Integral múltiplo - Multiple integral

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v t e

Em matemática (especificamente cálculo multivariável ), uma integral múltipla é uma integral definida de uma função de várias variáveis ​​reais , por exemplo, f ( x , y ) ou f ( x , y , z ) . Integrais de uma função de duas variáveis ​​sobre uma região em (o plano de número real ) são chamados de integrais duplos , e integrais de uma função de três variáveis ​​sobre uma região em (espaço 3D de número real) são chamados de integrais triplos . Para vários integrais de uma função de variável única, consulte a fórmula de Cauchy para integração repetida . ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

Introdução

Assim como a integral definida de uma função positiva de uma variável representa a área da região entre o gráfico da função e o eixo x , a integral dupla de uma função positiva de duas variáveis ​​representa o volume da região entre a superfície definida pela função (no plano cartesiano tridimensional onde z = f ( x , y ) ) e o plano que contém seu domínio . Se houver mais variáveis, uma integral múltipla produzirá hipervolumes de funções multidimensionais.

A integração múltipla de uma função em n variáveis: f ( x ₁ , x ₂ , ..., x _n ) sobre um domínio D é mais comumente representada por sinais integrais aninhados na ordem inversa de execução (o sinal integral mais à esquerda é calculado por último ), seguido da função e dos argumentos do integrando na ordem apropriada (a integral em relação ao argumento mais à direita é calculada por último). O domínio de integração é representado simbolicamente para cada argumento sobre cada sinal integral ou é abreviado por uma variável no sinal integral mais à direita:

${\ displaystyle \ int \ cdots \ int _ {\ mathbf {D}} \, f (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}) \, dx_ {1} \! \ cdots dx_ {n}}$

Uma vez que o conceito de uma antiderivada é definido apenas para funções de uma única variável real, a definição usual da integral indefinida não se estende imediatamente à integral múltipla.

Definição matemática

Para n > 1 , considere um chamado domínio hiperretangular n- dimensional "semiaberto" T , definido como:

${\ displaystyle T = [a_ {1}, b_ {1}) \ times [a_ {2}, b_ {2}) \ times \ cdots \ times [a_ {n}, b_ {n}) \ subseteq \ mathbb {R} ^ {n}.}$

Particione cada intervalo [ a _j , b _j ) em uma família finita I _j de subintervalos não sobrepostos i _{j α} , com cada subintervalo fechado na extremidade esquerda e aberto na extremidade direita.

Então, a família finita de sub-retângulos C dada por

${\ displaystyle C = I_ {1} \ times I_ {2} \ times \ cdots \ times I_ {n}}$

é uma partição de T ; isto é, os subrectangles C _k são não-sobreposição bem como a união é T .

Vamos f  : T → R é uma função definida em T . Considere uma partição C de T conforme definido acima, de modo que C é uma família de m sub-retângulos C _m e

${\ displaystyle T = C_ {1} \ cup C_ {2} \ cup \ cdots \ cup C_ {m}}$

Podemos aproximar o volume total ( n + 1) t -dimensional limitado abaixo pelo hiper-retângulo n- dimensional T e acima pelo gráfico n- dimensional de f com a seguinte soma de Riemann :

${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {m} f (P_ {k}) \, \ operatorname {m} (C_ {k})}$

onde P _k é um ponto em C _k e m ( C _k ) é o produto dos comprimentos dos intervalos cujo produto cartesiano é C _k , também conhecido como medida de C _k .

O diâmetro de um sub-retângulo C _k é o maior dos comprimentos dos intervalos cujo produto cartesiano é C _k . O diâmetro de uma determinada partição de T é definido como o maior dos diâmetros dos sub-retângulos na partição. Intuitivamente, à medida que o diâmetro da partição C fica cada vez menor, o número de sub-retângulos m fica maior e a medida m ( C _k ) de cada sub-retângulo fica menor. A função f é dita Riemann integrável se o limite

${\ displaystyle S = \ lim _ {\ delta \ to 0} \ sum _ {k = 1} ^ {m} f (P_ {k}) \, \ operatorname {m} (C_ {k})}$

existe, onde o limite é assumido sobre todas as partições possíveis de T de diâmetro no máximo δ .

Se f é Riemann integrável, S é chamado de Riemann integral de f sobre T e é denotado

${\ displaystyle \ int \ cdots \ int _ {T} \, f (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}) \, dx_ {1} \! \ cdots dx_ {n}}$

Freqüentemente, essa notação é abreviada como

${\ displaystyle \ int _ {T} \! f (\ mathbf {x}) \, d ^ {n} \ mathbf {x}.}$

onde x representa o n -tuplo ( x ₁ ,…, x _n ) e d ⁿ x é o diferencial de volume n- dimensional .

A integral de Riemann de uma função definida sobre um conjunto n- dimensional arbitrário limitado pode ser definida estendendo-se essa função a uma função definida sobre um retângulo semiaberto cujos valores são zero fora do domínio da função original. Então, a integral da função original sobre o domínio original é definida como a integral da função estendida sobre seu domínio retangular, se ela existir.

A seguir, a integral de Riemann em n dimensões será chamada de integral múltipla .

Propriedades

Integrais múltiplas têm muitas propriedades comuns àquelas de integrais de funções de uma variável (linearidade, comutatividade, monotonicidade e assim por diante). Uma propriedade importante de integrais múltiplos é que o valor de um integral é independente da ordem dos integrandos sob certas condições. Essa propriedade é popularmente conhecida como teorema de Fubini .

Casos particulares

No caso de , o integral ${\ displaystyle T \ subseteq \ mathbb {R} ^ {2}}$

${\ displaystyle l = \ iint _ {T} f (x, y) \, dx \, dy}$

é a integral dupla de f em T , e se a integral ${\ displaystyle T \ subseteq \ mathbb {R} ^ {3}}$

${\ displaystyle l = \ iiint _ {T} f (x, y, z) \, dx \, dy \, dz}$

é o integrante tripla de f em T .

