Quantização BRST - BRST quantization

Na física teórica , o formalismo BRST , ou quantização BRST (onde o BRST se refere aos sobrenomes de Carlo Becchi , Alain Rouet  [ de ] , Raymond Stora e Igor Tyutin ) denota uma abordagem matemática relativamente rigorosa para quantizar uma teoria de campo com um medidor simetria . As regras de quantização em estruturas anteriores da teoria quântica de campos (QFT) se assemelhavam a "prescrições" ou "heurísticas" mais do que provas, especialmente em QFT não abelianas , onde o uso de " campos fantasmas " com propriedades superficialmente bizarras é quase inevitável por razões técnicas relacionadas a renormalização e cancelamento de anomalias .

A supersimetria global BRST introduzida em meados da década de 1970 foi rapidamente compreendida para racionalizar a introdução desses fantasmas Faddeev-Popov e sua exclusão dos estados assintóticos "físicos" ao realizar cálculos QFT. Crucialmente, essa simetria da integral de caminho é preservada em ordem de loop e, portanto, evita a introdução de contra-termos que podem prejudicar a renormalizabilidade das teorias de calibre. O trabalho de outros autores alguns anos depois relacionou o operador BRST à existência de uma alternativa rigorosa para integrais de caminho ao quantizar uma teoria de gauge.

Somente no final da década de 1980, quando QFT foi reformulado em linguagem de feixe de fibras para aplicação a problemas na topologia de variedades de baixa dimensão ( teoria quântica de campo topológica ), tornou-se aparente que a "transformação" de BRST é fundamentalmente geométrica em caráter. Sob esta luz, a "quantização BRST" torna-se mais do que uma maneira alternativa de chegar a fantasmas que cancelam anomalias. É uma perspectiva diferente sobre o que os campos fantasmas representam, por que o método Faddeev-Popov funciona e como ele está relacionado ao uso da mecânica hamiltoniana para construir uma estrutura perturbativa. A relação entre invariância de calibre e "invariância de BRST" força a escolha de um sistema hamiltoniano cujos estados são compostos de "partículas" de acordo com as regras familiares do formalismo de quantização canônica . Essa condição de consistência esotérica, portanto, chega bem perto de explicar como os quanta e os férmions surgem na física para começar.

Em certos casos, notadamente gravidade e supergravidade , o BRST deve ser substituído por um formalismo mais geral, o formalismo Batalin-Vilkovisky .

Resumo técnico

A quantização BRST é uma abordagem geométrica diferencial para realizar cálculos perturbativos consistentes e livres de anomalias em uma teoria de calibre não abeliana . A forma analítica da "transformação" do BRST e sua relevância para a renormalização e o cancelamento da anomalia foram descritos por Carlo Maria Becchi , Alain Rouet e Raymond Stora em uma série de artigos que culminaram na "Renormalização das teorias de calibre" em 1976. A transformação equivalente e muitas de suas propriedades foram descobertas independentemente por Igor Viktorovich Tyutin . Sua importância para a quantização canônica rigorosa de uma teoria de Yang-Mills e sua aplicação correta ao espaço Fock de configurações de campo instantâneas foram elucidadas por Taichiro Kugo e Izumi Ojima. Trabalhos posteriores de muitos autores, notadamente Thomas Schücker e Edward Witten , esclareceram o significado geométrico do operador BRST e campos relacionados e enfatizaram sua importância para a teoria quântica de campos topológica e a teoria das cordas .

Na abordagem BRST, seleciona-se um procedimento de fixação de calibre amigável à perturbação para o princípio de ação de uma teoria de calibre usando a geometria diferencial do feixe de calibre no qual vive a teoria de campo. Em seguida, quantiza-se a teoria para obter um sistema hamiltoniano na imagem de interação de tal forma que os campos "não físicos" introduzidos pelo procedimento de fixação do medidor resolvam anomalias do medidor sem aparecer nos estados assintóticos da teoria. O resultado é um conjunto de regras de Feynman para uso em uma expansão perturbativa em série de Dyson da matriz S que garante que ela é unitária e renormalizável em cada ordem de loop - em suma, uma técnica de aproximação coerente para fazer previsões físicas sobre os resultados do espalhamento experimentos .

BRST Clássico

Isso está relacionado a uma variedade supersimplética em que os operadores puros são classificados por números fantasmas integrais e temos uma cohomologia BRST .

Transformações de calibre em QFT

De uma perspectiva prática, uma teoria quântica de campos consiste em um princípio de ação e um conjunto de procedimentos para realizar cálculos perturbativos . Existem outros tipos de "verificações de sanidade" que podem ser realizados em uma teoria quântica de campos para determinar se ela se encaixa em fenômenos qualitativos, como confinamento de quark e liberdade assintótica . No entanto, a maioria dos sucessos preditivos da teoria quântica de campos, desde a eletrodinâmica quântica até os dias atuais, foram quantificados comparando cálculos de matriz S com os resultados de experimentos de espalhamento .

Nos primeiros dias do QFT, seria necessário dizer que as prescrições de quantização e renormalização faziam parte do modelo tanto quanto a densidade Lagrangiana , especialmente quando dependiam do poderoso formalismo integral de caminho matematicamente mal definido . Rapidamente ficou claro que o QED era quase "mágico" em sua tratabilidade relativa, e que a maioria das maneiras que alguém poderia imaginar como estendê-lo não produziria cálculos racionais. No entanto, uma classe de teorias de campo permaneceu promissora: teorias de calibre , nas quais os objetos na teoria representam classes de equivalência de configurações de campo fisicamente indistinguíveis, quaisquer duas das quais estão relacionadas por uma transformação de calibre . Isso generaliza a ideia QED de uma mudança local de fase para um grupo de Lie mais complicado .

A própria QED é uma teoria de calibre, assim como a relatividade geral , embora esta tenha se mostrado resistente à quantização até agora, por razões relacionadas à renormalização. Outra classe de teorias de calibre com um grupo de calibre não Abeliano , começando com a teoria de Yang-Mills , tornou-se passível de quantização no final dos anos 1960 e início dos anos 1970, em grande parte devido ao trabalho de Ludwig D. Faddeev , Victor Popov , Bryce DeWitt e Gerardus 't Hooft . No entanto, eles permaneceram muito difíceis de trabalhar até a introdução do método BRST. O método BRST forneceu as técnicas de cálculo e as provas de renormalizabilidade necessárias para extrair resultados precisos das teorias de Yang-Mills "ininterruptas" e daquelas em que o mecanismo de Higgs leva à quebra espontânea da simetria . Representantes desses dois tipos de sistemas Yang-Mills - cromodinâmica quântica e teoria eletrofraca - aparecem no modelo padrão da física de partículas .

