Equação de continuidade - Continuity equation

Uma equação de continuidade ou equação de transporte é uma equação que descreve o transporte de alguma quantidade. É particularmente simples e poderoso quando aplicado a uma quantidade conservada , mas pode ser generalizado para ser aplicado a qualquer quantidade extensa . Uma vez que massa , energia , momento , carga elétrica e outras quantidades naturais são conservadas em suas respectivas condições apropriadas, uma variedade de fenômenos físicos podem ser descritos usando equações de continuidade.

As equações de continuidade são uma forma local mais forte de leis de conservação . Por exemplo, uma versão fraca da lei de conservação de energia afirma que a energia não pode ser criada nem destruída - ou seja, a quantidade total de energia no universo é fixa. Esta afirmação não descarta a possibilidade de que uma quantidade de energia possa desaparecer de um ponto enquanto aparece simultaneamente em outro ponto. Uma afirmação mais forte é que a energia é conservada localmente : a energia não pode ser criada nem destruída, nem pode " teletransportar " de um lugar para outro - ela só pode se mover por um fluxo contínuo. Uma equação de continuidade é a maneira matemática de expressar esse tipo de afirmação. Por exemplo, a equação de continuidade para carga elétrica afirma que a quantidade de carga elétrica em qualquer volume do espaço só pode mudar pela quantidade de corrente elétrica fluindo para dentro ou para fora desse volume através de seus limites.

As equações de continuidade, de maneira mais geral, podem incluir termos de "fonte" e "depósito", que lhes permitem descrever quantidades que são freqüentemente, mas nem sempre, conservadas, como a densidade de uma espécie molecular que pode ser criada ou destruída por reações químicas. Em um exemplo cotidiano, existe uma equação de continuidade para o número de pessoas vivas; tem um "termo fonte" para explicar as pessoas que estão nascendo e um "termo sumidouro" para explicar as pessoas que estão morrendo.

Qualquer equação de continuidade pode ser expressa em uma "forma integral" (em termos de uma integral de fluxo ), que se aplica a qualquer região finita, ou em uma "forma diferencial" (em termos do operador de divergência ) que se aplica em um ponto.

Equações de continuidade são a base de equações de transporte mais específicas, como a equação de convecção-difusão , a equação de transporte de Boltzmann e as equações de Navier-Stokes .

Fluxos governados por equações de continuidade podem ser visualizados usando um diagrama de Sankey .

Equação geral

Definição de fluxo

Uma equação de continuidade é útil quando um fluxo pode ser definido. Para definir o fluxo, primeiro deve haver uma quantidade $q$ que pode fluir ou se mover, como massa , energia , carga elétrica , momento , número de moléculas, etc. Seja $ρ$ a densidade de volume desta quantidade, ou seja, a quantidade de $q$ por unidade de volume.

A maneira como essa quantidade $q$ flui é descrita por seu fluxo . O fluxo de $q$ é um campo vetorial , que denotamos como j . Aqui estão alguns exemplos e propriedades de fluxo:

A dimensão do fluxo é "quantidade de $q$ fluindo por unidade de tempo, através de uma unidade de área". Por exemplo, na equação de continuidade de massa para água corrente, se 1 grama por segundo de água estiver fluindo através de um tubo com área de seção transversal de 1 cm ² , então o fluxo de massa médio $j$ dentro do tubo é (1 g / s) / cm ² , e sua direção é ao longo do tubo na direção em que a água está fluindo. Fora da tubulação, onde não há água, o fluxo é zero.
Se houver um campo de velocidade $u$ que descreve o fluxo relevante - em outras palavras, se toda a quantidade $q$ em um ponto $x$ está se movendo com a velocidade $u (x)$ - então o fluxo é por definição igual à densidade vezes o campo de velocidade : ${\ displaystyle \ mathbf {j} = \ rho \ mathbf {u}}$ Por exemplo, se na equação de continuidade de massa para água corrente, $u$ é a velocidade da água em cada ponto e $ρ$ é a densidade da água em cada ponto, então $j$ seria o fluxo de massa.
Em um exemplo bem conhecido, o fluxo de carga elétrica é a densidade da corrente elétrica .