Observe que, por convenção, a integral dupla tem dois sinais de integral e a integral tripla tem três; esta é uma convenção notacional que é conveniente ao calcular uma integral múltipla como uma integral iterada, conforme mostrado posteriormente neste artigo.

Métodos de integração

A resolução de problemas com integrais múltiplas consiste, na maioria dos casos, em encontrar uma maneira de reduzir a integral múltipla a uma integral iterada , uma série de integrais de uma variável, cada uma sendo diretamente solucionável. Para funções contínuas, isso é justificado pelo teorema de Fubini . Às vezes, é possível obter o resultado da integração por exame direto sem quaisquer cálculos.

A seguir estão alguns métodos simples de integração:

Integrando funções constantes

Quando o integrando é uma função constante c , a integral é igual ao produto de ce à medida do domínio de integração. Se c = 1 e o domínio for uma sub-região de R ² , a integral dá a área da região, enquanto se o domínio for uma sub-região de R ³ , a integral dá o volume da região.

Exemplo. Seja f ( x , y ) = 2 e

${\ displaystyle D = \ left \ {(x, y) \ in \ mathbb {R} ^ {2} \: \ 2 \ leq x \ leq 4 \; \ 3 \ leq y \ leq 6 \ right \}}$

em qual caso

${\ displaystyle \ int _ {3} ^ {6} \ int _ {2} ^ {4} \ 2 \ dx \, dy = 2 \ int _ {3} ^ {6} \ int _ {2} ^ { 4} \ 1 \ dx \, dy = 2 \ cdot \ operatorname {área} (D) = 2 \ cdot (2 \ cdot 3) = 12,}$

já que, por definição, temos:

${\ displaystyle \ int _ {3} ^ {6} \ int _ {2} ^ {4} \ 1 \ dx \, dy = \ operatorname {area} (D).}$

Uso de simetria

Quando o domínio de integração é simétrico em relação à origem em relação a pelo menos uma das variáveis ​​de integração e o integrando é ímpar em relação a esta variável, a integral é igual a zero, pois as integrais nas duas metades do domínio têm o mesmo valor absoluto, mas sinais opostos. Quando o integrando é par com relação a essa variável, a integral é igual a duas vezes a integral sobre a metade do domínio, pois as integrais sobre as duas metades do domínio são iguais.

Exemplo 1. Considere a função f ( x , y ) = 2 sin ( x ) - 3 y ³ + 5 integrada sobre o domínio

${\ displaystyle T = \ left \ {(x, y) \ in \ mathbb {R} ^ {2} \: \ x ^ {2} + y ^ {2} \ leq 1 \ right \},}$

um disco com raio  1 centrado na origem com o limite incluído.

Usando a propriedade de linearidade, a integral pode ser decomposta em três partes:

${\ displaystyle \ iint _ {T} \ left (2 \ sin x-3y ^ {3} +5 \ right) \, dx \, dy = \ iint _ {T} 2 \ sin x \, dx \, dy - \ iint _ {T} 3y ^ {3} \, dx \, dy + \ iint _ {T} 5 \, dx \, dy}$

A função 2 sin ( x ) é uma função ímpar na variável xe o disco T é simétrico em relação ao eixo y , então o valor da primeira integral é 0. Da mesma forma, a função 3 y ³ é uma função ímpar de y , e T é simétrico em relação ao eixo xe , portanto, a única contribuição para o resultado final é a do terceiro integral. Portanto, a integral original é igual à área do disco vezes 5, ou 5 π .

Exemplo 2. Considere a função f ( x , y , z ) = x exp ( y ² + z ² ) e como região de integração a bola com raio 2 centrado na origem,

${\ displaystyle T = \ left \ {(x, y, z) \ in \ mathbb {R} ^ {3} \: \ x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} \ leq 4 \direito\}.}$

A "bola" é simétrica em relação a todos os três eixos, mas é suficiente para integrar em relação ao eixo x para mostrar que a integral é 0, porque a função é uma função ímpar daquela variável.

Domínios normais em R ²

Este método é aplicável a qualquer domínio D para o qual:

• a projeção de D no eixo x ou no eixo y é limitada pelos dois valores, a e b
• qualquer linha perpendicular a este eixo que passa entre esses dois valores cruza o domínio em um intervalo cujos pontos finais são dados pelos gráficos de duas funções, α e β .

Esse domínio será aqui chamado de domínio normal . Em outra parte da literatura, os domínios normais às vezes são chamados de domínios do tipo I ou do tipo II, dependendo de qual eixo o domínio é dividido. Em todos os casos, a função a ser integrada deve ser Riemann integrável no domínio, o que é verdadeiro (por exemplo) se a função for contínua.

eixo x

Se o domínio D é normal em relação ao eixo x , e f  : D → R é uma função contínua ; então α ( x ) e β ( x ) (ambos os quais são definidos no intervalo [ a , b ] ) são as duas funções que determinam D . Então, pelo teorema de Fubini:

${\ displaystyle \ iint _ {D} f (x, y) \, dx \, dy = \ int _ {a} ^ {b} dx \ int _ {\ alpha (x)} ^ {\ beta (x) } f (x, y) \, dy.}$

eixo y

Se D é normal em relação ao eixo y ef  : D → R é uma função contínua; então α ( y ) e β ( y ) (ambos os quais são definidos no intervalo [ a , b ] ) são as duas funções que determinam D . Novamente, pelo teorema de Fubini:

${\ displaystyle \ iint _ {D} f (x, y) \, dx \, dy = \ int _ {a} ^ {b} dy \ int _ {\ alpha (y)} ^ {\ beta (y) } f (x, y) \, dx.}$

Domínios normais em R ³

Se T for um domínio normal em relação ao plano xy e determinado pelas funções α ( x , y ) e β ( x , y ) , então

${\ displaystyle \ iiint _ {T} f (x, y, z) \, dx \, dy \, dz = \ iint _ {D} \ int _ {\ alpha (x, y)} ^ {\ beta ( x, y)} f (x, y, z) \, dz \, dx \, dy}$

Essa definição é a mesma para os outros cinco casos de normalidade em R ³ . Ele pode ser generalizado de forma direta para domínios em R ⁿ .

