rotação SO (3) , é freqüentemente interpretado com versores por meio do automorfismo interno, onde u é um versor. Na verdade, se ${\ displaystyle q \ mapsto u ^ {- 1} qu}$

${\ displaystyle u = \ exp (ar)}$e o vetor s é perpendicular a r ,

então

${\ displaystyle u ^ {- 1} su = s \ cos 2a + sr \ sin 2a}$

por cálculo. O plano é isomórfico a e o automorfismo interno, por comutatividade, reduz-se ao mapeamento identitário ali. Uma vez que os quatérnios podem ser interpretados como uma álgebra de duas dimensões complexas, a ação de rotação também pode ser visualizada por meio do grupo unitário especial SU (2) . ${\ displaystyle \ {x + yr: (x, y) \ in \ mathbb {R} ^ {2} \} \ subset H}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$

Para um r fixo , os versores da forma exp ( a r ) onde a  ∈  (−π, π] , formam um subgrupo isomórfico ao grupo do círculo . As órbitas da ação de multiplicação à esquerda deste subgrupo são fibras de um feixe de fibras sobre o 2-esfera, conhecida como fibração de Hopf no caso r  =  i ; outros vetores fornecem fibrações isomórficas, mas não idênticas. Em 2003, David W. Lyons escreveu "as fibras do mapa de Hopf são círculos em S ³ " (página 95). Lyons oferece uma introdução elementar aos quatérnios para elucidar a fibração de Hopf como um mapeamento em quatérnios unitários.

Versores têm sido usados ​​para representar rotações da esfera de Bloch com multiplicação de quaternion.

Espaço elíptico

A facilidade de versores ilustra a geometria elíptica , em particular o espaço elíptico , um reino tridimensional de rotações. Os versores são os pontos desse espaço elíptico, embora se refiram a rotações no espaço euclidiano quadridimensional . Dadas duas versors fixos u e v , o mapeamento é um movimento elíptico . Se um dos versores fixos for 1, então o movimento é uma tradução de Clifford do espaço elíptico, em homenagem a William Kingdon Clifford, que foi um proponente do espaço. Uma linha elíptica através do versor u é o paralelismo no espaço expresso pelos paralelos de Clifford . Um dos métodos de visualização do espaço elíptico usa a transformada de Cayley para mapear os versores para${\ displaystyle q \ mapsto uqv}$${\ displaystyle \ {ue ^ {ar}: 0 \ leq a <\ pi \}.}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

Versor hiperbólico

Um versor hiperbólico é uma generalização de versores quaterniônicos para grupos ortogonais indefinidos , como o grupo de Lorentz . É definido como uma quantidade do formulário

${\ displaystyle \ exp (ar) = \ cosh a + \ mathbf {r} \ sinh a}$ Onde ${\ displaystyle \ mathbf {r} ^ {2} = + 1.}$

Esses elementos surgem em álgebras de assinatura mista , por exemplo , números complexos divididos ou quatérnios divididos . Foi a álgebra de tessarinas descoberta por James Cockle em 1848 que primeiro forneceu os versores hiperbólicos. Na verdade, James Cockle escreveu a equação acima (com j no lugar de r ) quando descobriu que as tessarinas incluíam o novo tipo de elemento imaginário.

Este versor foi usado por Homersham Cox (1882/83) em relação à multiplicação do quaternion. O principal expoente dos versores hiperbólicos foi Alexander Macfarlane enquanto trabalhava para moldar a teoria dos quatérnios para servir à ciência física. Ele viu o poder de modelagem dos versores hiperbólicos operando no plano dos números complexos de divisão e, em 1891, introduziu os quatérnios hiperbólicos para estender o conceito para o espaço 4. Problemas nessa álgebra levaram ao uso de biquaternions após 1900. Em uma revisão amplamente divulgada de 1899, Macfarlane disse:

... a raiz de uma equação quadrática pode ser versor por natureza ou escalar por natureza. Se for versor por natureza, então a parte afetada pelo radical envolve o eixo perpendicular ao plano de referência, e isso é verdade, quer o radical envolva a raiz quadrada de menos um ou não. No primeiro caso, o versor é circular, no último hiperbólico.