Ilustração de como o fluxo $j$ de uma quantidade $q$ passa através de uma superfície aberta $S$ . ( $d S$ é a área vetorial diferencial ).
Se houver uma superfície imaginária $S$ , então a integral de superfície do fluxo sobre $S$ é igual à quantidade de $q$ que está passando pela superfície $S$ por unidade de tempo:

${\ displaystyle ({\ text {Avalie que}} q {\ text {está fluindo pela superfície imaginária}} S) = \ iint _ {S} \ mathbf {j} \ cdot d \ mathbf {S}}$

em que é uma
superfície integral . ${\ textstyle \ iint _ {S} d \ mathbf {S}}$

(Observe que o conceito que é aqui chamado de "fluxo" é alternativamente denominado "densidade de fluxo" em alguma literatura, em que o contexto "fluxo" denota a integral de superfície da densidade de fluxo. Consulte o artigo principal sobre Fluxo para obter detalhes.)

Forma integral

A forma integral da equação de continuidade afirma que:

A quantidade de $q$ em uma região aumenta quando $q$ adicional flui para dentro através da superfície da região e diminui quando flui para fora;
A quantidade de $q$ em uma região aumenta quando um novo $q$ é criado dentro da região e diminui quando $q$ é destruído;
Além desses dois processos, não há outra maneira de mudar a quantidade de $q$ em uma região.

Matematicamente, a forma integral da equação de continuidade que expressa a taxa de aumento de $q$ dentro de um volume $V$ é:

${\ displaystyle {\ frac {dq} {dt}} +}$ $\ oiint$ ${\ displaystyle \ scriptstyle S}$ ${\ displaystyle \ mathbf {j} \ cdot d \ mathbf {S} = \ Sigma}$

Na forma integral da equação de continuidade,

S

é qualquer superfície fechada que envolve totalmente um volume

V

, como qualquer uma das superfícies à esquerda.

S

não pode ser uma superfície com limites, como os da direita. (As superfícies são azuis, os limites são vermelhos.)

Onde

$S$ é qualquer superfície fechada imaginária, que encerra um volume $V$ ,
$\ oiint$ $S$ $d S$ denota umasuperfície integralsobre essa superfície fechada,
$q$ é a quantidade total da quantidade no volume $V$ ,
$j$ é o fluxo de $q$ ,
$t$ é o tempo,
$Σ$ é a taxa líquida que $q$ está sendo gerada dentro do volume $V$ por unidade de tempo. Quando $q$ está sendo gerado, é chamado de fonte de $q$ e torna $Σ$ mais positivo. Quando $q$ está sendo destruído, é chamado de sumidouro de $q$ e torna $Σ$ mais negativo. Este termo às vezes é escrito como ou a mudança total de q desde sua geração ou destruição dentro do volume de controle. ${\ displaystyle dq / dt | _ {\ text {gen}}}$

Em um exemplo simples, $V$ poderia ser um prédio $eq$ poderia ser o número de pessoas no prédio. A superfície $S$ consistiria nas paredes, portas, telhado e fundação do edifício. Em seguida, a equação de continuidade afirma que o número de pessoas no edifício aumenta quando as pessoas entram no edifício (um fluxo interno pela superfície), diminui quando as pessoas saem do edifício (um fluxo externo pela superfície), aumenta quando alguém no edifício dá nascimento (uma fonte, $Σ> 0$ ) e diminui quando alguém no prédio morre (uma pia, $Σ <0$ ).

Forma diferencial

Pelo teorema da divergência , uma equação geral de continuidade também pode ser escrita em uma "forma diferencial":

${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + \ nabla \ cdot \ mathbf {j} = \ sigma}$

Onde

$\nabla\cdot$ é divergência ,
$ρ$ é a quantidade da quantidade $q$ por unidade de volume,
$j$ é o fluxo de $q$ ,
$t$ é o tempo,
$σ$ é a geração de $q$ por unidade de volume por unidade de tempo. Os termos que geram $q$ (ou seja, $σ > 0$ ) ou removem $q$ (ou seja, $σ <0$ ) são chamados de "fontes" e "sumidouros", respectivamente.