Provou-se bastante mais difícil provar a existência de teoria quântica de campo não-Abeliana em um sentido rigoroso do que obter previsões precisas usando esquemas de cálculo semi-heurísticos. Isso ocorre porque a análise de uma teoria quântica de campos requer duas perspectivas matematicamente interligadas: um sistema Lagrangiano baseado no funcional de ação , composto de campos com valores distintos em cada ponto no espaço-tempo e operadores locais que atuam sobre eles, e um sistema hamiltoniano na imagem de Dirac , composto por estados que caracterizam todo o sistema em um determinado momento e operadores de campo que atuam sobre eles. O que torna isso tão difícil em uma teoria de gauge é que os objetos da teoria não são realmente campos locais no espaço-tempo; eles são campos locais invariantes à direita no feixe de calibre principal , e diferentes seções locais através de uma porção do feixe de calibre, relacionadas por transformações passivas , produzem diferentes imagens de Dirac.

Além disso, uma descrição do sistema como um todo em termos de um conjunto de campos contém muitos graus de liberdade redundantes; as configurações distintas da teoria são classes de equivalência de configurações de campo, de modo que duas descrições relacionadas uma à outra por uma transformação de calibre também são realmente a mesma configuração física. As "soluções" de uma teoria de gauge quantizada não existem em um espaço direto de campos com valores em todos os pontos do espaço-tempo, mas em um espaço quociente (ou cohomologia ) cujos elementos são classes de equivalência de configurações de campo. Escondido no formalismo BRST está um sistema para parametrizar as variações associadas a todas as transformações de calibre ativas possíveis e contabilizar corretamente sua irrelevância física durante a conversão de um sistema Lagrangeano para um sistema Hamiltoniano.

Teoria de fixação e perturbação de calibre

O princípio da invariância de calibre é essencial para a construção de uma teoria quântica de campos viável. Mas geralmente não é viável realizar um cálculo perturbativo em uma teoria de calibre sem primeiro "fixar o calibre" - adicionar termos à densidade Lagrangiana do princípio de ação que "quebram a simetria do calibre" para suprimir esses graus de liberdade "não físicos". A ideia de fixação de medidor remonta à abordagem de medidor de Lorenz para eletromagnetismo, que suprime a maioria dos graus de liberdade em excesso nos quatro potenciais enquanto retém a invariância de Lorentz manifesta . O medidor de Lorenz é uma grande simplificação em relação à abordagem de força de campo de Maxwell para a eletrodinâmica clássica e ilustra por que é útil lidar com graus de liberdade excessivos na representação dos objetos em uma teoria no estágio Lagrangiano, antes de passar para o Hamiltoniano mecânica através da transformação de Legendre .

A densidade hamiltoniana está relacionada à derivada de Lie da densidade Lagrangiana em relação a uma unidade de campo vetorial horizontal semelhante ao tempo no feixe de calibre. Em um contexto de mecânica quântica, é convencionalmente redimensionado por um fator . Integrando-o por partes sobre uma seção transversal semelhante a um espaço, recupera-se a forma do integrando familiar da quantização canônica . Como a definição do hamiltoniano envolve um campo vetorial de tempo unitário no espaço de base, uma elevação horizontal para o espaço do pacote e uma superfície semelhante a um espaço "normal" (na métrica de Minkowski ) para o campo vetorial de tempo unitário em cada ponto da base múltiplo, é dependente da conexão e da escolha do quadro de Lorentz , e está longe de ser definido globalmente. Mas é um ingrediente essencial na estrutura perturbativa da teoria quântica de campos, na qual o hamiltoniano quantizado entra por meio da série de Dyson . ${\ displaystyle i \ hbar}$

Para fins perturbativos, reunimos a configuração de todos os campos de nossa teoria em uma seção transversal horizontal tridimensional horizontal inteira de P em um objeto (um estado Fock ) e, em seguida, descrevemos a "evolução" deste estado ao longo do tempo usando o imagem de interação . O espaço Fock é medido pelos autoestados multipartículas da porção "não perturbada" ou "não-interativa" do hamiltoniano . Conseqüentemente, a descrição instantânea de qualquer estado Fock é uma soma ponderada de amplitude complexa de autoestados de . Na imagem de interação, relacionamos os estados de Fock em momentos diferentes, prescrevendo que cada estado próprio do hamiltoniano não perturbado experimenta uma taxa constante de rotação de fase proporcional à sua energia (o valor próprio correspondente do hamiltoniano não perturbado). ${\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {0}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {0}}$

Portanto, na aproximação de ordem zero, o conjunto de pesos que caracteriza um estado Fock não muda com o tempo, mas a configuração de campo correspondente sim. Em aproximações mais altas, os pesos também mudam; experimentos de colisor em física de alta energia equivalem a medições da taxa de variação desses pesos (ou, melhor, integrais deles sobre distribuições que representam incerteza nas condições iniciais e finais de um evento de espalhamento). A série de Dyson captura o efeito da discrepância entre e o verdadeiro hamiltoniano , na forma de uma série de potências na constante de acoplamento g ; é a principal ferramenta para fazer previsões quantitativas a partir de uma teoria quântica de campos. ${\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {0}}$${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$

Para usar a série de Dyson para calcular qualquer coisa, é necessário mais do que uma densidade Lagrangiana invariante de calibre; também é necessária a quantização e as prescrições de fixação do medidor que entram nas regras de Feynman da teoria. A série Dyson produz integrais infinitas de vários tipos quando aplicada ao hamiltoniano de um QFT específico. Isso ocorre em parte porque todas as teorias quânticas de campo utilizáveis ​​até o momento devem ser consideradas teorias de campo eficazes , descrevendo apenas interações em uma certa faixa de escalas de energia que podemos sondar experimentalmente e, portanto, vulneráveis ​​a divergências ultravioleta . Eles são toleráveis, desde que possam ser tratados por meio de técnicas padrão de renormalização ; eles não são tão toleráveis ​​quando resultam em uma série infinita de renormalizações infinitas ou, pior, em uma previsão obviamente não física, como uma anomalia de calibre não cancelada . Existe uma relação profunda entre renormalizabilidade e invariância do medidor, que é facilmente perdida no curso das tentativas de obter regras de Feynman tratáveis ​​fixando o medidor.