Mudança de variáveis

Os limites de integração muitas vezes não são facilmente intercambiáveis ​​(sem normalidade ou com fórmulas complexas para integrar). Faz-se uma mudança de variáveis para reescrever a integral em uma região mais "confortável", que pode ser descrita em fórmulas mais simples. Para isso, a função deve ser adaptada às novas coordenadas.

Exemplo 1a. A função é f ( x , y ) = ( x - 1) ² + √ y ; se adotarmos a substituição u = x - 1 , v = y, portanto, x = u + 1 , y = v obtém-se a nova função f ₂ ( u , v ) = ( u ) ² + √ v .

• Do mesmo modo para o domínio pois é delimitado pelas variáveis originais que foram transformadas antes ( x e y no exemplo).
• as diferenciais dx e dy transformam-se pelo valor absoluto do determinante da matriz Jacobiana contendo as derivadas parciais das transformações relativas à nova variável (considere, por exemplo, a transformação diferencial em coordenadas polares).

Existem três "tipos" principais de mudanças de variável (um em R ² , dois em R ³ ); no entanto, substituições mais gerais podem ser feitas usando o mesmo princípio.

Coordenadas polares

Em R ^2, se o domínio tem uma simetria circular e a função tem algumas características particulares, pode-se aplicar a transformação para coordenadas polares (veja o exemplo na imagem) o que significa que os pontos genéricos P ( x , y ) em coordenadas cartesianas mudam para seus respectivos pontos em coordenadas polares. Isso permite mudar a forma do domínio e simplificar as operações.

A relação fundamental para fazer a transformação é a seguinte:

${\ displaystyle f (x, y) \ rightarrow f (\ rho \ cos \ varphi, \ rho \ sin \ varphi).}$

Exemplo 2a. A função é f ( x , y ) = x + y e aplicando a transformação obtém-se

${\ displaystyle f (\ rho, \ varphi) = \ rho \ cos \ varphi + \ rho \ sin \ varphi = \ rho (\ cos \ varphi + \ sin \ varphi).}$

Exemplo 2b. A função é f ( x , y ) = x ² + y ² , neste caso, tem-se:

${\ displaystyle f (\ rho, \ varphi) = \ rho ^ {2} \ left (\ cos ^ {2} \ varphi + \ sin ^ {2} \ varphi \ right) = \ rho ^ {2}}$

usando a identidade trigonométrica pitagórica (muito útil para simplificar esta operação).

A transformação do domínio é feita definindo-se o comprimento da coroa do raio e a amplitude do ângulo descrito para definir os intervalos ρ , φ a partir de x , y .

Exemplo 2c. O domínio é D = { x ² + y ² ≤ 4} , que é uma circunferência de raio 2; é evidente que o ângulo coberto é o ângulo do círculo, então φ varia de 0 a 2 π , enquanto o raio da coroa varia de 0 a 2 (a coroa com o raio interno nulo é apenas um círculo).

Exemplo 2d. O domínio é D = { x ² + y ² ≤ 9, x ² + y ² ≥ 4, y ≥ 0} , ou seja, a coroa circular no semiplano y positivo (veja a imagem no exemplo); φ descreve um ângulo plano enquanto ρ varia de 2 a 3. Portanto, o domínio transformado será o seguinte retângulo :

${\ displaystyle T = \ {2 \ leq \ rho \ leq 3, \ 0 \ leq \ varphi \ leq \ pi \}.}$

O determinante Jacobiano dessa transformação é o seguinte:

${\ displaystyle {\ frac {\ partial (x, y)} {\ partial (\ rho, \ varphi)}} = {\ begin {vmatrix} \ cos \ varphi & - \ rho \ sin \ varphi \\\ sin \ varphi & \ rho \ cos \ varphi \ end {vmatrix}} = \ rho}$

que foi obtido inserindo as derivadas parciais de x = ρ cos ( φ ) , y = ρ sen ( φ ) na primeira coluna em relação a ρ e na segunda em relação a φ , então as diferenciais dx dy nesta transformação tornam-se ρ dρ dφ .

Uma vez que a função é transformada e o domínio avaliado, é possível definir a fórmula para a mudança das variáveis ​​nas coordenadas polares:

${\ displaystyle \ iint _ {D} f (x, y) \, dx \, dy = \ iint _ {T} f (\ rho \ cos \ varphi, \ rho \ sin \ varphi) \ rho \, d \ rho \, d \ varphi.}$

φ é válido no intervalo [0, 2π] enquanto ρ , que é uma medida de comprimento, só pode ter valores positivos.

