Diferencial (infinitesimal) - Differential (infinitesimal)

O termo diferencial é usado em cálculo para se referir a uma mudança infinitesimal (infinitamente pequena) em alguma quantidade variável . Por exemplo, se x é uma variável , então uma mudança no valor de x é freqüentemente denotada Δ x (pronuncia-se delta x ). O diferencial dx representa uma mudança infinitamente pequena na variável x . A ideia de uma mudança infinitamente pequena ou infinitamente lenta é, intuitivamente, extremamente útil, e há várias maneiras de torná-la matematicamente precisa.

Usando cálculo, é possível relacionar as mudanças infinitamente pequenas de várias variáveis entre si matematicamente usando derivadas . Se y é uma função de x , então o diferencial dy de y está relacionado a dx pela fórmula

{\ displaystyle dy = {\ frac {dy} {dx}} \, dx,}

onde denota a derivada de y em relação a x . Esta fórmula resume a ideia intuitiva de que a derivada de y em relação ax é o limite da razão das diferenças Δ y / Δ x quando Δ x torna-se infinitesimal. ${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} \,}$

Existem várias abordagens para tornar a noção de diferenciais matematicamente precisa.

Diferenciais como mapas lineares . Esta abordagem fundamenta a definição da derivada e da derivada externa na geometria diferencial .
Diferenciais como elementos nilpotentes de anéis comutativos . Essa abordagem é popular em geometria algébrica.
Diferenciais em modelos suaves de teoria dos conjuntos. Esta abordagem é conhecida como geometria diferencial sintética ou análise infinitesimal suave e está intimamente relacionada à abordagem geométrica algébrica, exceto que as idéias da teoria topos são usadas para ocultar os mecanismos pelos quais infinitesimais nilpotentes são introduzidos.
Diferenciais como infinitesimais em sistemas numéricos hiperreais , que são extensões dos números reais que contêm infinitesimais invertíveis e números infinitamente grandes. Esta é a abordagem da análise não padronizada iniciada por Abraham Robinson .

Essas abordagens são muito diferentes entre si, mas têm em comum a ideia de serem quantitativas , ou seja, dizer não apenas que um diferencial é infinitamente pequeno, mas o quão pequeno ele é.

História e uso

Quantidades infinitesimais desempenharam um papel significativo no desenvolvimento do cálculo. Arquimedes os usou, embora não acreditasse que os argumentos envolvendo infinitesimais fossem rigorosos. Isaac Newton referiu-se a eles como fluxões . No entanto, foi Gottfried Leibniz quem cunhou o termo diferenciais para quantidades infinitesimais e introduziu a notação para elas que ainda é usada hoje.

Na notação de Leibniz , se x é uma quantidade variável, então dx denota uma mudança infinitesimal na variável x . Assim, se y é uma função de x , então a derivada de y em relação a x é freqüentemente denotada dy / dx , que de outra forma seria denotada (na notação de Newton ou Lagrange ) ẏ ou y ′ . O uso de diferenciais nesta forma atraiu muitas críticas, por exemplo no famoso panfleto The Analyst, do Bispo Berkeley. No entanto, a notação permaneceu popular porque sugere fortemente a ideia de que a derivada de y em x é sua taxa instantânea de mudança (a inclinação da reta tangente do gráfico ), que pode ser obtida tomando o limite da razão Δ y / Δ x da mudança em y sobre a mudança em x , pois a mudança em x torna-se arbitrariamente pequena. Os diferenciais também são compatíveis com a análise dimensional , em que um diferencial como dx tem as mesmas dimensões da variável x .

Diferenciais também são usados na notação para integrais porque uma integral pode ser considerada uma soma infinita de quantidades infinitesimais: a área sob um gráfico é obtida subdividindo o gráfico em faixas infinitamente finas e somando suas áreas. Em uma expressão como

{\ displaystyle \ int f (x) \, dx,}

o sinal integral (que é um s longo modificado ) denota a soma infinita, f ( x ) denota a "altura" de uma faixa fina e o diferencial dx denota sua largura infinitamente fina.