Abordagens pré-BRST para fixação de bitola

As prescrições de fixação de medidor tradicionais da eletrodinâmica contínua selecionam um representante único de cada classe de equivalência relacionada à transformação de medidor usando uma equação de restrição , como o medidor de Lorenz . Este tipo de prescrição pode ser aplicada a uma teoria de calibre Abeliana , como QED , embora resulte em alguma dificuldade em explicar por que as identidades de Ward da teoria clássica são transportadas para a teoria quântica - em outras palavras, por que os diagramas de Feynman contendo os diagramas internos polarizados longitudinalmente os fótons virtuais não contribuem para os cálculos da matriz S. Esta abordagem também não generaliza bem para grupos de calibre não Abelianos , como o SU (2) de Yang-Mills e a teoria eletrofraca e o SU (3) da cromodinâmica quântica . Ele sofre de ambigüidades de Gribov e da dificuldade de definir uma restrição de fixação de medidor que é em algum sentido "ortogonal" a mudanças fisicamente significativas na configuração do campo. ${\ displaystyle \ partial ^ {\ mu} A _ {\ mu} = 0}$

Abordagens mais sofisticadas não tentam aplicar uma restrição de função delta aos graus de liberdade da transformação do medidor. Em vez de "fixar" o medidor a uma "superfície de restrição" particular no espaço de configuração, pode-se quebrar a liberdade do medidor com um termo adicional não invariante ao medidor adicionado à densidade Lagrangiana. A fim de reproduzir os sucessos de fixação do medidor, este termo é escolhido para ser mínimo para a escolha do medidor que corresponde à restrição desejada e para depender quadraticamente do desvio do medidor da superfície de restrição. Pela aproximação de fase estacionária na qual a integral de caminho de Feynman é baseada, a contribuição dominante para cálculos perturbativos virá de configurações de campo na vizinhança da superfície de restrição.

A expansão perturbativa associada a este Lagrangiano, usando o método de quantização funcional , é geralmente chamada de calibre R _ξ . No caso de um calibre Abeliano U (1), ela se reduz ao mesmo conjunto de regras de Feynman que se obtém no método de quantização canônica . Mas há uma diferença importante: a liberdade do medidor interrompida aparece na integral funcional como um fator adicional na normalização geral. Este fator só pode ser retirado da expansão perturbativa (e ignorado) quando a contribuição para o Lagrangiano de uma perturbação ao longo dos graus de liberdade do medidor é independente da configuração do campo "físico" particular. Esta é a condição que falha nos grupos de calibres não Abelianos. Se alguém ignorar o problema e tentar usar as regras de Feynman obtidas da quantização funcional "ingênua", descobrirá que seus cálculos contêm anomalias irremovíveis.

O problema dos cálculos perturbativos em QCD foi resolvido pela introdução de campos adicionais conhecidos como fantasmas Faddeev-Popov , cuja contribuição para o Lagrangiano fixo no medidor compensa a anomalia introduzida pelo acoplamento de perturbações "físicas" e "não físicas" do medidor não Abeliano campo. Da perspectiva da quantização funcional, as perturbações "não físicas" da configuração do campo (as transformações de calibre) formam um subespaço do espaço de todas as perturbações (infinitesimais); no caso não Abeliano, a incorporação deste subespaço no espaço maior depende da configuração em torno da qual a perturbação ocorre. O termo fantasma no Lagrangiano representa o determinante funcional do Jacobiano dessa incorporação, e as propriedades do campo fantasma são ditadas pelo expoente desejado no determinante para corrigir a medida funcional nos eixos de perturbação "físicos" restantes.

Abordagem matemática para BRST

Construção BRST aplica-se a uma situação de uma acção hamiltoneano de um compacto, ligado grupo de Lie G em um espaço de fase M . Seja a álgebra de Lie de G e um valor regular do mapa de momento . Deixe . Suponha que a ação G em M ₀ é livre e adequada e considere o espaço das órbitas G em M ₀ , que também é conhecido como quociente de redução simplético . ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle 0 \ in {\ mathfrak {g}} ^ {*}}$ ${\ displaystyle \ Phi: M \ to {\ mathfrak {g}} ^ {*}}$${\ displaystyle M_ {0} = \ Phi ^ {- 1} (0)}$${\ displaystyle {\ widetilde {M}} = M_ {0} / G}$${\ displaystyle {\ widetilde {M}} = M // G}$

Primeiro, usando a sequência regular de funções que definem M ₀ dentro de M , construa um complexo de Koszul

${\ displaystyle \ Lambda ^ {\ cdot} {\ mathfrak {g}} \ otimes C ^ {\ infty} (M).}$

O diferencial, δ, neste complexo é uma derivação C ^∞ ( M ) -linear ímpar da álgebra graduada C ^∞ ( M ) . Esta derivação ímpar é definida estendendo o homomorphim da álgebra de Lie da ação hamiltoniana . O complexo de Koszul resultante é o complexo de Koszul do -módulo C ^∞ ( M ), onde é a álgebra simétrica de , e a estrutura do módulo vem de um homomorfismo de anel induzido pela ação hamiltoniana . ${\ displaystyle \ Lambda ^ {\ cdot} {\ mathfrak {g}} \ otimes C ^ {\ infty} (M)}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} \ to C ^ {\ infty} (M)}$${\ displaystyle S ({\ mathfrak {g}})}$${\ displaystyle S ({\ mathfrak {g}})}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle S ({\ mathfrak {g}}) \ to C ^ {\ infty} (M)}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} \ to C ^ {\ infty} (M)}$

Este complexo Koszul é uma resolução do -módulo , ou seja, ${\ displaystyle S ({\ mathfrak {g}})}$${\ displaystyle C ^ {\ infty} (M_ {0})}$

${\ displaystyle H ^ {j} (\ Lambda ^ {\ cdot} {\ mathfrak {g}} \ otimes C ^ {\ infty} (M), \ delta) = {\ begin {cases} C ^ {\ infty } (M_ {0}) & j = 0 \\ 0 & j \ neq 0 \ end {casos}}}$

Então, considere o complexo de cochain de Chevalley-Eilenberg para o complexo de Koszul considerado como um módulo dg sobre a álgebra de Lie : ${\ displaystyle \ Lambda ^ {\ cdot} {\ mathfrak {g}} \ otimes C ^ {\ infty} (M)}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