Esta equação geral pode ser usada para derivar qualquer equação de continuidade, variando de tão simples como a equação de continuidade de volume até tão complicada quanto as equações de Navier-Stokes . Esta equação também generaliza a equação de advecção . Outras equações na física, como a lei do campo elétrico de Gauss e a lei da gravidade de Gauss , têm uma forma matemática semelhante à equação de continuidade, mas geralmente não são referidas pelo termo "equação de continuidade", porque $j$ nesses casos não representam o fluxo de uma quantidade física real.

No caso em que $q$ é uma quantidade conservada que não pode ser criada ou destruída (como energia ), $σ = 0$ e as equações tornam-se:

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + \ nabla \ cdot \ mathbf {j} = 0}

Eletromagnetismo

Na teoria eletromagnética , a equação de continuidade é uma lei empírica que expressa a conservação de carga (local) . Matematicamente, é uma consequência automática das equações de Maxwell , embora a conservação de carga seja mais fundamental do que as equações de Maxwell. Afirma que a divergência da densidade de corrente $J$ (em amperes por metro quadrado) é igual à taxa de variação negativa da densidade de carga $ρ$ (em coulombs por metro cúbico),

{\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {J} = - {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}}}

Consistência com as equações de Maxwell

Uma das equações de Maxwell , a lei de Ampère (com a correção de Maxwell) , afirma que

{\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {H} = \ mathbf {J} + {\ frac {\ parcial \ mathbf {D}} {\ parcial t}}.}

Tomando a divergência de ambos os lados (a divergência e a derivada parcial no tempo de comutação) resulta em

{\ displaystyle \ nabla \ cdot (\ nabla \ times \ mathbf {H}) = \ nabla \ cdot \ mathbf {J} + {\ frac {\ parcial (\ nabla \ cdot \ mathbf {D})} {\ parcial t}},}

mas a divergência de um cacho é zero, de modo que

{\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {J} + {\ frac {\ parcial (\ nabla \ cdot \ mathbf {D})} {\ parcial t}} = 0.}

Mas a lei de Gauss (outra equação de Maxwell), afirma que

{\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {D} = \ rho,}

que pode ser substituída na equação anterior para produzir a equação de continuidade

{\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {J} + {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} = 0.}

Atual é o movimento de carga. A equação de continuidade diz que se a carga está se movendo para fora de um volume diferencial (ou seja, a divergência da densidade de corrente é positiva), então a quantidade de carga dentro desse volume vai diminuir, então a taxa de mudança da densidade de carga é negativa. Portanto, a equação de continuidade equivale a uma conservação de carga.

Se existissem monopólos magnéticos , haveria uma equação de continuidade para correntes monopólios também, consulte o artigo sobre monopólos para informações básicas e a dualidade entre as correntes elétricas e magnéticas.

Dinâmica de fluidos

Na dinâmica dos fluidos , a equação da continuidade afirma que a taxa na qual a massa entra em um sistema é igual à taxa na qual a massa deixa o sistema mais o acúmulo de massa dentro do sistema. A forma diferencial da equação de continuidade é:

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + \ nabla \ cdot (\ rho \ mathbf {u}) = 0}

Onde

$ρ$ é a densidade do fluido,
$t$ é o tempo,
$u$ é o campo vetorial de velocidade do fluxo .

A derivada do tempo pode ser entendida como o acúmulo (ou perda) de massa no sistema, enquanto o termo de divergência representa a diferença no fluxo de entrada versus fluxo de saída. Nesse contexto, essa equação também é uma das equações de Euler (dinâmica dos fluidos) . As equações de Navier-Stokes formam uma equação de continuidade vetorial que descreve a conservação do momento linear .