Exemplo 2e. A função é f ( x , y ) = xe o domínio é o mesmo que no Exemplo 2d. Da análise anterior de D conhecemos os intervalos de ρ (de 2 a 3) e de φ (de 0 a π ). Agora mudamos a função:

${\ displaystyle f (x, y) = x \ longrightarrow f (\ rho, \ varphi) = \ rho \ cos \ varphi.}$

finalmente, vamos aplicar a fórmula de integração:

${\ displaystyle \ iint _ {D} x \, dx \, dy = \ iint _ {T} \ rho \ cos \ varphi \ rho \, d \ rho \, d \ varphi.}$

Uma vez que os intervalos são conhecidos, você tem

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ pi} \ int _ {2} ^ {3} \ rho ^ {2} \ cos \ varphi \, d \ rho \, d \ varphi = \ int _ {0 } ^ {\ pi} \ cos \ varphi \ d \ varphi \ left [{\ frac {\ rho ^ {3}} {3}} \ right] _ {2} ^ {3} = {\ Big [} \ sin \ varphi {\ Big]} _ {0} ^ {\ pi} \ \ left (9 - {\ frac {8} {3}} \ right) = 0.}$

Coordenadas cilíndricas

Em R ³ a integração em domínios de base circular pode ser feita pela passagem para coordenadas cilíndricas ; a transformação da função é feita pela seguinte relação:

${\ displaystyle f (x, y, z) \ rightarrow f (\ rho \ cos \ varphi, \ rho \ sin \ varphi, z)}$

A transformação do domínio pode ser alcançada graficamente, pois apenas a forma da base varia, enquanto a altura segue a forma da região inicial.

Exemplo 3a. A região é D = { x ² + y ² ≤ 9, x ² + y ² ≥ 4, 0 ≤ z ≤ 5} (ou seja, o "tubo" cuja base é a coroa circular do Exemplo 2d e cuja altura é 5) ; se a transformação for aplicada, esta região é obtida:

${\ displaystyle T = \ {2 \ leq \ rho \ leq 3, \ 0 \ leq \ varphi \ leq 2 \ pi, \ 0 \ leq z \ leq 5 \}}$

(ou seja, o paralelepípedo cuja base é semelhante ao retângulo no Exemplo 2d e cuja altura é 5).

Como a componente z não varia durante a transformação, as diferenciais dx dy dz variam como na passagem para as coordenadas polares: portanto, elas se tornam ρ dρ dφ dz .

Finalmente, é possível aplicar a fórmula final às coordenadas cilíndricas:

${\ displaystyle \ iiint _ {D} f (x, y, z) \, dx \, dy \, dz = \ iiint _ {T} f (\ rho \ cos \ varphi, \ rho \ sin \ varphi, z ) \ rho \, d \ rho \, d \ varphi \, dz.}$

Este método é conveniente no caso de domínios cilíndricos ou cônicos ou em regiões onde é fácil individualizar o intervalo z e até transformar a base circular e a função.

Exemplo 3b. A função é f ( x , y , z ) = x ² + y ² + z e como domínio de integração este cilindro : D = { x ² + y ² ≤ 9, −5 ≤ z ≤ 5} . A transformação de D em coordenadas cilíndricas é a seguinte:

${\ displaystyle T = \ {0 \ leq \ rho \ leq 3, \ 0 \ leq \ varphi \ leq 2 \ pi, \ -5 \ leq z \ leq 5 \}.}$

enquanto a função se torna

${\ displaystyle f (\ rho \ cos \ varphi, \ rho \ sin \ varphi, z) = \ rho ^ {2} + z}$

Finalmente, pode-se aplicar a fórmula de integração:

${\ displaystyle \ iiint _ {D} \ left (x ^ {2} + y ^ {2} + z \ right) \, dx \, dy \, dz = \ iiint _ {T} \ left (\ rho ^ {2} + z \ direita) \ rho \, d \ rho \, d \ varphi \, dz;}$

desenvolvendo a fórmula que você tem

${\ displaystyle \ int _ {- 5} ^ {5} dz \ int _ {0} ^ {2 \ pi} d \ varphi \ int _ {0} ^ {3} \ left (\ rho ^ {3} + \ rho z \ right) \, d \ rho = 2 \ pi \ int _ {- 5} ^ {5} \ left [{\ frac {\ rho ^ {4}} {4}} + {\ frac {\ rho ^ {2} z} {2}} \ right] _ {0} ^ {3} \, dz = 2 \ pi \ int _ {- 5} ^ {5} \ left ({\ frac {81} { 4}} + {\ frac {9} {2}} z \ right) \, dz = \ cdots = 405 \ pi.}$

Coordenadas esféricas

Em R ³ alguns domínios possuem simetria esférica, portanto é possível especificar as coordenadas de cada ponto da região de integração por dois ângulos e uma distância. É possível usar portanto a passagem para coordenadas esféricas ; a função é transformada por esta relação:

${\ displaystyle f (x, y, z) \ longrightarrow f (\ rho \ cos \ theta \ sin \ varphi, \ rho \ sin \ theta \ sin \ varphi, \ rho \ cos \ varphi)}$

Os pontos no eixo z não têm uma caracterização precisa em coordenadas esféricas, então θ pode variar entre 0 e 2 π .

O melhor domínio de integração para esta passagem é a esfera.

Exemplo 4a. O domínio é D = x ² + y ² + z ² ≤ 16 (esfera com raio 4 e centro na origem); aplicando a transformação você obtém a região

${\ displaystyle T = \ {0 \ leq \ rho \ leq 4, \ 0 \ leq \ varphi \ leq \ pi, \ 0 \ leq \ theta \ leq 2 \ pi \}.}$

O determinante Jacobiano dessa transformação é o seguinte:

${\ displaystyle {\ frac {\ partial (x, y, z)} {\ partial (\ rho, \ theta, \ varphi)}} = {\ begin {vmatrix} \ cos \ theta \ sin \ varphi & - \ rho \ sin \ theta \ sin \ varphi & \ rho \ cos \ theta \ cos \ varphi \\\ sin \ theta \ sin \ varphi & \ rho \ cos \ theta \ sin \ varphi & \ rho \ sin \ theta \ cos \ varphi \\\ cos \ varphi & 0 & - \ rho \ sin \ varphi \ end {vmatrix}} = \ rho ^ {2} \ sin \ varphi}$

O dx dy dz diferenciais, por conseguinte, são transformadas em P ² sin ( φ ) dρ dθ dφ .