${\ displaystyle K ^ {\ cdot, \ cdot} = C ^ {\ cdot} \ left ({\ mathfrak {g}}, \ Lambda ^ {\ cdot} {\ mathfrak {g}} \ otimes C ^ {\ infty} (M) \ right) = \ Lambda ^ {\ cdot} {\ mathfrak {g}} ^ {*} \ otimes \ Lambda ^ {\ cdot} {\ mathfrak {g}} \ otimes C ^ {\ infty } (M).}$

O diferencial "horizontal" é definido nos coeficientes ${\ displaystyle d: K ^ {i, \ cdot} \ para K ^ {i + 1, \ cdot}}$

${\ displaystyle \ Lambda ^ {\ cdot} {\ mathfrak {g}} \ otimes C ^ {\ infty} (M)}$

pela ação de e sobre como a derivada externa de formas diferenciais invariantes à direita no grupo de Lie G , cuja álgebra de Lie é . ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle \ Lambda ^ {\ cdot} {\ mathfrak {g}} ^ {*}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Deixe Tot ( K ) ser um complexo tal que

${\ displaystyle \ operatorname {Tot} (K) ^ {n} = \ bigoplus \ nolimits _ {ij = n} K ^ {i, j}}$

com um diferencial D  =  d  + δ. Os grupos de cohomologia de (Tot ( K ),  D ) são calculados usando uma sequência espectral associada ao complexo duplo . ${\ displaystyle (K ^ {\ cdot, \ cdot}, d, \ delta)}$

O primeiro termo da sequência espectral calcula a cohomologia do diferencial "vertical" δ:

${\ displaystyle E_ {1} ^ {i, j} = H ^ {j} (K ^ {i, \ cdot}, \ delta) = \ Lambda ^ {i} {\ mathfrak {g}} ^ {*} \ otimes C ^ {\ infty} (M_ {0})}$, se j = 0 e zero caso contrário.

O primeiro termo da sequência espectral pode ser interpretado como o complexo de formas diferenciais verticais

${\ displaystyle (\ Omega _ {\ operatorname {vert}} ^ {\ cdot} (M_ {0}), d _ {\ operatorname {vert}})}$

para o feixe de fibras . ${\ displaystyle M_ {0} \ para {\ widetilde {M}}}$

O segundo termo da sequência espectral calcula a cohomologia do diferencial "horizontal" d em : ${\ displaystyle E_ {1} ^ {\ cdot, \ cdot}}$

${\ displaystyle E_ {2} ^ {i, j} \ cong H ^ {i} (E_ {1} ^ {\ cdot, j}, d) = C ^ {\ infty} (M_ {0}) ^ { g} = C ^ {\ infty} ({\ widetilde {M}})}$, se e zero caso contrário.${\ displaystyle i = j = 0}$

A sequência espectral entra em colapso no segundo termo, de modo que , que se concentra no grau zero. ${\ displaystyle E _ {\ infty} ^ {i, j} = E_ {2} ^ {i, j}}$

Portanto,

${\ displaystyle H ^ {p} (\ operatorname {Tot} (K), D) = C ^ {\ infty} (M_ {0}) ^ {g} = C ^ {\ infty} ({\ widetilde {M }})}$, se p = 0 e 0 caso contrário.

O operador BRST e o espaço Fock assintótico

Devem ser feitas duas observações importantes sobre a operadora de BRST. Primeiro, em vez de trabalhar com o grupo de calibre G, pode-se usar apenas a ação da álgebra de calibre nos campos (funções no espaço de fase). ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Em segundo lugar, a variação de qualquer " forma exata de BRST " s _B X em relação a uma transformação de medidor local d λ é

${\ displaystyle \ left [i _ {\ delta \ lambda}, s_ {B} \ right] s_ {B} X = i _ {\ delta \ lambda} (s_ {B} s_ {B} X) + s_ {B} \ left (i _ {\ delta \ lambda} (s_ {B} X) \ right) = s_ {B} \ left (i _ {\ delta \ lambda} (s_ {B} X) \ right),}$

que em si é uma forma exata.

Mais importante para o formalismo perturbativo hamiltoniano (que não é realizado no feixe de fibras, mas em uma seção local), adicionar um termo exato BRST a uma densidade lagrangiana invariante de calibre preserva a relação s _B X  = 0. Como veremos, isso implica que há um operador relacionado Q _B no espaço de estados para o qual - isto é, o operador BRST nos estados Fock é uma carga conservada do sistema hamiltoniano . Isso implica que o operador de evolução no tempo em um cálculo da série Dyson não evoluirá uma configuração de campo obedecendo a uma configuração posterior com (ou vice-versa). ${\ displaystyle [Q_ {B}, {\ mathcal {H}}] = 0}$${\ displaystyle Q_ {B} | \ Psi _ {i} \ rangle = 0}$${\ displaystyle Q_ {B} | \ Psi _ {f} \ rangle \ neq 0}$

Outra maneira de ver a nilpotência do operador BRST é dizer que sua imagem (o espaço das formas exatas de BRST ) está inteiramente dentro de seu núcleo (o espaço das formas fechadas de BRST ). (O "verdadeiro" Lagrangiano, supostamente invariante sob as transformações de calibre local, está no núcleo do operador BRST, mas não em sua imagem.) O argumento anterior diz que podemos limitar nosso universo de condições iniciais e finais a estados "assintóticos. "- configurações de campo no infinito semelhante ao tempo, onde a interação Lagrangiana é" desligada "- que se encontram no núcleo de Q _B e ainda obtêm uma matriz de espalhamento unitária. (Os estados exatos e fechados de BRST são definidos de forma semelhante aos campos exatos e fechados de BRST; os estados fechados são aniquilados por Q _B , enquanto os estados exatos são aqueles que podem ser obtidos aplicando-se Q _B a alguma configuração de campo arbitrária.)

Também podemos suprimir estados que estão dentro da imagem de Q _B ao definir os estados assintóticos de nossa teoria - mas o raciocínio é um pouco mais sutil. Visto que postulamos que o "verdadeiro" Lagrangiano de nossa teoria é invariante de calibre, os verdadeiros "estados" de nosso sistema hamiltoniano são classes de equivalência sob transformação de calibre local; em outras palavras, dois estados iniciais ou finais na imagem hamiltoniana que diferem apenas por um estado exato de BRST são fisicamente equivalentes. No entanto, o uso de uma prescrição de quebra de bitola exata de BRST não garante que o hamiltoniano de interação preservará qualquer subespaço particular de configurações de campo fechado que podemos chamar de "ortogonal" ao espaço de configurações exatas. (Este é um ponto crucial, muitas vezes mal tratado em livros QFT. Não há um produto interno a priori nas configurações de campo embutidas no princípio de ação; construímos esse produto interno como parte de nosso aparato perturbativo hamiltoniano.)