Se o fluido for incompressível (taxa de deformação volumétrica é zero), a equação de continuidade de massa simplifica para uma equação de continuidade de volume:

{\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {u} = 0,}

o que significa que a divergência do campo de velocidade é zero em todos os lugares. Fisicamente, isso equivale a dizer que a taxa de dilatação do volume local é zero, portanto, um fluxo de água através de um tubo convergente se ajustará apenas pelo aumento de sua velocidade, pois a água é amplamente incompressível.

Visão computacional

Na visão por computador , o fluxo óptico é o padrão de movimento aparente de objetos em uma cena visual. Partindo do pressuposto de que o brilho do objeto em movimento não mudou entre dois quadros de imagem, pode-se derivar a equação de fluxo óptico como:

{\ displaystyle {\ frac {\ parcial I} {\ parcial x}} V_ {x} + {\ frac {\ parcial I} {\ parcial y}} V_ {y} + {\ frac {\ parcial I} { \ parcial t}} = \ nabla I \ cdot \ mathbf {V} + {\ frac {\ parcial I} {\ parcial t}} = 0}

Onde

$t$ é o tempo,
coordenadas $x$ $,$ $y$ na imagem,
$I$ é a intensidade da imagem na coordenada da imagem ( x , y ) e tempo t ,
$V$ é o vetor de velocidade de fluxo ópticona coordenada de imagem ( x , y ) e tempo t ${\ displaystyle (V_ {x}, V_ {y})}$

Energia e calor

A conservação de energia diz que a energia não pode ser criada ou destruída. (Veja abaixo as nuances associadas à relatividade geral.) Portanto, há uma equação de continuidade para o fluxo de energia:

{\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} + \ nabla \ cdot \ mathbf {q} = 0}

Onde

$u$ , densidade de energia local(energia por unidade de volume),
$q$ , fluxo de energia (transferência de energia por unidade de área de seção transversal por unidade de tempo) como um vetor,

Um exemplo prático importante é o fluxo de calor . Quando o calor flui dentro de um sólido, a equação da continuidade pode ser combinada com a lei de Fourier (o fluxo de calor é proporcional ao gradiente de temperatura) para chegar à equação do calor . A equação do fluxo de calor também pode ter termos de fonte: Embora a energia não possa ser criada ou destruída, o calor pode ser criado a partir de outros tipos de energia, por exemplo, por fricção ou aquecimento por joule .

Distribuições de probabilidade

Se houver uma quantidade que se move continuamente de acordo com um processo estocástico (aleatório), como a localização de uma única molécula dissolvida com movimento browniano , então há uma equação de continuidade para sua distribuição de probabilidade . O fluxo, neste caso, é a probabilidade por unidade de área por unidade de tempo que a partícula passa por uma superfície. De acordo com a equação de continuidade, a divergência negativa desse fluxo é igual à taxa de variação da densidade de probabilidade . A equação de continuidade reflete o fato de que a molécula está sempre em algum lugar - a integral de sua distribuição de probabilidade é sempre igual a 1 - e que ela se move em um movimento contínuo (sem teletransporte ).

Mecânica quântica

A mecânica quântica é outro domínio onde existe uma equação de continuidade relacionada à conservação da probabilidade . Os termos da equação requerem as seguintes definições e são um pouco menos óbvios do que os outros exemplos acima, portanto, são descritos aqui:

A função de onda $Ψ$ para uma única partícula no espaço de posição (ao invés do espaço de momento ), isto é, uma função da posição $re$ tempo $t$ , $Ψ = Ψ (r, t)$ .
A função de densidade de probabilidade é ${\ displaystyle \ rho (\ mathbf {r}, t) = \ Psi ^ {*} (\ mathbf {r}, t) \ Psi (\ mathbf {r}, t) = | \ Psi (\ mathbf {r }, t) | ^ {2}.}$
A probabilidade de encontrar a partícula dentro de $V$ em $t$ é denotada e definida por ${\ displaystyle P = P _ {\ mathbf {r} \ in V} (t) = \ int _ {V} \ Psi ^ {*} \ Psi dV = \ int _ {V} | \ Psi | ^ {2} dV.}$
A probabilidade atual (também conhecida como fluxo de probabilidade) é ${\ displaystyle \ mathbf {j} (\ mathbf {r}, t) = {\ frac {\ hbar} {2mi}} \ left [\ Psi ^ {*} \ left (\ nabla \ Psi \ right) - \ Psi \ left (\ nabla \ Psi ^ {*} \ right) \ right].}$

