Teste de mandato - Term test

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Cálculo
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v t e

Em matemática , o n teste th prazo para a divergência é um teste simples para a divergência de uma série infinita :

• Se ou se o limite não existe, então diverge. ${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n} \ neq 0}$${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n}}$

Muitos autores não nomeiam este teste ou dão a ele um nome mais curto.

Ao testar se uma série converge ou diverge, este teste geralmente é verificado primeiro devido à sua facilidade de uso.

Uso

Ao contrário dos testes de convergência mais fortes , o teste de termo não pode provar por si só que uma série converge . Em particular, o inverso do teste não é verdadeiro; em vez disso, tudo o que se pode dizer é:

• Se então pode ou não convergir. Em outras palavras, se o teste for inconclusivo. ${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n} = 0,}$${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n}}$${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n} = 0,}$

A série harmônica é um exemplo clássico de série divergente cujos termos se limitam a zero. A classe mais geral da série p ,

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {p}}},}$

exemplifica os possíveis resultados do teste:

• Se p ≤ 0, o termo teste identifica a série como divergente.
• Se 0 < p ≤ 1, então o teste de termo é inconclusivo, mas a série é divergente pelo teste integral de convergência .
• Se 1 < p , então o termo teste é inconclusivo, mas a série é convergente, novamente pelo teste integral para convergência.

Provas

O teste é normalmente comprovado de forma contrapositiva :

• Se convergir, então ${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n}}$${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n} = 0.}$

Limite de manipulação

Se s _n são as somas parciais da série, então a suposição de que a série converge significa que

${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} s_ {n} = L}$

para alguns números s . Então

${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n} = \ lim _ {n \ to \ infty} (s_ {n} -s_ {n-1}) = \ lim _ {n \ to \ infty} s_ {n} - \ lim _ {n \ a \ infty} s_ {n-1} = LL = 0.}$

Critério de Cauchy

A suposição de que a série converge significa que ela passa no teste de convergência de Cauchy : para cada há um número N tal que ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$

${\ displaystyle \ left | a_ {n + 1} + a_ {n + 2} + \ cdots + a_ {n + p} \ right | <\ varepsilon}$

vale para todo n > N e p ≥ 1. Configuração p = 1 recupera a definição da declaração

${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n} = 0.}$

Escopo

A versão mais simples do termo teste se aplica a séries infinitas de números reais . As duas provas acima, invocando o critério de Cauchy ou a linearidade do limite, também funcionam em qualquer outro espaço vetorial normado (ou qualquer grupo abeliano (escrito aditivamente).

Notas

Referências

• Brabenec, Robert (2005). Recursos para o estudo da análise real . MAA. ISBN   0883857375 .
• Hansen, Vagn Lundsgaard (2006). Análise Funcional: Entrando no Espaço de Hilbert . World Scientific. ISBN   9812565639 .
• Kaczor, Wiesława e Maria Nowak (2003). Problemas em Análise Matemática . American Mathematical Society. ISBN   0821820508 .
• Rudin, Walter (1976) [1953]. Princípios de análise matemática (3e ed.). McGraw-Hill. ISBN   0-07-054235-X .
• Stewart, James (1999). Cálculo: Primeiros transcendentais (4ª ed.). Brooks / Cole. ISBN   0-534-36298-2 .
• Șuhubi, Erdoğan S. (2003). Análise funcional . Springer. ISBN   1402016166 .