Portanto, nos concentramos no espaço vetorial de configurações fechadas de BRST em um determinado momento com a intenção de convertê-lo em um espaço Fock de estados intermediários adequados para perturbação hamiltoniana. Para este fim, devemos dotá-lo de operadores de escada para as autoconfigurações de energia-momento (partículas) de cada campo, completas com regras de (anti) comutação apropriadas, bem como um produto interno semi-definido positivo . Exigimos que o produto interno seja singular exclusivamente ao longo das direções que correspondem aos autoestados exatos de BRST do hamiltoniano não perturbado. Isso garante que se possa escolher livremente, de dentro das duas classes de equivalência de configurações de campo assintótico correspondentes a autoestados iniciais e finais particulares do hamiltoniano de campo livre (ininterrupto), qualquer par de estados Fock fechados de BRST de que gostamos.

As prescrições de quantização desejadas também fornecerão um espaço de Fock quociente isomórfico à cohomologia BRST , em que cada classe de equivalência fechada BRST de estados intermediários (diferindo apenas por um estado exato) é representada por exatamente um estado que não contém quanta dos campos exatos de BRST . Este é o espaço Fock que desejamos para estados assintóticos da teoria; mesmo que geralmente não tenhamos sucesso em escolher a configuração de campo final particular para a qual a dinâmica Lagrangiana fixada por medidor teria evoluído aquela configuração inicial, a singularidade do produto interno ao longo dos graus de liberdade exatos de BRST garante que obteremos as entradas corretas para a matriz de dispersão física.

(Na verdade, provavelmente deveríamos estar construindo um espaço de Kerin para os estados Fock intermediários fechados de BRST, com o operador de reversão de tempo desempenhando o papel da "simetria fundamental" relacionando os produtos internos invariante de Lorentz e semi-definidos positivos. O estado assintótico espaço é presumivelmente o espaço de Hilbert obtido pelo quociente de estados exatos de BRST fora deste espaço de Kerin.)

Em suma, nenhum campo introduzido como parte de um procedimento de fixação de calibre BRST aparecerá em estados assintóticos da teoria fixada por calibre. No entanto, isso não significa que podemos passar sem esses campos "não físicos" nos estados intermediários de um cálculo perturbativo! Isso ocorre porque cálculos perturbativos são feitos na imagem de interação . Eles implicitamente envolvem estados iniciais e finais do hamiltoniano de não interação , gradualmente transformados em estados do hamiltoniano completo de acordo com o teorema adiabático ao "ligar" o hamiltoniano de interação (o acoplamento de calibre). A expansão da série de Dyson em termos de diagramas de Feynman incluirá vértices que acoplam partículas "físicas" (aquelas que podem aparecer em estados assintóticos do hamiltoniano livre) a partículas "não físicas" (estados de campos que vivem fora do núcleo de s _B ou dentro da imagem de s _B ) e vértices que acoplam partículas "não físicas" umas às outras. ${\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {0}}$

A resposta de Kugo-Ojima às perguntas da unidade

T. Kugo e I. Ojima são comumente creditados com a descoberta do principal critério de confinamento de cores QCD . Seu papel na obtenção de uma versão correta do formalismo BRST na estrutura Lagrangiana parece ser menos amplamente apreciado. É esclarecedor inspecionar sua variante da transformação BRST, que enfatiza as propriedades hermitianas dos campos recém-introduzidos, antes de proceder de um ângulo inteiramente geométrico. A densidade Lagrangiana fixa do medidor está abaixo; os dois termos em parênteses formar o acoplamento entre os sectores de calibre e de fantasmas, e o termo final torna-se um coeficiente de ponderação gaussiana para a medida funcional no campo auxiliar B .

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} = {\ mathcal {L}} _ {\ textrm {assunto}} (\ psi, \, A _ {\ mu} ^ {a}) - {\ tfrac {1} { 4}} F _ {\ mu \ nu} ^ {a} F ^ {a, \, \ mu \ nu} - (i (\ parcial ^ {\ mu} {\ bar {c}} ^ {a}) D_ {\ mu} ^ {ab} c ^ {b} + (\ parcial ^ {\ mu} B ^ {a}) A _ {\ mu} ^ {a}) + {\ tfrac {1} {2}} \ alfa _ {0} B ^ {a} B ^ {a}}$

O campo fantasma de Faddeev-Popov c é único entre os novos campos de nossa teoria fixa por calibre por ter um significado geométrico além dos requisitos formais do procedimento BRST. É uma versão da forma Maurer-Cartan on , que relaciona cada campo vetorial vertical invariante à direita à sua representação (até uma fase) como um campo -valorizado. Este campo deve entrar nas fórmulas para transformações de calibre infinitesimais em objetos (como férmions ψ, bósons de calibre A _μ e o próprio fantasma c ) que carregam uma representação não trivial do grupo de calibre. A transformação BRST em relação a δλ é, portanto: ${\ displaystyle V {\ mathfrak {E}}}$${\ displaystyle \ delta \ lambda \ in V {\ mathfrak {E}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ delta \ psi _ {i} & = \ delta \ lambda D_ {i} c \\\ delta A _ {\ mu} & = \ delta \ lambda D _ {\ mu} c \ \\ delta c & = - \ delta \ lambda {\ tfrac {g} {2}} [c, c] \\\ delta {\ bar {c}} & = i \ delta \ lambda B \\\ delta B & = 0 \ end {alinhado}}}$

Aqui, omitimos os detalhes do setor de matéria ψ e deixamos a forma do operador Ward nele não especificada; estes não são importantes, desde que a representação da álgebra de calibre nos campos de matéria seja consistente com seu acoplamento a δ A _μ . As propriedades dos outros campos que adicionamos são fundamentalmente analíticas, em vez de geométricas. A tendência que introduzimos em relação às conexões é dependente do medidor e não tem significado geométrico particular. O anti-fantasma nada mais é do que um multiplicador de Lagrange para o termo de fixação do medidor, e as propriedades do campo escalar B são inteiramente ditadas pela relação . (Os novos campos são todos Hermitianos nas convenções de Kugo-Ojima, mas o parâmetro δλ é um " número c anti-comutação" anti-Hermitiano . Isso resulta em algum embaraço desnecessário em relação às fases e à passagem de parâmetros infinitesimais pelos operadores; isso irá ser resolvido com uma mudança de convenções no tratamento geométrico abaixo.) ${\ displaystyle \ partial ^ {\ mu} A _ {\ mu} = 0}$${\ displaystyle {\ bar {c}}}$${\ displaystyle \ delta {\ bar {c}} = i \ delta \ lambda B}$