Com essas definições, a equação de continuidade diz:

{\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {j} + {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} = 0 \ mathrel {\ rightleftharpoons} \ nabla \ cdot \ mathbf {j} + {\ frac { \ parcial | \ Psi | ^ {2}} {\ parcial t}} = 0.}

Qualquer um dos formulários pode ser citado. Intuitivamente, as quantidades acima indicam que isso representa o fluxo de probabilidade. A chance de encontrar a partícula em alguma posição $r$ e o tempo $t$ flui como um fluido ; daí o termo corrente de probabilidade , um campo vetorial . A própria partícula não flui deterministicamente neste campo vetorial .

Consistência com a equação de Schrödinger

A equação de Schrödinger dependente do tempo 3-d e seu conjugado complexo ( $i \to - i por$ toda parte) são respectivamente:

{\ displaystyle {\ begin {alinhados} - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ nabla ^ {2} \ Psi + U \ Psi & = i \ hbar {\ frac {\ partial \ Psi } {\ parcial t}}, \\ - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ nabla ^ {2} \ Psi ^ {*} + U \ Psi ^ {*} & = - i \ hbar {\ frac {\ partial \ Psi ^ {*}} {\ partial t}}, \\\ end {alinhado}}}

onde

U

é a função potencial . A derivada parcial de

ρ

em relação a

t

é:

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} = {\ frac {\ partial | \ Psi | ^ {2}} {\ partial t}} = {\ frac {\ partial} {\ parcial t}} \ left (\ Psi ^ {*} \ Psi \ right) = \ Psi ^ {*} {\ frac {\ partial \ Psi} {\ partial t}} + \ Psi {\ frac {\ partial \ Psi ^ {*}} {\ parcial t}}.}

Multiplicando a equação de Schrödinger por $Ψ * e$ depois resolvendo para $Ψ *.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px} ∂Ψ/∂ t$ , e da mesma forma multiplicando a equação de Schrödinger conjugada complexa por $Ψ, em$ seguida, resolvendo para $Ψ \partialΨ * / \partial t$ ;

{\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ Psi ^ {*} {\ frac {\ partial \ Psi} {\ partial t}} & = {\ frac {1} {i \ hbar}} \ left [- {\ frac {\ hbar ^ {2} \ Psi ^ {*}} {2m}} \ nabla ^ {2} \ Psi + U \ Psi ^ {*} \ Psi \ right], \\\ Psi {\ frac {\ parcial \ Psi ^ {*}} {\ parcial t}} & = - {\ frac {1} {i \ hbar}} \ left [- {\ frac {\ hbar ^ {2} \ Psi} {2m}} \ nabla ^ {2} \ Psi ^ {*} + U \ Psi \ Psi ^ {*} \ direita], \\\ end {alinhado}}}

substituindo na derivada de tempo de $ρ$ :