Isso produz a fórmula de integração final:

${\ displaystyle \ iiint _ {D} f (x, y, z) \, dx \, dy \, dz = \ iiint _ {T} f (\ rho \ sin \ varphi \ cos \ theta, \ rho \ sin \ varphi \ sin \ theta, \ rho \ cos \ varphi) \ rho ^ {2} \ sin \ varphi \, d \ rho \, d \ theta \, d \ varphi.}$

É melhor usar este método no caso de domínios esféricos e no caso de funções que podem ser facilmente simplificadas pela primeira relação fundamental da trigonometria estendida para R ³ (ver Exemplo 4b); em outros casos, pode ser melhor usar coordenadas cilíndricas (consulte o Exemplo 4c).

${\ displaystyle \ iiint _ {T} f (a, b, c) \ rho ^ {2} \ sin \ varphi \, d \ rho \, d \ theta \, d \ varphi.}$

O extra ρ ² e o pecado φ vêm do Jacobiano.

Nos exemplos a seguir, os papéis de φ e θ foram invertidos.

Exemplo 4b. D é a mesma região que no Exemplo 4a e f ( x , y , z ) = x ² + y ² + z ² é a função a integrar. Sua transformação é muito fácil:

${\ displaystyle f (\ rho \ sin \ varphi \ cos \ theta, \ rho \ sin \ varphi \ sin \ theta, \ rho \ cos \ varphi) = \ rho ^ {2},}$

enquanto sabemos os intervalos da região transformada T de D :

${\ displaystyle T = \ {0 \ leq \ rho \ leq 4, \ 0 \ leq \ varphi \ leq \ pi, \ 0 \ leq \ theta \ leq 2 \ pi \}.}$

Portanto, aplicamos a fórmula de integração:

${\ displaystyle \ iiint _ {D} \ left (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} \ right) \, dx \, dy \, dz = \ iiint _ {T} \ rho ^ {2} \, \ rho ^ {2} \ sin \ theta \, d \ rho \, d \ theta \, d \ varphi,}$

e, desenvolvendo, obtemos

${\ displaystyle \ iiint _ {T} \ rho ^ {4} \ sin \ theta \, d \ rho \, d \ theta \, d \ varphi = \ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin \ varphi \, d \ varphi \ int _ {0} ^ {4} \ rho ^ {4} d \ rho \ int _ {0} ^ {2 \ pi} d \ theta = 2 \ pi \ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin \ varphi \ left [{\ frac {\ rho ^ {5}} {5}} \ right] _ {0} ^ {4} \, d \ varphi = 2 \ pi \ left [{ \ frac {\ rho ^ {5}} {5}} \ right] _ {0} ^ {4} {\ Big [} - \ cos \ varphi {\ Big]} _ {0} ^ {\ pi} = {\ frac {4096 \ pi} {5}}.}$

Exemplo 4c. O domínio D é a esfera com centro na origem e raio de 3 um ,

${\ displaystyle D = \ left \ {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} \ leq 9a ^ {2} \ right \}}$

e f ( x , y , z ) = x ² + y ² é a função a integrar.

Olhando para o domínio, parece conveniente adotar a passagem para coordenadas esféricas, de fato, os intervalos das variáveis ​​que delimitam a nova região T são obviamente:

${\ displaystyle T = \ {0 \ leq \ rho \ leq 3a, \ 0 \ leq \ varphi \ leq 2 \ pi, \ 0 \ leq \ theta \ leq \ pi \}.}$

No entanto, aplicando a transformação, obtemos

${\ displaystyle f (x, y, z) = x ^ {2} + y ^ {2} \ longrightarrow \ rho ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta \ cos ^ {2} \ varphi + \ rho ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta \ sin ^ {2} \ varphi = \ rho ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta.}$

Aplicando a fórmula de integração, obtemos:

${\ displaystyle \ iiint _ {T} \ rho ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta \ rho ^ {2} \ sin \ theta \, d \ rho \, d \ theta \, d \ varphi = \ iiint _ {T} \ rho ^ {4} \ sin ^ {3} \ theta \, d \ rho \, d \ theta \, d \ varphi}$

que pode ser resolvido transformando-o em uma integral iterada.

${\ displaystyle \ iiint _ {T} \ rho ^ {4} \ sin ^ {3} \ theta \, d \ rho \, d \ theta \, d \ varphi = \ underbrace {\ int _ {0} ^ { 3a} \ rho ^ {4} d \ rho} _ {I} \, \ underbrace {\ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin ^ {3} \ theta \, d \ theta} _ {II} \, \ underbrace {\ int _ {0} ^ {2 \ pi} d \ varphi} _ {III}}$.

${\ displaystyle I = \ left. \ int _ {0} ^ {3a} \ rho ^ {4} d \ rho = {\ frac {\ rho ^ {5}} {5}} \ right \ vert _ {0 } ^ {3a} = {\ frac {243} {5}} a ^ {5}}$,

${\ displaystyle II = \ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin ^ {3} \ theta \, d \ theta = - \ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin ^ {2} \ theta \, d (\ cos \ theta) = \ int _ {0} ^ {\ pi} (\ cos ^ {2} \ theta -1) \, d (\ cos \ theta) = \ left. {\ frac { \ cos ^ {3} \ theta} {3}} \ right | _ {0} ^ {\ pi} - \ left. \ cos \ theta \ right | _ {0} ^ {\ pi} = {\ frac { 4} {3}}}$,

${\ displaystyle III = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} d \ varphi = 2 \ pi}$.

Coletando todas as peças,

${\ displaystyle \ iiint _ {T} \ rho ^ {4} \ sin ^ {3} \ theta \, d \ rho \, d \ theta \, d \ varphi = I \ cdot II \ cdot III = {\ frac {243} {5}} a ^ {5} \ cdot {\ frac {4} {3}} \ cdot 2 \ pi = {\ frac {648} {5}} \ pi a ^ {5}}$.