Diferenciais como mapas lineares

Há uma maneira simples de dar um sentido preciso aos diferenciais, considerando-os como mapas lineares . Para ilustrar, suponha que seja uma função com valor real ativada . Podemos reinterpretar a variável em como sendo uma função em vez de um número, ou seja, o mapa de identidade na linha real, que leva um número real a si mesmo: . Então é o composto de com , cujo valor em é . O diferencial (do qual obviamente depende ) é então uma função cujo valor em (geralmente denotado ) não é um número, mas um mapa linear de para . Uma vez que um mapa linear de a é dado por uma matriz , é essencialmente a mesma coisa que um número, mas a mudança no ponto de vista nos permite pensar em um infinitesimal e compará- lo com o infinitesimal padrão , que é novamente apenas o mapa de identidade de para (uma matriz com entrada ). O mapa de identidade tem a propriedade de que, se é muito pequeno, é muito pequeno, o que nos permite considerá-lo infinitesimal. O diferencial tem a mesma propriedade, porque é apenas um múltiplo de , e esse múltiplo é a derivada por definição. Portanto, obtemos isso e, portanto . Assim, recuperamos a ideia de que é a razão dos diferenciais e . ${\ displaystyle f (x)}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle f (x)}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle x (p) = p}$ ${\ displaystyle f (x)}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle f (x (p)) = f (p)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {d} f}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle df_ {p}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle 1 \ times 1}$ ${\ displaystyle df_ {p}}$ ${\ displaystyle dx_ {p}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle 1 \ times 1}$ ${\ displaystyle 1}$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ ${\ displaystyle dx_ {p} (\ varepsilon)}$ ${\ displaystyle df_ {p}}$ ${\ displaystyle dx_ {p}}$ ${\ displaystyle f '(p)}$ ${\ displaystyle df_ {p} = f '(p) \, dx_ {p}}$ ${\ displaystyle df = f '\, dx}$ ${\ displaystyle f '}$ ${\ displaystyle df}$ ${\ displaystyle dx}$

Isso seria apenas um truque, não fosse pelo fato de que:

captura a ideia da derivada de at como a melhor aproximação linear de at ; ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle p}$
tem muitas generalizações.

Por exemplo, se é uma função de a , então dizemos que é diferenciável em se houver um mapa linear de a tal que para qualquer , há uma vizinhança de tal que para , ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle p \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle df_ {p}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ ${\ displaystyle N}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle x \ in N}$

{\ displaystyle \ left | f (x) -f (p) -df_ {p} (xp) \ right | <\ varepsilon \ left | xp \ right |.}

Podemos agora usar o mesmo truque, como no caso unidimensional e pensar da expressão como o composto de com as coordenadas padrão em (de modo que é o componente -ésimo de ). Então, as diferenciais em um ponto formam uma base para o espaço vetorial de mapas lineares de a e, portanto, se for diferenciável em , podemos escrever como uma combinação linear desses elementos de base: ${\ displaystyle f (x ^ {1}, x ^ {2}, \ ldots, x ^ {n})}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle x ^ {1}, x ^ {2}, \ ldots, x ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle x ^ {j} (p)}$ ${\ displaystyle j}$ ${\ displaystyle p \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ left (dx ^ {1} \ right) _ {p}, \ left (dx ^ {2} \ right) _ {p}, \ ldots, \ left (dx ^ {n} \ right) _ {p}}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle \ operatorname {d} f_ {p}}$

{\ displaystyle df_ {p} = \ sum _ {j = 1} ^ {n} D_ {j} f (p) \, (dx ^ {j}) _ {p}.}

Os coeficientes são (por definição) as derivadas parciais de em em relação a . Portanto, se é diferenciável em todos , podemos escrever, de forma mais concisa: ${\ displaystyle D_ {j} f (p)}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle x ^ {1}, x ^ {2}, \ ldots, x ^ {n}}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

{\ displaystyle \ operatorname {d} f = {\ frac {\ parcial f} {\ parcial x ^ {1}}} \, dx ^ {1} + {\ frac {\ parcial f} {\ parcial x ^ { 2}}} \, dx ^ {2} + \ cdots + {\ frac {\ partial f} {\ partial x ^ {n}}} \, dx ^ {n}.}

No caso unidimensional, isso se torna

{\ displaystyle df = {\ frac {df} {dx}} dx}

como antes.