{\ displaystyle {\ begin {alinhados} {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} & = {\ frac {1} {i \ hbar}} \ left [- {\ frac {\ hbar ^ { 2} \ Psi ^ {*}} {2m}} \ nabla ^ {2} \ Psi + U \ Psi ^ {*} \ Psi \ right] - {\ frac {1} {i \ hbar}} \ left [ - {\ frac {\ hbar ^ {2} \ Psi} {2m}} \ nabla ^ {2} \ Psi ^ {*} + U \ Psi \ Psi ^ {*} \ right] \\ & = {\ frac {1} {i \ hbar}} \ left [- {\ frac {\ hbar ^ {2} \ Psi ^ {*}} {2m}} \ nabla ^ {2} \ Psi + U \ Psi ^ {*} \ Psi \ right] + {\ frac {1} {i \ hbar}} \ left [+ {\ frac {\ hbar ^ {2} \ Psi} {2m}} \ nabla ^ {2} \ Psi ^ {* } -U \ Psi ^ {*} \ Psi \ right] \\ [2pt] & = - {\ frac {1} {i \ hbar}} {\ frac {\ hbar ^ {2} \ Psi ^ {*} } {2m}} \ nabla ^ {2} \ Psi + {\ frac {1} {i \ hbar}} {\ frac {\ hbar ^ {2} \ Psi} {2m}} \ nabla ^ {2} \ Psi ^ {*} \\ [2pt] & = {\ frac {\ hbar} {2im}} \ left [\ Psi \ nabla ^ {2} \ Psi ^ {*} - \ Psi ^ {*} \ nabla ^ {2} \ Psi \ right] \\\ end {alinhado}}}

Os operadores Laplacianos ( $\nabla$ $2$ ) no resultado acima sugerem que o lado direito é a divergência de $j$ , e a ordem inversa dos termos implica que este é o negativo de $j$ , completamente:

{\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ nabla \ cdot \ mathbf {j} & = \ nabla \ cdot \ left [{\ frac {\ hbar} {2mi}} \ left (\ Psi ^ {*} \ left ( \ nabla \ Psi \ right) - \ Psi \ left (\ nabla \ Psi ^ {*} \ right) \ right) \ right] \\ & = {\ frac {\ hbar} {2mi}} \ left [\ Psi ^ {*} \ left (\ nabla ^ {2} \ Psi \ right) - \ Psi \ left (\ nabla ^ {2} \ Psi ^ {*} \ right) \ right] \\ & = - {\ frac {\ hbar} {2mi}} \ left [\ Psi \ left (\ nabla ^ {2} \ Psi ^ {*} \ right) - \ Psi ^ {*} \ left (\ nabla ^ {2} \ Psi \ direita) \ direita] \\\ end {alinhado}}}

então a equação de continuidade é:

{\ displaystyle {\ begin {alinhados} & {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} = - \ nabla \ cdot \ mathbf {j} \\ [3pt] {} \ Rightarrow {} & {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + \ nabla \ cdot \ mathbf {j} = 0 \\\ end {alinhados}}}

A forma integral segue como para a equação geral.

Semicondutor

O fluxo total de corrente no semicondutor consiste em corrente de deriva e corrente de difusão de elétrons na banda de condução e orifícios na banda de valência.

Forma geral para elétrons em uma dimensão:

{\ displaystyle {\ frac {\ parcial n} {\ parcial t}} = n \ mu _ {n} {\ frac {\ parcial E} {\ parcial x}} + \ mu _ {n} E {\ frac {\ parcial n} {\ parcial x}} + D_ {n} {\ frac {\ parcial ^ {2} n} {\ parcial x ^ {2}}} + (G_ {n} -R_ {n}) }

Onde:

n é a concentração local de elétrons
${\ displaystyle \ mu _ {n}}$ é mobilidade de elétrons
E é o campo elétrico em toda a região de depleção
D _n é o coeficiente de difusão para elétrons
G _n é a taxa de geração de elétrons
R _n é a taxa de recombinação de elétrons

Da mesma forma, para furos:

{\ displaystyle {\ frac {\ partial p} {\ partial t}} = - p \ mu _ {p} {\ frac {\ partial E} {\ partial x}} - \ mu _ {p} E {\ frac {\ parcial p} {\ parcial x}} + D_ {p} {\ frac {\ parcial ^ {2} p} {\ parcial x ^ {2}}} + (G_ {p} -R_ {p} )}

Onde:

p é a concentração local de buracos
${\ displaystyle \ mu _ {p}}$ é a mobilidade do buraco
E é o campo elétrico em toda a região de depleção
D _p é o coeficiente de difusão para buracos
G _p é a taxa de geração de buracos
R _p é a taxa de recombinação de buracos

Derivação

Esta seção apresenta uma derivação da equação acima para elétrons. Uma derivação semelhante pode ser encontrada para a equação dos buracos.