Alternativamente, este problema pode ser resolvido usando a passagem para coordenadas cilíndricas. Os novos intervalos T são

${\ displaystyle T = \ left \ {0 \ leq \ rho \ leq 3a, \ 0 \ leq \ varphi \ leq 2 \ pi, \ - {\ sqrt {9a ^ {2} - \ rho ^ {2}}} \ leq z \ leq {\ sqrt {9a ^ {2} - \ rho ^ {2}}} \ right \};}$

o intervalo z foi obtido dividindo a bola em dois hemisférios simplesmente resolvendo a desigualdade da fórmula de D (e então transformando diretamente x ² + y ² em ρ ² ). A nova função é simplesmente ρ ² . Aplicando a fórmula de integração

${\ displaystyle \ iiint _ {T} \ rho ^ {2} \ rho \, d \ rho \, d \ varphi \, dz.}$

Então nós temos

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} d \ varphi \ int _ {0} ^ {3a} \ rho ^ {3} d \ rho \ int _ {- {\ sqrt {9a ^ {2} - \ rho ^ {2}}}} ^ {\ sqrt {9a ^ {2} - \ rho ^ {2}}} \, dz & = 2 \ pi \ int _ {0} ^ {3a} 2 \ rho ^ {3} {\ sqrt {9a ^ {2} - \ rho ^ {2}}} \, d \ rho \\ & = - 2 \ pi \ int _ {9a ^ {2} } ^ {0} (9a ^ {2} -t) {\ sqrt {t}} \, dt && t = 9a ^ {2} - \ rho ^ {2} \\ & = 2 \ pi \ int _ {0} ^ {9a ^ {2}} \ left (9a ^ {2} {\ sqrt {t}} - t {\ sqrt {t}} \ right) \, dt \\ & = 2 \ pi \ left (\ int _ {0} ^ {9a ^ {2}} 9a ^ {2} {\ sqrt {t}} \, dt- \ int _ {0} ^ {9a ^ {2}} t {\ sqrt {t}} \, dt \ right) \\ & = 2 \ pi \ left [9a ^ {2} {\ frac {2} {3}} t ^ {\ frac {3} {2}} - {\ frac {2} {5}} t ^ {\ frac {5} {2}} \ right] _ {0} ^ {9a ^ {2}} \\ & = 2 \ cdot 27 \ pi a ^ {5} \ left (6 - {\ frac {18} {5}} \ right) \\ & = {\ frac {648 \ pi} {5}} a ^ {5}. \ end {alinhado}}}$

Graças à passagem para coordenadas cilíndricas, foi possível reduzir a integral tripla a uma integral de uma variável mais fácil.

Veja também a entrada do volume diferencial em nabla em coordenadas cilíndricas e esféricas .

Exemplos

Integral duplo sobre um retângulo

Vamos supor que desejamos integrar uma função multivariável f sobre uma região A :

${\ displaystyle A = \ left \ {(x, y) \ in \ mathbf {R} ^ {2} \: \ 11 \ leq x \ leq 14 \; \ 7 \ leq y \ leq 10 \ right \} { \ mbox {e}} f (x, y) = x ^ {2} + 4y \,}$

A partir disso, formulamos a integral iterada

${\ displaystyle \ int _ {7} ^ {10} \ int _ {11} ^ {14} (x ^ {2} + 4y) \, dx \, dy}$

A integral interna é executada primeiro, integrando em relação ax e tomando y como uma constante, pois não é a variável de integração . O resultado dessa integral, que é uma função que depende apenas de y , é então integrado em relação a y .

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ int _ {11} ^ {14} \ left (x ^ {2} + 4y \ right) \, dx & = \ left [{\ frac {1} {3}} x ^ {3} + 4yx \ right] _ {x = 11} ^ {x = 14} \\ & = {\ frac {1} {3}} (14) ^ {3} + 4y (14) - {\ frac {1} {3}} (11) ^ {3} -4y (11) \\ & = 471 + 12y \ end {alinhado}}}$

Em seguida, integramos o resultado em relação a y .

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ int _ {7} ^ {10} (471 + 12y) \ dy & = {\ Big [} 471y + 6y ^ {2} {\ Big]} _ {y = 7} ^ {y = 10} \\ & = 471 (10) +6 (10) ^ {2} -471 (7) -6 (7) ^ {2} \\ & = 1719 \ end {alinhado}}}$

Nos casos em que a integral dupla do valor absoluto da função é finita, a ordem de integração é intercambiável, ou seja, integrar primeiro em relação a x e integrar primeiro em y produzirá o mesmo resultado. Esse é o teorema de Fubini . Por exemplo, fazer o cálculo anterior com a ordem invertida dá o mesmo resultado:

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ int _ {11} ^ {14} \ int _ {7} ^ {10} \, \ left (x ^ {2} + 4y \ right) \, dy \, dx & = \ int _ {11} ^ {14} {\ Grande [} x ^ {2} y + 2y ^ {2} {\ Grande]} _ {y = 7} ^ {y = 10} \, dx \\ & = \ int _ {11} ^ {14} \, (3x ^ {2} +102) \, dx \\ & = {\ Grande [} x ^ {3} + 102x {\ Grande]} _ {x = 11} ^ {x = 14} \\ & = 1719. \ end {alinhado}}}$

Integral duplo sobre um domínio normal

Considere a região (por favor, veja o gráfico no exemplo):

${\ displaystyle D = \ {(x, y) \ in \ mathbf {R} ^ {2} \: \ x \ geq 0, y \ leq 1, y \ geq x ^ {2} \}}$

Calcular

${\ displaystyle \ iint _ {D} (x + y) \, dx \, dy.}$

Este domínio é normal em relação aos eixos x e y . Para aplicar as fórmulas, é necessário encontrar as funções que determinam D e os intervalos sobre os quais essas funções são definidas. Neste caso, as duas funções são:

${\ displaystyle \ alpha (x) = x ^ {2} {\ text {and}} \ beta (x) = 1}$

enquanto o intervalo é dado pelas interseções das funções com x  = 0, então o intervalo é [ a ,  b ] = [0, 1] (a normalidade foi escolhida em relação ao eixo x para uma melhor compreensão visual).

