Ordem de integração (cálculo) - Order of integration (calculus)

No cálculo , o intercâmbio da ordem de integração é uma metodologia que transforma integrais iteradas (ou integrais múltiplas através do uso do teorema de Fubini ) de funções em outras integrais, esperançosamente mais simples, alterando a ordem em que as integrações são realizadas. Em alguns casos, a ordem de integração pode ser validamente trocada; em outros, não.

Declaração do problema

O problema para o exame é a avaliação de uma integral do formulário

${\ displaystyle \ iint _ {D} \ f (x, y) \ dx \, dy,}$

onde D é alguma área bidimensional no plano xy . Para algumas funções f integração direta é viável, mas onde isso não for verdade, a integral pode às vezes ser reduzida a uma forma mais simples, alterando a ordem de integração. A dificuldade com esse intercâmbio é determinar a mudança na descrição do domínio D .

O método também é aplicável a outros integrais múltiplos .

Às vezes, mesmo que uma avaliação completa seja difícil, ou talvez requeira uma integração numérica, uma integral dupla pode ser reduzida a uma única integração, como ilustrado a seguir. A redução para uma única integração torna a avaliação numérica muito mais fácil e eficiente.

Relação com integração por partes

Figura 1: A integração sobre a área triangular pode ser feita usando tiras verticais ou horizontais como o primeiro passo. Esta é uma visão aérea, olhando para baixo do eixo z para o plano xy . A linha inclinada é a curva y = x .

Considere a integral iterada

${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {z} \, \ int _ {a} ^ {x} \, h (y) \, dy \, dx,}$

que escreveremos usando a notação de prefixo comumente vista na física:

${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {z} dx \, \ int _ {a} ^ {x} \, h (y) \, dy.}$

Nesta expressão, a segunda integral é calculada primeiro em relação ay e x é mantida constante - uma faixa de largura dx é integrada primeiro sobre a direção y (uma faixa de largura dx na direção x é integrada em relação a y variável na direção y ), somando uma quantidade infinita de retângulos de largura dy ao longo do eixo y . Isto forma uma fatia tridimensional dx largura ao longo da x -axis, a partir de y = um de y = x ao longo do y -axis, e na z direcção z = f ( x , y ). Observe que se a espessura dx for infinitesimal, x varia apenas infinitesimalmente na fatia. Podemos assumir que x é constante. Essa integração é mostrada no painel esquerdo da Figura 1, mas é inconveniente, especialmente quando a função h ( y ) não é facilmente integrada. O integral pode ser reduzido a uma única integração, invertendo a ordem de integração, conforme mostrado no painel direito da figura. Para realizar esse intercâmbio de variáveis, a faixa de largura dy é primeiro integrada da linha x = y até o limite x = z e, em seguida, o resultado é integrado de y = a até y = z , resultando em:

${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {z} dx \ \ int _ {a} ^ {x} h (y) \ dy = \ int _ {a} ^ {z} h (y) \ dy \ \ int _ {y} ^ {z} dx = \ int _ {a} ^ {z} \ left (zy \ right) h (y) \, dy.}$

Este resultado pode ser visto como um exemplo da fórmula para integração por partes , conforme declarado a seguir:

${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {z} f (x) g '(x) \, dx = \ left [f (x) g (x) \ right] _ {a} ^ {z} - \ int _ {a} ^ {z} f '(x) g (x) \, dx}$

Substituto:

${\ displaystyle f (x) = \ int _ {a} ^ {x} h (y) \, dy ~ {\ text {e}} ~ g '(x) = 1.}$

O que dá o resultado.

Integrais de valor principal

Para aplicação a integrais de valor principal , consulte Whittaker e Watson, Gakhov, Lu ou Zwillinger. Veja também a discussão da transformação Poincaré-Bertrand em Obolashvili. Um exemplo em que a ordem de integração não pode ser trocada é dado por Kanwal:

${\ displaystyle {\ frac {1} {(2 \ pi i) ^ {2}}} \ int _ {L} ^ {*} {\ frac {d {\ tau} _ {1}} {{\ tau } _ {1} -t}} \ \ int _ {L} ^ {*} \ g (\ tau) {\ frac {d \ tau} {\ tau - \ tau _ {1}}} = {\ frac {1} {4}} g (t) \,}$

enquanto:

${\ displaystyle {\ frac {1} {(2 \ pi i) ^ {2}}} \ int _ {L} ^ {*} g (\ tau) \ d \ tau \ left (\ int _ {L} ^ {*} {\ frac {d \ tau _ {1}} {\ left (\ tau _ {1} -t \ right) \ left (\ tau - \ tau _ {1} \ right)}} \ right ) = 0 \.}$

A segunda forma é avaliada usando uma expansão de fração parcial e uma avaliação usando a fórmula de Sokhotski-Plemelj :

${\ displaystyle \ int _ {L} ^ {*} {\ frac {d \ tau _ {1}} {\ tau _ {1} -t}} = \ int _ {L} ^ {*} {\ frac {d \ tau _ {1}} {\ tau _ {1} -t}} = \ pi \ i \.}$

A notação indica um valor principal de Cauchy . Veja Kanwal. ${\ displaystyle \ int _ {L} ^ {*}}$