Considere o fato de que o número de elétrons é conservado em um volume de material semicondutor com área de seção transversal, A , e comprimento, dx , ao longo do eixo x . Mais precisamente, pode-se dizer:

{\ displaystyle {\ text {Taxa de variação da densidade do elétron}} = ({\ text {Fluxo de elétrons para dentro}} - {\ text {Fluxo de elétrons para fora}}) + {\ text {Geração de rede dentro de um volume}}}

Matematicamente, essa igualdade pode ser escrita:

{\ displaystyle {\ begin {alinhados} {\ frac {dn} {dt}} A \, dx & = [J (x + dx) -J (x)] {\ frac {A} {e}} + (G_ {n} -R_ {n}) A \, dx \\ [3pt] {\ frac {dn} {dt}} A \, dx & = [J (x) + {\ frac {dJ} {dx}} dx -J (x)] {\ frac {A} {e}} + (G_ {n} -R_ {n}) A \, dx \\ [3pt] {\ frac {dn} {dt}} & = { \ frac {1} {e}} {\ frac {dJ} {dx}} + (G_ {n} -R_ {n}) \ end {alinhado}}}

Aqui, J denota densidade de corrente (cuja direção é contra o fluxo de elétrons por convenção) devido ao fluxo de elétrons dentro do volume considerado do semicondutor. É também chamada de densidade de corrente de elétrons.

A densidade total da corrente de elétrons é a soma das densidades da corrente de deriva e da corrente de difusão:

{\ displaystyle J_ {n} = en \ mu _ {n} E + eD_ {n} {\ frac {dn} {dx}}}

Portanto, temos

{\ displaystyle {\ frac {dn} {dt}} = {\ frac {1} {e}} {\ frac {d} {dx}} \ left (en \ mu _ {n} E + eD_ {n} {\ frac {dn} {dx}} \ right) + (G_ {n} -R_ {n})}

A aplicação da regra do produto resulta na expressão final:

{\ displaystyle {\ frac {dn} {dt}} = \ mu _ {n} E {\ frac {dn} {dx}} + \ mu _ {n} n {\ frac {dE} {dx}} + D_ {n} {\ frac {d ^ {2} n} {dx ^ {2}}} + (G_ {n} -R_ {n})}

Solução

A chave para resolver essas equações em dispositivos reais é, sempre que possível, selecionar regiões nas quais a maioria dos mecanismos é desprezível, de modo que as equações se reduzam a uma forma muito mais simples.

Versão relativística

Relatividade especial

A notação e as ferramentas da relatividade especial, especialmente 4 vetores e 4 gradientes , oferecem uma maneira conveniente de escrever qualquer equação de continuidade.

A densidade de uma quantidade $ρ$ e sua corrente $j$ podem ser combinadas em um vetor 4 denominado corrente 4 :

{\ displaystyle J = \ left (c \ rho, j_ {x}, j_ {y}, j_ {z} \ right)}

onde

c

é a velocidade da luz . A 4- divergência desta corrente é:

{\ displaystyle \ partial _ {\ mu} J ^ {\ mu} = c {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial ct}} + \ nabla \ cdot \ mathbf {j}}

onde

\partial μ

é o gradiente de 4 e

μ

é um índice que rotula a dimensão do espaço - tempo . Então, a equação de continuidade é:

{\ displaystyle \ partial _ {\ mu} J ^ {\ mu} = 0}

no caso usual onde não há fontes ou sumidouros, isto é, para quantidades perfeitamente conservadas como energia ou carga. Esta equação de continuidade é manifestamente ("obviamente") invariante de Lorentz .