Agora é possível aplicar a fórmula:

${\ displaystyle \ iint _ {D} (x + y) \, dx \, dy = \ int _ {0} ^ {1} dx \ int _ {x ^ {2}} ^ {1} (x + y ) \, dy = \ int _ {0} ^ {1} dx \ \ left [xy + {\ frac {y ^ {2}} {2}} \ right] _ {x ^ {2}} ^ {1} }$

(a princípio, a segunda integral é calculada considerando x como uma constante). As demais operações consistem na aplicação das técnicas básicas de integração:

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} \ left [xy + {\ frac {y ^ {2}} {2}} \ right] _ {x ^ {2}} ^ {1} \, dx = \ int _ {0} ^ {1} \ left (x + {\ frac {1} {2}} - x ^ {3} - {\ frac {x ^ {4}} {2}} \ right) dx = \ cdots = {\ frac {13} {20}}.}$

Se escolhermos normalidade em relação ao eixo y , poderíamos calcular

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} dy \ int _ {0} ^ {\ sqrt {y}} (x + y) \, dx.}$

e obter o mesmo valor.

Calculando o volume

Usando os métodos descritos anteriormente, é possível calcular os volumes de alguns sólidos comuns.

• Cilindro : O volume de um cilindro com altura he base circular de raio R pode ser calculado integrando a função constante h sobre a base circular, usando coordenadas polares.

${\ displaystyle \ mathrm {Volume} = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} d \ varphi \, \ int _ {0} ^ {R} h \ rho \, d \ rho = 2 \ pi h \ esquerda [{\ frac {\ rho ^ {2}} {2}} \ direita] _ {0} ^ {R} = \ pi R ^ {2} h}$

Isso está de acordo com a fórmula para o volume de um prisma

${\ displaystyle \ mathrm {Volume} = {\ text {área base}} \ times {\ text {altura}}.}$

• Esfera : O volume de uma esfera com raio R pode ser calculado integrando a função constante 1 sobre a esfera, usando coordenadas esféricas.

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} {\ text {Volume}} & = \ iiint _ {D} f (x, y, z) \, dx \, dy \, dz \\ & = \ iiint _ {D } 1 \, dV \\ & = \ iiint _ {S} \ rho ^ {2} \ sin \ varphi \, d \ rho \, d \ theta \, d \ varphi \\ & = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \, d \ theta \ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin \ varphi \, d \ varphi \ int _ {0} ^ {R} \ rho ^ {2} \, d \ rho \\ & = 2 \ pi \ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin \ varphi \, d \ varphi \ int _ {0} ^ {R} \ rho ^ {2} \, d \ rho \\ & = 2 \ pi \ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin \ varphi {\ frac {R ^ {3}} {3}} \, d \ varphi \\ & = {\ frac {2 } {3}} \ pi R ^ {3} {\ Big [} - \ cos \ varphi {\ Big]} _ {0} ^ {\ pi} = {\ frac {4} {3}} \ pi R ^ {3}. \ End {alinhado}}}$

• Tetraedro ( pirâmide triangularou 3 simplex ): O volume de um tetraedro com seu ápice na origem e bordas de comprimento ℓ ao longo doseixos x -, y - e z pode ser calculado integrando a função constante 1 sobre o tetraedro.

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} {\ text {Volume}} & = \ int _ {0} ^ {\ ell} dx \ int _ {0} ^ {\ ell -x} \, dy \ int _ { 0} ^ {\ ell -xy} \, dz \\ & = \ int _ {0} ^ {\ ell} dx \ int _ {0} ^ {\ ell -x} (\ ell -xy) \, dy \\ & = \ int _ {0} ^ {\ ell} \ left (l ^ {2} -2 \ ell x + x ^ {2} - {\ frac {(\ ell -x) ^ {2}} {2}} \ right) \, dx \\ & = \ ell ^ {3} - \ ell \ ell ^ {2} + {\ frac {\ ell ^ {3}} {3}} - \ left [{ \ frac {\ ell ^ {2} x} {2}} - {\ frac {\ ell x ^ {2}} {2}} + {\ frac {x ^ {3}} {6}} \ right] _ {0} ^ {\ ell} \\ & = {\ frac {\ ell ^ {3}} {3}} - {\ frac {\ ell ^ {3}} {6}} = {\ frac {\ ell ^ {3}} {6}} \ end {alinhado}}}$

Isso está de acordo com a fórmula para o volume de uma pirâmide

${\ displaystyle \ mathrm {Volume} = {\ frac {1} {3}} \ times {\ text {área base}} \ times {\ text {height}} = {\ frac {1} {3}} \ vezes {\ frac {\ ell ^ {2}} {2}} \ times \ ell = {\ frac {\ ell ^ {3}} {6}}.}$

Integral impróprio múltiplo

No caso de domínios ilimitados ou funções não limitadas perto do limite do domínio, temos que introduzir a integral dupla imprópria ou a integral imprópria tripla .