Essa ideia se generaliza diretamente para funções de a . Além disso, tem a vantagem decisiva sobre outras definições da derivada de ser invariante sob mudanças de coordenadas. Isso significa que a mesma ideia pode ser usada para definir o diferencial de mapas suaves entre variedades suaves . ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {m}}$

À parte: Observe que a existência de todas as derivadas parciais de at é uma condição necessária para a existência de um diferencial em . No entanto, não é uma condição suficiente . Para contra-exemplos, consulte o derivado Gateaux . ${\ displaystyle f (x)}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle x}$

Geometria algébrica

Na geometria algébrica , diferenciais e outras noções infinitesimais são tratadas de uma maneira muito explícita, aceitando que o anel de coordenadas ou feixe de estrutura de um espaço pode conter elementos nilpotentes . O exemplo mais simples é o anel de números duais R [ ε ], onde ε ² = 0.

Isso pode ser motivado pelo ponto de vista algebro-geométrico da derivada de uma função f de R para R em um ponto p . Para isso, observe primeiro que f - f ( p ) pertence ao ideal I _p de funções em R que desaparecem em p . Se a derivada f desaparecer em p , então f - f ( p ) pertence ao quadrado I _p² desse ideal. Portanto, a derivada de f em p pode ser capturada pela classe de equivalência [ f - f ( p )] no espaço quociente I _p / I _p² , e o 1-jato de f (que codifica seu valor e sua primeira derivada) é a classe de equivalência de f no espaço de todas as funções módulo I _p² . Geômetras algébricos consideram esta classe de equivalência como a restrição de f para uma versão mais espessa do ponto p cujo anel de coordenadas não é R (que é o espaço quociente de funções em R módulo I _p ), mas R [ ε ] que é o espaço quociente de funções em R módulo I _p² . Esse ponto engrossado é um exemplo simples de esquema .

Geometria diferencial sintética

Uma terceira abordagem para infinitesimais é o método da geometria diferencial sintética ou análise infinitesimal suave . Isso está intimamente relacionado à abordagem algébrico-geométrica, exceto que os infinitesimais são mais implícitos e intuitivos. A ideia principal dessa abordagem é substituir a categoria de conjuntos por outra categoria de conjuntos que variam suavemente, que é um topos . Nesta categoria, pode-se definir os números reais, funções suaves e assim por diante, mas os números reais contêm automaticamente infinitesimais nilpotentes, portanto, eles não precisam ser introduzidos manualmente como na abordagem geométrica algébrica. No entanto, a lógica nesta nova categoria não é idêntica à lógica familiar da categoria dos conjuntos: em particular, a lei do terceiro excluído não se aplica. Isso significa que os argumentos matemáticos da teoria dos conjuntos somente se estendem para suavizar a análise infinitesimal se eles forem construtivos (por exemplo, não use a prova por contradição ). Alguns consideram essa desvantagem como algo positivo, pois obriga a encontrar argumentos construtivos onde quer que estejam disponíveis.

Análise fora do padrão

A abordagem final para infinitesimais novamente envolve a extensão dos números reais, mas de uma forma menos drástica. Na abordagem de análise não padronizada , não há infinitesimais nilpotentes, apenas invertíveis, que podem ser vistos como recíprocos de números infinitamente grandes. Essas extensões dos números reais podem ser construídas explicitamente usando classes de equivalência de sequências de números reais , de modo que, por exemplo, a sequência (1, 1/2, 1/3, ..., 1 / n , ...) representa um infinitesimal. A lógica de primeira ordem desse novo conjunto de números hiperreais é a mesma que a lógica dos números reais usuais, mas o axioma da completude (que envolve a lógica de segunda ordem ) não é válido. No entanto, isso é suficiente para desenvolver uma abordagem elementar e bastante intuitiva para cálculo usando infinitesimais, ver princípio de transferência .

Veja também

Notas

Referências

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Lawvere, FW (1968), Esboço de geometria diferencial sintética (PDF) (publicado em 1998).
Moerdijk, I .; Reyes, GE (1991), Models for Smooth Infinitesimal Analysis , Springer-Verlag.
Robinson, Abraham (1996), Non-standard analysis , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-04490-3.

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