Exemplos de equações de continuidade muitas vezes escritas nesta forma incluem conservação de carga elétrica

{\ displaystyle \ partial _ {\ mu} J ^ {\ mu} = 0}

onde

J

é a corrente elétrica de 4 ; e conservação de energia-momento

{\ displaystyle \ partial _ {\ nu} T ^ {\ mu \ nu} = 0}

onde

T

é o tensor tensão-energia .

Relatividade geral

Na relatividade geral , onde o espaço-tempo é curvo, a equação de continuidade (na forma diferencial) para energia, carga ou outras quantidades conservadas envolve a

divergência covariante em vez da divergência ordinária.

Por exemplo, o tensor tensão-energia é um campo tensor de segunda ordem contendo densidades de energia-momento, fluxos de energia-momento e tensões de cisalhamento, de uma distribuição de massa-energia. A forma diferencial de conservação de energia-momento na relatividade geral afirma que a divergência covariante do tensor tensão-energia é zero:

{\ displaystyle {T ^ {\ mu}} _ {\ nu; \ mu} = 0.}

Esta é uma restrição importante na forma que as equações de campo de Einstein assumem na relatividade geral .

No entanto, a divergência comum do tensor tensão-energia não necessariamente desaparece:

{\ displaystyle \ partial _ {\ mu} T ^ {\ mu \ nu} = - \ Gamma _ {\ mu \ lambda} ^ {\ mu} T ^ {\ lambda \ nu} - \ Gamma _ {\ mu \ lambda} ^ {\ nu} T ^ {\ mu \ lambda},}

O lado direito desaparece estritamente apenas para uma geometria plana.

Como consequência, a forma integral da equação de continuidade é difícil de definir e não necessariamente válida para uma região dentro da qual o espaço-tempo é significativamente curvo (por exemplo, em torno de um buraco negro ou em todo o universo).

Física de partículas

Quarks e glúons têm carga de cor , que é sempre conservada como carga elétrica, e há uma equação de continuidade para tais correntes de carga de cor (expressões explícitas para correntes são dadas no tensor de força de campo do glúon ).

Existem muitas outras quantidades na física de partículas que são freqüentemente ou sempre conservadas: número bárion (proporcional ao número de quarks menos o número de antiquarks), número de elétrons, número mu, número tau , isospin e outros. Cada um deles tem uma equação de continuidade correspondente, possivelmente incluindo termos de fonte / dreno.

Teorema de Noether

Um dos motivos pelos quais as equações de conservação ocorrem com frequência na física é o teorema de Noether . Isso afirma que sempre que as leis da física têm uma simetria contínua , há uma equação de continuidade para alguma quantidade física conservada. Os três exemplos mais famosos são:

As leis da física são invariáveis com respeito à tradução no tempo - por exemplo, as leis da física hoje são as mesmas de ontem. Essa simetria leva à equação de continuidade para conservação de energia .
As leis da física são invariáveis com respeito à tradução do espaço - por exemplo, as leis da física no Brasil são as mesmas que as leis da física na Argentina. Essa simetria leva à equação de continuidade para conservação do momento .
As leis da física são invariáveis com respeito à orientação - por exemplo, flutuando no espaço sideral, não há nenhuma medida que você possa fazer para dizer "qual é o caminho para cima"; as leis da física são as mesmas, independentemente de como você seja orientado. Essa simetria leva à equação de continuidade para conservação do momento angular .

Veja também

Referências

Leitura adicional

Hydrodynamics, H. Lamb , Cambridge University Press, (digitalização de 2006 da 6ª edição de 1932) ISBN 978-0-521-45868-9
Introduction to Electrodynamics (3rd Edition), DJ Griffiths , Pearson Education Inc, 1999, ISBN 81-7758-293-3
Electromagnetism (2ª edição), IS Grant, WR Phillips , Manchester Physics Series, 2008 ISBN 0-471-92712-0
Gravitation, JA Wheeler, C. Misner, KS Thorne , WH Freeman & Co, 1973, ISBN 0-7167-0344-0

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Equação de continuidade - Continuity equation

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Dinâmica de fluidos

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Energia e calor

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Referências

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