Integrais múltiplos e integrais iterados

O teorema de Fubini afirma que se

${\ displaystyle \ iint _ {A \ times B} \ left | f (x, y) \ right | \, d (x, y) <\ infty,}$

ou seja, se a integral for absolutamente convergente, a integral múltipla dará o mesmo resultado que qualquer uma das duas integrais iteradas:

${\ displaystyle \ iint _ {A \ times B} f (x, y) \, d (x, y) = \ int _ {A} \ left (\ int _ {B} f (x, y) \, dy \ right) \, dx = \ int _ {B} \ left (\ int _ {A} f (x, y) \, dx \ right) \, dy.}$

Em particular, isso ocorrerá se | f ( x , y ) | é uma função limitada e A e B são conjuntos limitados .

Se a integral não for absolutamente convergente, é necessário cuidado para não confundir os conceitos de integral múltipla e integral iterada , especialmente porque a mesma notação é freqüentemente usada para ambos os conceitos. A notação

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {1} f (x, y) \, dy \, dx}$

significa, em alguns casos, uma integral iterada em vez de uma integral dupla verdadeira. Em uma integral iterada, a integral externa

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} \ cdots \, dx}$

é a integral em relação ax da seguinte função de x :

${\ displaystyle g (x) = \ int _ {0} ^ {1} f (x, y) \, dy.}$

Uma integral dupla, por outro lado, é definida em relação à área no plano xy . Se a integral dupla existe, então ela é igual a cada uma das duas integrais iteradas (" dy dx " ou " dx dy ") e geralmente é calculada computando qualquer uma das integrais iteradas. Mas às vezes as duas integrais iteradas existem quando a integral dupla não existe e, em alguns casos, as duas integrais iteradas são números diferentes, ou seja, um tem

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {1} f (x, y) \, dy \, dx \ neq \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {1} f (x, y) \, dx \, dy.}$

Esta é uma instância de rearranjo de uma integral condicionalmente convergente .

Por outro lado, algumas condições garantem que as duas integrais iteradas sejam iguais, mesmo que a integral dupla não precise existir. Pelo teorema de Fichtenholz - Lichtenstein , se f é limitado em [0, 1] × [0, 1] e ambas as integrais iteradas existem, então elas são iguais. Além disso, a existência dos integrais internos garante a existência dos integrais externos. A integral dupla não precisa existir neste caso, mesmo como integral de Lebesgue , de acordo com Sierpiński .

A notação

${\ displaystyle \ int _ {[0,1] \ times [0,1]} f (x, y) \, dx \, dy}$

pode ser usado se alguém deseja ser enfático sobre a intenção de uma integral dupla em vez de uma integral iterada.

Algumas aplicações práticas

Muito geralmente, assim como em uma variável, pode-se usar a integral múltipla para encontrar a média de uma função em um determinado conjunto. Dado um conjunto D ⊆ R ⁿ e uma função integrável f sobre D , o valor médio de f sobre seu domínio é dado por

${\ displaystyle {\ bar {f}} = {\ frac {1} {m (D)}} \ int _ {D} f (x) \, dx,}$

onde m ( D ) , é a medida de D .

Além disso, integrais múltiplos são usados ​​em muitas aplicações em física . Os exemplos abaixo também mostram algumas variações na notação.

Em mecânica , o momento de inércia é calculado como a integral de volume (integral tripla) da densidade pesada com o quadrado da distância do eixo:

${\ displaystyle I_ {z} = \ iiint _ {V} \ rho r ^ {2} \, dV.}$

O potencial gravitacional associado a uma distribuição de massa dada por uma medida de massa dm no espaço euclidiano tridimensional R ³ é

${\ displaystyle V (\ mathbf {x}) = - \ iiint _ {\ mathbf {R} ^ {3}} {\ frac {G} {| \ mathbf {x} - \ mathbf {y} |}} \ , dm (\ mathbf {y}).}$

Se houver uma função contínua ρ ( x ) representando a densidade da distribuição em x , de modo que dm ( x ) = ρ ( x ) d ³ x , onde d ³ x é o elemento de volume euclidiano , então o potencial gravitacional é

${\ displaystyle V (\ mathbf {x}) = - \ iiint _ {\ mathbf {R} ^ {3}} {\ frac {G} {| \ mathbf {x} - \ mathbf {y} |}} \ , \ rho (\ mathbf {y}) \, d ^ {3} \ mathbf {y}.}$

No eletromagnetismo , as equações de Maxwell podem ser escritas usando integrais múltiplos para calcular os campos magnéticos e elétricos totais. No exemplo a seguir, o campo elétrico produzido por uma distribuição de cargas dada pela densidade de carga volumétrica ρ ( r → ) é obtido por uma integral tripla de uma função vetorial:

${\ displaystyle {\ vec {E}} = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ iiint {\ frac {{\ vec {r}} - {\ vec {r}} '} {\ left \ | {\ vec {r}} - {\ vec {r}}' \ right \ | ^ {3}}} \ rho ({\ vec {r}} ') \, d ^ { 3} r '.}$

Isso também pode ser escrito como um integral em relação a uma medida assinada que representa a distribuição de cobrança.

Veja também

• Teoremas de análise principais que relacionam integrais múltiplos:
  • Teorema da divergência
  • Teorema de Stokes
  • Teorema de Green

Referências

Leitura adicional

• Adams, Robert A. (2003). Cálculo: um curso completo (5ª ed.). ISBN 0-201-79131-5.
• Jain, RK; Iyengar, SRK (2009). Advanced Engineering Mathematics (3ª ed.). Editora Narosa. ISBN 978-81-7319-730-7.
• Herman, Edwin “Jed” & Strang, Gilbert (2016): Calculus: Volume 3  : OpenStax, Rice University, Houston, Texas, EUA. ISBN  978-1-50669-805-2 . ( PDF )

links externos

• Weisstein, Eric W. "Multiple Integral" . MathWorld .
• LD Kudryavtsev (2001) [1994], "Multiple integral" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Assistente matemático na Web avaliação online de integrais duplos em coordenadas cartesianas e coordenadas polares (inclui etapas intermediárias na solução, alimentado por Maxima (software) )