Teoria de campo quântico topológico - Topological quantum field theory

Na teoria de calibre e na física matemática , uma teoria quântica de campo topológica (ou teoria de campo topológica ou TQFT ) é uma teoria quântica de campo que calcula invariantes topológicos .

Embora os TQFTs tenham sido inventados por físicos, eles também são de interesse matemático, estando relacionados, entre outras coisas, à teoria dos nós e à teoria das quatro variedades na topologia algébrica , e à teoria dos espaços de módulos na geometria algébrica . Donaldson , Jones , Witten e Kontsevich ganharam medalhas de campo por trabalhos matemáticos relacionados à teoria de campos topológicos.

Na física da matéria condensada , as teorias de campo quântico topológico são as teorias efetivas de baixa energia de estados topologicamente ordenados , como estados Hall quânticos fracionários , estados condensados ​​de rede de cordas e outros estados líquidos quânticos fortemente correlacionados .

Em dinâmica , todo o tempo contínuos sistemas dinâmicos , com e sem ruído, são TQFTs Witten-tipo e o fenómeno da decomposição espontânea do correspondente topológica supersymmetry engloba tais conceitos bem estabelecidos como caos , turbulência , 1 / f e crepitação ruídos, auto- criticidade organizada etc.

Visão geral

Em uma teoria de campo topológica, as funções de correlação não dependem da métrica do espaço-tempo . Isso significa que a teoria não é sensível a mudanças na forma do espaço-tempo; se o espaço-tempo se empenar ou se contrair, as funções de correlação não mudam. Conseqüentemente, eles são invariantes topológicos.

As teorias de campo topológicas não são muito interessantes no espaço-tempo plano de Minkowski usado na física de partículas. O espaço de Minkowski pode ser contraído até um ponto , então um TQFT aplicado ao espaço de Minkowski resulta em invariantes topológicos triviais. Consequentemente, os TQFTs são normalmente aplicados a espaços-tempos curvos, como, por exemplo, superfícies de Riemann . A maioria das teorias de campo topológicas conhecidas são definidas em espaços-tempos de dimensão inferior a cinco. Parece que existem algumas teorias de dimensões superiores, mas elas não são muito bem compreendidas.

Acredita-se que a gravidade quântica seja independente de fundo (em algum sentido adequado), e os TQFTs fornecem exemplos de teorias de campo quântico independentes de fundo. Isso levou a investigações teóricas em andamento sobre essa classe de modelos.

(Advertência: costuma-se dizer que os TQFTs têm apenas muitos graus de liberdade finitos. Esta não é uma propriedade fundamental. Acontece que é verdade na maioria dos exemplos que os físicos e matemáticos estudam, mas não é necessário. Um modelo sigma topológico visa o espaço projetivo de dimensão infinita e, se tal coisa pudesse ser definida, teria inúmeros graus de liberdade contáveis .)

Modelos específicos

As teorias de campo topológicas conhecidas caem em duas classes gerais: TQFTs do tipo Schwarz e TQFTs do tipo Witten. Os TQFTs de Witten também são às vezes chamados de teorias de campo cohomológicas. Veja ( Schwarz 2000 ).

TQFTs tipo Schwarz

Em TQFTs do tipo Schwarz , as funções de correlação ou funções de partição do sistema são calculadas pela integral de caminho dos funcionais de ação independentes da métrica. Por exemplo, no modelo BF , o espaço-tempo é uma variedade bidimensional M, os observáveis ​​são construídos a partir de uma F de duas formas, um escalar auxiliar B e seus derivados. A ação (que determina a integral do caminho) é

${\ displaystyle S = \ int _ {M} BF}$

A métrica do espaço-tempo não aparece em nenhum lugar da teoria, então a teoria é explicitamente invariante topologicamente. O primeiro exemplo apareceu em 1977 e é devido a A. Schwarz ; sua ação funcional é:

${\ displaystyle \ int _ {M} A \ wedge dA.}$

Outro exemplo mais famoso é a teoria de Chern-Simons , que pode ser aplicada a invariantes de nó . Em geral, as funções de partição dependem de uma métrica, mas os exemplos acima são independentes da métrica.

TQFTs do tipo Witten

O primeiro exemplo de TQFTs do tipo Witten apareceu no artigo de Witten em 1988 ( Witten 1988a ), isto é, a teoria topológica de Yang-Mills em quatro dimensões. Embora seu funcional de ação contenha a métrica do espaço-tempo g _αβ , após uma torção topológica, ela se torna independente da métrica. A independência do tensor tensão-energia T ^αβ do sistema da métrica depende se o operador BRST é fechado. Seguindo o exemplo de Witten, muitos outros exemplos podem ser encontrados na teoria das cordas .

TQFTs do tipo Witten surgem se as seguintes condições forem satisfeitas:

1. A ação do TQFT tem uma simetria, ou seja, se denota uma transformação de simetria (por exemplo, uma derivada de Lie ), então se mantém.${\ displaystyle S}$${\ displaystyle \ delta}$${\ displaystyle \ delta S = 0}$
2. A transformação de simetria é exata , ou seja,${\ displaystyle \ delta ^ {2} = 0}$
3. Existem observáveis existentes que satisfazem a todos .${\ displaystyle O_ {1}, \ dots, O_ {n}}$${\ displaystyle \ delta O_ {i} = 0}$${\ displaystyle i \ in \ {1, \ dots, n \}}$
4. O tensor de energia de tensão (ou quantidades físicas semelhantes) tem a forma de um tensor arbitrário .${\ displaystyle T ^ {\ alpha \ beta} = \ delta G ^ {\ alpha \ beta}}$${\ displaystyle G ^ {\ alpha \ beta}}$

Como um exemplo ( Linker 2015 ): Dado um campo de 2 formas com o operador diferencial que satisfaz , então a ação tem uma simetria se desde ${\ displaystyle B}$${\ displaystyle \ delta}$${\ displaystyle \ delta ^ {2} = 0}$${\ displaystyle S = \ int _ {M} B \ wedge \ delta B}$${\ displaystyle \ delta B \ wedge \ delta B = 0}$

${\ displaystyle \ delta S = \ int _ {M} \ delta (B \ cunha \ delta B) = \ int _ {M} \ delta B \ cunha \ delta B + \ int _ {M} B \ cunha \ delta ^ {2} B = 0}$.