Já sabemos, a partir da relação do operador BRST com a derivada exterior e do fantasma Faddeev-Popov com a forma Maurer-Cartan, que o fantasma c corresponde (até uma fase) a uma forma-1-avaliada em . Para que a integração de um termo seja significativo, o anti-fantasma deve conter representações dessas duas álgebras de Lie - o ideal vertical e a álgebra de calibre - iguais àquelas carregadas pelo fantasma. Em termos geométricos, deve ser fiberwise dupla para e uma posição curta de ser uma forma superior em . Da mesma forma, o campo auxiliar B deve carregar a mesma representação de (até uma fase) que , bem como a representação de dual em sua representação trivial em A _{μ -} isto é, B é uma forma de topo dupla- fibra em . ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle V {\ mathfrak {E}}}$${\ displaystyle -i (\ partial ^ {\ mu} {\ bar {c}}) D _ {\ mu} c}$${\ displaystyle {\ bar {c}}}$${\ displaystyle V {\ mathfrak {E}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ bar {c}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle V {\ mathfrak {E}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ bar {c}}}$${\ displaystyle V {\ mathfrak {E}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle V {\ mathfrak {E}}}$

Vamos nos concentrar brevemente nos estados de uma partícula da teoria, no limite adiabaticamente desacoplado g  → 0. Existem dois tipos de quanta no espaço de Fock do hamiltoniano fixo por calibre que esperamos estar inteiramente fora do núcleo do Operador de BRST: aqueles do anti-fantasma de Faddeev – Popov e do bóson de calibre polarizado direto. Isso ocorre porque nenhuma combinação de campos contendo é aniquilada por s _B e adicionamos ao Lagrangiano um termo de quebra de calibre que é igual a uma divergência de ${\ displaystyle {\ bar {c}}}$${\ displaystyle {\ bar {c}}}$

${\ displaystyle s_ {B} \ left ({\ bar {c}} \ left (i \ partial ^ {\ mu} A _ {\ mu} - {\ tfrac {1} {2}} \ alpha _ {0} s_ {B} {\ bar {c}} \ direita) \ direita).}$

Da mesma forma, existem dois tipos de quanta que estarão inteiramente na imagem do operador BRST: aqueles do fantasma c de Faddeev-Popov e o campo escalar B , que é "comido" completando o quadrado na integral funcional para se tornar o bóson de calibre polarizado para trás. Esses são os quatro tipos de quanta "não físicos" que não aparecerão nos estados assintóticos de um cálculo perturbativo - se acertarmos nossas regras de quantização.

O anti-fantasma é considerado um escalar de Lorentz por causa da invariância de Poincaré em . No entanto, sua lei de (anti) comutação em relação a c - isto é, sua prescrição de quantização, que ignora o teorema da estatística de spin dando estatísticas de Fermi-Dirac a uma partícula de spin 0 - será dada pela exigência de que o produto interno em nosso espaço Fock de estados assintóticos seja singular ao longo das direções correspondentes aos operadores de aumento e redução de alguma combinação de campos não fechados por BRST e campos exatos de BRST. Esta última afirmação é a chave para a "quantização BRST", em oposição à mera "simetria BRST" ou "transformação BRST". ${\ displaystyle -i (\ partial ^ {\ mu} {\ bar {c}}) D _ {\ mu} c}$

(Precisa ser preenchido na linguagem da cohomologia BRST, com referência ao tratamento Kugo-Ojima do espaço Fock assintótico.)

Feixes de medidores e o ideal vertical

A fim de fazer justiça ao método BRST, devemos mudar da imagem de "campos com valor de álgebra no espaço de Minkowski" típica de textos de teoria quântica de campos (e da exposição acima) para a linguagem de feixes de fibras , na qual existem dois bastante maneiras diferentes de olhar para uma transformação de calibre: como uma mudança de seção local (também conhecida na relatividade geral como uma transformação passiva ) ou como o recuo da configuração de campo ao longo de um difeomorfismo vertical do feixe principal . É o último tipo de transformação de medidor que entra no método BRST. Ao contrário de uma transformação passiva, ela é bem definida globalmente em um pacote principal com qualquer grupo de estrutura em uma variedade arbitrária. (No entanto, para concretude e relevância para QFT convencional, este artigo se limitará ao caso de um feixe de calibre principal com fibra compacta sobre o espaço de Minkowski 4-dimensional.)

Um feixe de calibre principal P sobre uma variedade de 4 M é localmente isomórfico a U  ×  F , onde U  ⊂  R ⁴ e a fibra F é isomórfica a um grupo de Lie G , o grupo de calibre da teoria de campo (este é um isomorfismo de variedade estruturas, não de estruturas de grupo; não há superfície especial em P correspondendo a 1 em G , então é mais adequado dizer que a fibra F é um G - torsor ). Assim, o pacote de medida principal (físico) está relacionado ao pacote G principal (matemático), mas tem mais estrutura. Sua propriedade mais básica como um feixe de fibras é a "projeção para o espaço de base" π:  P  →  M , que define as direções "verticais" em P (aquelas situadas dentro da fibra π ⁻¹ ( p ) sobre cada ponto p em M ) Como feixe de calibre , tem uma ação esquerda de G sobre P que respeita a estrutura da fibra, e como feixe principal também tem uma ação direita de G sobre P que também respeita a estrutura da fibra e comuta com a ação esquerda.

A ação esquerda do grupo de estrutura G em P corresponde a uma mera mudança do sistema de coordenadas em uma fibra individual. A ação correta (global) R _g  :  P  →  P para um g fixo em G corresponde a um automorfismo real de cada fibra e, portanto, a um mapa de P para si mesmo. Para que P se qualifique como um G -bundle principal , a ação global correta de cada g em G deve ser um automorfismo em relação à estrutura múltipla de P com uma dependência suave de g — isto é, um difeomorfismo P  ×  G  →  P .