Teoremas básicos

Uma discussão sobre a base para inverter a ordem de integração pode ser encontrada no livro Fourier Analysis, de TW Körner. Ele introduz sua discussão com um exemplo em que o intercâmbio de integração leva a duas respostas diferentes porque as condições do Teorema II abaixo não são satisfeitas. Aqui está o exemplo:

${\ displaystyle \ int _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {2} -y ^ {2}} {\ left (x ^ {2} + y ^ {2} \ right) ^ { 2}}} \ dy = \ left [{\ frac {y} {x ^ {2} + y ^ {2}}} \ right] _ {1} ^ {\ infty} = - {\ frac {1} {1 + x ^ {2}}} \ \ left [x \ geq 1 \ right] \.}$

${\ displaystyle \ int _ {1} ^ {\ infty} \ left (\ int _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {2} -y ^ {2}} {\ left (x ^ {2} + y ^ {2} \ right) ^ {2}}} \ dy \ right) \ dx = - {\ frac {\ pi} {4}} \.}$

${\ displaystyle \ int _ {1} ^ {\ infty} \ left (\ int _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {2} -y ^ {2}} {\ left (x ^ {2} + y ^ {2} \ right) ^ {2}}} \ dx \ right) \ dy = {\ frac {\ pi} {4}} \.}$

Dois teoremas básicos que regem a admissibilidade do intercâmbio são citados abaixo de Chaudhry e Zubair:

Teorema I  -  Seja f ( x ,  y ) uma função contínua de sinal constante definida para a ≤ x <∞, c ≤ y <∞, e sejam as integrais

${\ displaystyle J (y): = \ int _ {a} ^ {\ infty} f (x, \ y) \, dx}$           e           ${\ displaystyle J ^ {*} (x) = \ int _ {c} ^ {\ infty} f (x, \ y) \, dy}$

consideradas como funções do parâmetro correspondente sejam, respectivamente, contínuas para c ≤ y <∞, a ≤ x <∞. Então, se pelo menos uma das integrais iteradas

${\ displaystyle \ int _ {c} ^ {\ infty} \ left (\ int _ {a} ^ {\ infty} \ f (x, \ y) dx \ right) dy}$           e           ${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {\ infty} \ \ left (\ int _ {c} ^ {\ infty} \ f (x, \ y) dy \ right) dx}$

converge, a outra integral também converge e seus valores coincidem.

Teorema II  -  Seja f ( x ,  y ) contínuo para a ≤ x <∞, c ≤ y <∞, e sejam as integrais

${\ displaystyle J (y): = \ int _ {a} ^ {\ infty} f (x, \ y) \, dx}$           e           ${\ displaystyle J ^ {*} (x) = \ int _ {c} ^ {\ infty} f (x, \ y) \, dy}$

sejam, respectivamente, uniformemente convergentes em cada intervalo finito c ≤ y < C e em cada intervalo finito a ≤ x < A . Então, se pelo menos uma das integrais iteradas

${\ displaystyle \ int _ {c} ^ {\ infty} \ left (\ int _ {a} ^ {\ infty} | f (x, \ y) | dx \ right) dy}$           e           ${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {\ infty} \ \ left (\ int _ {c} ^ {\ infty} | f (x, \ y) | dy \ right) dx}$

converge, as integrais iteradas

${\ displaystyle \ int _ {c} ^ {\ infty} \ left (\ int _ {a} ^ {\ infty} f (x, \ y) dx \ right) dy}$           e           ${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {\ infty} \ left (\ int _ {c} ^ {\ infty} f (x, \ y) dy \ right) dx}$

também convergem e seus valores são iguais.

O teorema mais importante para as aplicações é citado de Protter e Morrey:

Teorema  -  Suponha que F é uma região dada por   onde p e q são contínuos ep ( x ) ≤ q ( x ) para a ≤ x ≤ b . Suponhamos que f ( x ,  y ) é contínua em F . Então ${\ displaystyle F = \ left \ {(x, \ y): a \ leq x \ leq b, p (x) \ leq y \ leq q (x) \ right \} \,}$

${\ displaystyle \ iint _ {F} f (x, y) \, dA = \ int _ {a} ^ {b} \ int _ {p (x)} ^ {q (x)} f (x, \ y) \, dy \ dx.}$

O resultado correspondente é válido se a região fechada F tiver a representação   onde r ( y ) ≤  s ( y ) para c ≤ y ≤ d . Nesse caso, ${\ displaystyle F = \ left \ {(x, \ y): c \ leq y \ leq d, \ r (y) \ leq x \ leq s (y) \ right \}}$

${\ displaystyle \ iint _ {F} f (x, \ y) dA = \ int _ {c} ^ {d} \ int _ {r (y)} ^ {s (y)} f (x, \ y ) \, dx \ dy \.}$

Em outras palavras, ambas as integrais iteradas, quando computáveis, são iguais à integral dupla e, portanto, iguais entre si.

Veja também

• Teorema de Fubini

Referências e notas

links externos

• Notas de matemática online de Paulo: Cálculo III
• Boas imagens 3D mostrando o cálculo de "Integrais Duplos" usando integrais iteradas , do Departamento de Matemática da Universidade Estadual de Oregon.
• Problemas de cálculo da UCLA de Ron Miech Exemplos mais complexos de alteração da ordem de integração (consulte os Problemas 33, 35, 37, 39, 41 e 43)
• Site da Universidade de Minnesota de Duane Nykamp