regra da soma na diferenciação - Sum rule in differentiation

No cálculo , a regra da soma em diferenciação é um método de se encontrar o derivado de uma função que é a soma de duas outras funções para as quais existem derivados. Esta é uma parte da linearidade de diferenciação . A regra da soma na integração segue a partir dele. A regra em si é uma consequência direta da diferenciação de primeiros princípios .

A regra da soma afirma que para duas funções u e v :

${\ Displaystyle {\ frac {d} {dx}} (u + v) = {\ frac {du} {dx}} + {\ frac {dv} {dx}}}$

Esta regra também se aplica a subtração e adições e subtrações de mais de duas funções

${\ Displaystyle {\ frac {d} {dx}} (u_ {1} + u_ {2} + \ cdots + u_ {n}) = {\ frac {du_ {1}} {dx}} + {\ frac {du_ {2}} dx {}} + \ cdots + {\ frac {du_ {n}} dx {}}.}$

Prova

Deixe h ( x ) = f ( x ) + g ( x ) , e supor que f e g são cada um diferenciável em x . Aplicando a definição do derivado e propriedades de limites dá a seguinte prova que h é diferenciável em x e o seu derivado que é dada por H » ( x ) = f ' ( x ) + g ' ( x ) .

${\ Displaystyle {\ begin {alinhado} h '(x) & = \ lim _ {\ Delta x \ to 0} {\ frac {h (x + \ Delta x) -H (x)} {\ Delta x}} \\ & = \ lim _ {\ Delta x \ a 0} {\ frac {[f (x + \ Delta x) + g (x + \ Delta x)] - [(x) + f g (x)]} { \ Delta x}} \\ & = \ lim _ {\ Delta x \ a 0} {\ frac {f (x + \ Delta x) -f (x) + g (x + \ Delta x) -g (x)} {\ Delta x}} \\ & = \ lim _ {\ Delta x \ to 0} {\ frac {f (x + \ Delta x) -f (x)} {\ Delta x}} + \ lim _ {\ delta x \ a 0} {\ frac {g (x + \ delta x) -g (x)} {\ delta x}} \\ & = f (x) + g '(x). \ final {} alinhados }}$

Um argumento similar mostra o resultado análogo para diferenças de funções. Da mesma forma, uma pode utilizar indução ou adaptar este argumento para provar o resultado análogo para um finito soma de funções. No entanto, a regra da soma faz não em geral estender a somas infinitas de funções, a menos que se supõe algo como convergência uniforme da soma.

Referências

• Gilbert Strang: Cálculo . SIAM 1991 ISBN  0-9614088-2-0 , p. 71 ( restrito versão on-line (Google books) )
• regra da soma em PlanetMath