A existência da acção direita mundial dos picos grupo estrutura para uma classe especial de invariantes certos objectos geométricos em P n Aqueles que não mudam quando são puxados para trás ao longo R _g para todos os valores de g em L . Os maioria dos objectos invariantes direita importantes sobre um feixe principais são os invariante certos campos de vectores , os quais formam um ideal da álgebra de Lie de Difeomorfismos infinitesimais sobre P . Esses campos de vectores em P que são ambos invariante direita e vertical de formação um ideal de , que tem uma relação com todo o pacote P análogo ao da álgebra de Lie do grupo de calibre L para o indivíduo L -torsor fibra F . ${\ displaystyle {\ mathfrak {E}}}$${\ displaystyle V {\ mathfrak {E}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {E}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

A "teoria de campo" de interesse é definida em termos de um conjunto de "campos" (suavizar mapas em vários espaços vetoriais) definidos em uma entidade de calibre pacote P . Campos diferentes carregam representações diferentes do grupo de calibre G , e talvez de outros grupos de simetria da variedade, como o grupo de Poincaré . Pode-se definir o espaço Pl de polinômios locais nesses campos e seus derivados. Presume-se que a densidade lagrangiana fundamental de uma teoria esteja no subespaço Pl ₀ de polinômios que são de valor real e invariantes sob quaisquer grupos de simetria não-calibre ininterruptos. Também se presume que seja invariável não apenas sob a ação esquerda (transformações de coordenadas passivas) e a ação global direita do grupo de calibre, mas também sob transformações de calibre locais - retrocesso ao longo do difeomorfismo infinitesimal associado a uma escolha arbitrária de campo vetorial vertical invariante à direita . ${\ displaystyle \ epsilon \ in V {\ mathfrak {E}}}$

Identificar transformações de calibre local com um subespaço particular de campos vetoriais na variedade P nos equipa com uma estrutura melhor para lidar com infinitesimais de dimensão infinita: geometria diferencial e o cálculo exterior . A mudança em um campo escalar sob recuo ao longo de um automorfismo infinitesimal é capturada na derivada de Lie , e a noção de reter apenas o termo linear na escala do campo vetorial é implementada separando-o em derivada interna e derivada externa . (Neste contexto, "formas" e o cálculo exterior referem-se exclusivamente a graus de liberdade que são duais para campos de vetores no pacote de calibre , não a graus de liberdade expressos em índices tensoriais (gregos) na variedade de base ou matriz (romana) índices na álgebra de medidor.)

A derivada de Lie em uma variedade é uma operação globalmente bem definida de uma forma que a derivada parcial não é. A generalização apropriada do teorema de Clairaut para a estrutura múltipla não trivial de P é dada pelo colchete de Lie dos campos vetoriais e a nilpotência da derivada exterior . E obtemos uma ferramenta essencial para a computação: o teorema de Stokes generalizado , que nos permite integrar por partes e eliminar o termo de superfície desde que o integrando caia rapidamente em direções onde há um limite aberto. (Esta não é uma suposição trivial, mas pode ser tratada por técnicas de renormalização , como regularização dimensional , desde que o termo de superfície possa ser tornado invariante de calibre.)

Formalismo BRST

Na física teórica , o formalismo BRST é um método de implementação de restrições de primeira classe . As letras BRST representam Becchi , Rouet, Stora e (independentemente) Tyutin, que descobriu este formalismo. É um método sofisticado para lidar com teorias físicas quânticas com invariância de calibre . Por exemplo, os métodos BRST são frequentemente aplicados à teoria de calibre e à relatividade geral quantizada .

Versão quântica

O espaço de estados não é um espaço de Hilbert (veja abaixo). Este espaço vectorial é tanto Z ₂ -graded e R -graded . Se desejar, você pode pensar nisso como um Z ₂  ×  R - espaço vetorial graduada . A primeira classificação é a paridade, que pode ser par ou ímpar. A última classificação é o número fantasma . Observe que é R e não Z porque, ao contrário do caso clássico, podemos ter números fantasmas não integrais. Operadores que atuam sobre esse espaço também são Z ₂ × R - graduada na maneira óbvia. Em particular, Q é ímpar e tem um número fantasma de 1.

Seja H _n o subespaço de todos os estados com número fantasma n . Então, Q restrito a H _n mapeia H _n a H _{n +1} . Como Q ²  = 0, temos um complexo de cochain que descreve uma cohomologia .

Os estados físicos são identificados como elementos de cohomologia do operador Q , ou seja, como vetores em Ker ( Q _{n +1} ) / Im ( Q _n ). A teoria BRST está de fato ligada à resolução padrão na cohomologia da álgebra de Lie .

Lembre-se de que o espaço de estados é graduado em Z ₂ . Se A for um operador graduado puro, a transformação BRST mapeia A para [ Q ,  A ), onde [,) é o supercomutador . Operadores invariantes de BRST são operadores para os quais [ Q ,  A ) = 0. Como os operadores também são classificados por números fantasmas, essa transformação BRST também forma uma cohomologia para os operadores, uma vez que [ Q , [ Q ,  A )) = 0.

Embora o formalismo BRST seja mais geral do que a fixação de calibre Faddeev-Popov , no caso especial em que é derivado dele, o operador BRST também é útil para obter o Jacobiano correto associado a restrições que fixam calibre a simetria.

O operador BRST é uma supersimetria . Ele gera o superalgebra lie com uma parte ainda de dimensão zero e um unidimensional parte estranha gerado por Q . [ Q ,  Q ) = { Q ,  Q } = 0 onde [,) é o superbraço de Lie (ou seja, Q ²  = 0). Isso significa que Q atua como uma antiderivação .

Como Q é Hermitiano e seu quadrado é zero, mas o próprio Q é diferente de zero, isso significa que o espaço vetorial de todos os estados anteriores à redução cohomológica tem uma norma indefinida ! Isso significa que não é um espaço de Hilbert .

Para fluxos mais gerais que não podem ser descritos por restrições de primeira classe, consulte formalismo Batalin – Vilkovisky .

Exemplo

Para o caso especial de teorias de calibre (do tipo usual descrito por secções de um princípio L-pacote ) com um quantum forma de ligação A, uma carga BRST (por vezes também uma carga BRS) é um operador geralmente denotada Q .

Suponha que as condições de fixação da bitola valorizadas sejam onde ξ é um número positivo determinando a bitola. Existem muitas outras fixações de manômetro possíveis, mas elas não serão abordadas aqui. Os campos são a forma de conexão avaliada A , campo escalar avaliado com estatísticas fermiônicas, bec e um campo escalar avaliado com estatística bosônica B. c lida com as transformações de calibre enquanto b e B tratam das fixações de calibre. Na verdade, existem algumas sutilezas associadas à fixação do medidor devido às ambigüidades de Gribov, mas elas não serão abordadas aqui. ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle G = \ xi \ partial ^ {\ mu} A _ {\ mu}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

${\ displaystyle QA = Dc}$

onde D é a derivada covariante .