Hoje, o conceito de grupo de um parâmetro inclui os conceitos de versor e versor hiperbólico, pois a terminologia de Sophus Lie substituiu a de Hamilton e Macfarlane. Em particular, para cada r tal que rr = +1 ou rr = −1 , o mapeamento leva a linha real a um grupo de versores hiperbólicos ou ordinários. No caso comum, quando r e - r são antípodas em uma esfera, os grupos de um parâmetro têm os mesmos pontos, mas são direcionados de forma oposta. Na física, esse aspecto da simetria rotacional é denominado dupleto . ${\ displaystyle a \ mapsto \ exp (a \, \ mathbf {r})}$

Em 1911, Alfred Robb publicou seu Optical Geometry of Motion no qual identificou o parâmetro rapidez que especifica uma mudança no quadro de referência . Este parâmetro de rapidez corresponde à variável real em um grupo de um parâmetro de versores hiperbólicos. Com o desenvolvimento da relatividade especial, a ação de um versor hiperbólico passou a ser chamada de impulso de Lorentz .

Teoria da mentira

Sophus Lie tinha menos de um ano quando Hamilton descreveu os quatérnios pela primeira vez, mas o nome de Lie tornou-se associado a todos os grupos gerados por exponenciação. O conjunto de versores com sua multiplicação foi denotado como Sl (1, q) por Robert Gilmore em seu texto sobre a teoria de Lie. Sl (1, q) é o grupo linear especial de uma dimensão sobre os quatérnios, o "especial" indicando que todos os elementos são da norma um. O grupo é isomórfico a SU (2, c), um grupo unitário especial , uma designação frequentemente usada, uma vez que quatérnios e versores são às vezes considerados anacrônicos para a teoria dos grupos. O grupo ortogonal especial SO (3, r) de rotações em três dimensões está intimamente relacionado: é uma imagem homomórfica 2: 1 de SU (2, c).

O subespaço é chamado de álgebra de Lie do grupo de versores. O produto do comutador apenas duplica o produto vetorial de dois vetores, forma a multiplicação na álgebra de Lie. A estreita relação com SU (1, c) e SO (3, r) é evidente no isomorfismo de suas álgebras de Lie. ${\ displaystyle \ {xi + yj + zk: x, y, z \ in R \} \ subconjunto H}$${\ displaystyle [u, v] = uv-vu \,}$

Os grupos de Lie que contêm versores hiperbólicos incluem o grupo da hipérbole unitária e o grupo unitário especial SU (1,1) .

Veja também

• cis (matemática) ( cis ( x ) = cos ( x ) + i sen ( x ) )
• Quaternions e rotação espacial
• Rotações no espaço euclidiano de 4 dimensões
• Curva (geometria)

Notas

Referências

• William Rowan Hamilton (1844 a 1850) Sobre quaternions ou um novo sistema de imaginários em álgebra , Philosophical Magazine , link para a coleção de David R. Wilkins no Trinity College, Dublin .
• William Rowan Hamilton (1899) Elements of Quaternions , 2ª edição, editado por Charles Jasper Joly, Longmans Green & Company. Veja as pp. 135–147.
• Arthur Sherburne Hardy (1887) Elements of Quaternions , pp. 71,2 "Representation of Versors by spherical arcs" e pp. 112–8 "Applications to Spherical Trigonometry".
• Arthur Stafford Hathaway (1896) A Primer on Quaternions , Capítulo 2: Turns, Rotations, Arc Steps, do Project Gutenberg
• Cibelle Celestino Silva, Roberto de Andrade Martins (2002) "Polar and Axial Vectors versus Quaternions", American Journal of Physics 70: 958. Seção IV: Versores e vetores unitários no sistema de quatérnios. Seção V: Vetores versores e unitários em álgebra vetorial.
• Pieter Molenbroeck (1891) Theorie der Quaternionen , Seite 48, "Darstellung der Versoren mittelst Bogen auf der Einheitskugel", Leiden: Brill.

links externos

• Versor na Encyclopedia of Mathematics .
• Luis Ibáñez Quaternion tutorial da National Library of Medicine