${\ displaystyle Qc = {\ tfrac {i} {2}} [c, c] _ {L}}$

onde [,] _L é o colchete de Lie .

${\ displaystyle QB = 0}$

${\ displaystyle Qb = B}$

Q é uma antiderivação .

A densidade Lagrangiana BRST

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} = - {\ frac {1} {4g ^ {2}}} \ operatorname {Tr} [F ^ {\ mu \ nu} F _ {\ mu \ nu}] + { 1 \ over 2g ^ {2}} \ operatorname {Tr} [BB] - {1 \ over g ^ {2}} \ operatorname {Tr} [BG] - {\ xi \ over g ^ {2}} \ operatorname {Tr} [\ parcial ^ {\ mu} bD _ {\ mu} c]}$

Embora a densidade Lagrangiana não seja invariante BRST, sua integral sobre todo o espaço-tempo, a ação, é.

O operador Q é definido como

${\ displaystyle Q = c ^ {i} \ left (L_ {i} - {\ frac {1} {2}} {{f_ {i}} ^ {j}} _ {k} b_ {j} c ^ {k} \ right)}$

onde estão os fantasmas e antighosts de Faddeev – Popov (campos com um número fantasma negativo ), respectivamente, L _i são os geradores infinitesimais do grupo de Lie e são suas constantes de estrutura. ${\ displaystyle c ^ {i}, b_ {i}}$${\ displaystyle f_ {ij} {} ^ {k}}$

Veja também

• Formalismo de Batalin-Vilkovisky
• Cromodinâmica quântica

Referências

Citações

Tratamentos de livros didáticos

• O capítulo 16 de Peskin & Schroeder ( ISBN  0-201-50397-2 ou ISBN  0-201-50934-2 ) aplica a "simetria BRST" para raciocinar sobre o cancelamento da anomalia no Lagrangiano de Faddeev – Popov. Este é um bom começo para não especialistas em QFT, embora as conexões com a geometria sejam omitidas e o tratamento do espaço Fock assintótico seja apenas um esboço.
• O capítulo 12 de M. Göckeler e T. Schücker ( ISBN  0-521-37821-4 ou ISBN  0-521-32960-4 ) discute a relação entre o formalismo BRST e a geometria dos feixes de calibre. É substancialmente semelhante ao artigo de 1987 de Schücker .

Tratamento matemático

• Figueroa-O'Farrill, JM; Kimura, T. (1991). "Quantização BRST Geométrica I. Pré-quantização" . Comum. Matemática. Phys . Springer-Verlag . 136 (2): 209–229. Bibcode : 1991CMaPh.136..209F . doi : 10.1007 / BF02100022 . ISSN  0010-3616 . MR  1096113 . S2CID  120119621 .
• Kostant, B .; Sternberg, S. (1987). "Redução simplética, cohomologia BRS e álgebras de Clifford de dimensão infinita". Ann. Phys . Elsevier . 176 (1): 49–113. Bibcode : 1987AnPhy.176 ... 49K . doi : 10.1016 / 0003-4916 (87) 90178-3 .

Literatura primária

Artigos BRST originais:

• Brandt, Friedemann; Barnich, Glenn; Henneaux, Marc (2000), "Local BRST cohomology in gauge theories", Physics Reports. A Review Section of Physics Letters , 338 (5): 439–569, arXiv : hep-th / 0002245 , Bibcode : 2000PhR ... 338..439B , doi : 10.1016 / S0370-1573 (00) 00049-1 , ISSN  0370-1573 , MR  1792979 , S2CID  119420167
• Becchi, C .; Rouet, A .; Stora, R. (1974). "O modelo abeliano de Higgs Kibble, unidade do operador S". Physics Letters B . Elsevier BV. 52 (3): 344–346. doi : 10.1016 / 0370-2693 (74) 90058-6 . ISSN  0370-2693 .
• Becchi, C .; Rouet, A .; Stora, R. (1975). "Renormalização do modelo abeliano de Higgs-Kibble" . Comunicações em Física Matemática . Springer Science and Business Media LLC. 42 (2): 127–162. doi : 10.1007 / bf01614158 . ISSN  0010-3616 . S2CID  120552882 .
• Becchi, C; Rouet, A; Stora, R (1976). "Renormalização das teorias de calibre" . Annals of Physics . Elsevier BV. 98 (2): 287–321. doi : 10.1016 / 0003-4916 (76) 90156-1 . ISSN  0003-4916 .
• IV Tyutin, "Gauge Invariance in Field Theory and Statistical Physics in Operator Formalism" , Lebedev Physics Institute preprint 39 (1975), arXiv: 0812.0580.
• Kugo, Taichiro; Ojima, Izumi (1979). "Formalismo local de operador covariante de teorias de calibre não abelianas e problema de confinamento de Quark" . Suplemento Progresso do Suplemento de Física Teórica . Oxford University Press (OUP). 66 : 1–130. doi : 10.1143 / ptps.66.1 . ISSN  0375-9687 .
• Uma versão mais acessível de Kugo – Ojima está disponível online em uma série de artigos, começando com: Kugo, T .; Ojima, I. (01/12/1978). "Formulação Canônica Manifestamente Covariante das Teorias de Campo de Yang-Mills. I: - Formalismo Geral -" . Progresso da Física Teórica . Oxford University Press (OUP). 60 (6): 1869–1889. doi : 10.1143 / ptp.60.1869 . ISSN  0033-068X . Esta é provavelmente a melhor referência para a quantização BRST na linguagem da mecânica quântica (em oposição à geométrica).
• Muitos insights sobre a relação entre invariantes topológicos e o operador BRST podem ser encontrados em: E. Witten, "Topological quantum field theory" , Commun. Matemática. Phys. 117, 3 (1988), pp. 353-386

Perspectivas alternativas

• Os sistemas BRST são brevemente analisados ​​a partir de uma perspectiva da teoria do operador em: SS Horuzhy and AV Voronin, "Remarks on Mathematical Structure of BRST Theories" , Comm. Matemática. Phys. 123, 4 (1989) pp. 677-685
• Uma perspectiva teórica da medida sobre o método BRST pode ser encontrada nas notas de aula de 1996 de Carlo Becchi .

links externos

• Brst cohomology em arxiv.org