Além disso, o seguinte é válido (sob a condição de que seja independente e atue de forma semelhante a um derivado funcional ): ${\ displaystyle \ delta}$${\ displaystyle B}$

${\ displaystyle {\ frac {\ delta} {\ delta B ^ {\ alpha \ beta}}} S = \ int _ {M} {\ frac {\ delta} {\ delta B ^ {\ alpha \ beta}} } B \ wedge \ delta B + \ int _ {M} B \ wedge \ delta {\ frac {\ delta} {\ delta B ^ {\ alpha \ beta}}} B = \ int _ {M} {\ frac { \ delta} {\ delta B ^ {\ alpha \ beta}}} B \ wedge \ delta B- \ int _ {M} \ delta B \ wedge {\ frac {\ delta} {\ delta B ^ {\ alpha \ beta}}} B = -2 \ int _ {M} \ delta B \ wedge {\ frac {\ delta} {\ delta B ^ {\ alpha \ beta}}} B}$.

A expressão é proporcional a outra forma 2 . ${\ displaystyle {\ frac {\ delta} {\ delta B ^ {\ alpha \ beta}}} S}$${\ displaystyle \ delta G}$${\ displaystyle G}$

Agora, quaisquer médias de observáveis para a medida Haar correspondente são independentes no campo "geométrico" e são, portanto, topológicas: ${\ displaystyle \ left \ langle O_ {i} \ right \ rangle: = \ int d \ mu O_ {i} e ^ {iS}}$ ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle B}$

${\ displaystyle {\ frac {\ delta} {\ delta B}} \ left \ langle O_ {i} \ right \ rangle = \ int d \ mu O_ {i} i {\ frac {\ delta} {\ delta B }} Se ^ {iS} \ propto \ int d \ mu O_ {i} \ delta Ge ^ {iS} = \ delta \ left (\ int d \ mu O_ {i} Ge ^ {iS} \ right) = 0 }$.

A terceira igualdade usa o fato de que e a invariância da medida de Haar sob transformações de simetria. Como é apenas um número, sua derivada de Lie desaparece. ${\ displaystyle \ delta O_ {i} = \ delta S = 0}$${\ displaystyle \ int d \ mu O_ {i} Ge ^ {iS}}$

Formulações matemáticas

Os axiomas Atiyah-Segal originais

Atiyah sugeriu um conjunto de axiomas para a teoria quântica de campo topológica, inspirado pelos axiomas propostos por Segal para a teoria de campo conformada (subsequentemente, a ideia de Segal foi resumida em Segal (2001) ), e o significado geométrico de supersimetria de Witten em Witten (1982) . Os axiomas de Atiyah são construídos colando a fronteira com uma transformação diferenciável (topológica ou contínua), enquanto os axiomas de Segal são para transformações conformes. Esses axiomas têm sido relativamente úteis para tratamentos matemáticos de QFTs do tipo Schwarz, embora não esteja claro se eles capturam toda a estrutura dos QFTs do tipo Witten. A ideia básica é que um TQFT é um functor de uma certa categoria de cobordismos para a categoria de espaços vetoriais .

Na verdade, existem dois conjuntos diferentes de axiomas que poderiam ser razoavelmente chamados de axiomas de Atiyah. Esses axiomas diferem basicamente em se eles se aplicam ou não a um TQFT definido em um único espaço-tempo Riemanniano / Lorentziano n- dimensional fixo M ou um TQFT definido em todos os espaços-tempos n- dimensionais de uma vez.

Seja Λ um anel comutativo com 1 (para quase todos os propósitos do mundo real teremos Λ = Z , R ou C ). Atiyah propôs originalmente os axiomas de uma teoria quântica de campo topológica (TQFT) na dimensão d definida sobre um anel terrestre Λ como segue:

• Um Λ-módulo Z (Σ) finitamente gerado associado a cada variedade d-dimensional lisa fechada orientada Σ (correspondendo ao axioma de homotopia ),
• Um elemento Z ( M ) ∈ Z (∂ M ) associado a cada variedade orientada ( d + 1) -dimensional lisa (com contorno) M (correspondendo a um axioma aditivo ).

Esses dados estão sujeitos aos seguintes axiomas (4 e 5 foram adicionados por Atiyah):

1. Z é functorial com respeito à orientação preservando Difeomorfismos de Σ e M ,
2. Z é involutório , ou seja, Z (Σ *) = Z (Σ) * onde Σ * é Σ com orientação oposta e Z (Σ) * denota o módulo dual,
3. Z é multiplicativo .
4. Z ( ) = Λ para a variedade vazia d-dimensional e Z ( ) = 1 para a variedade vazia ( d + 1) -dimensional.${\ displaystyle \ emptyset}$${\ displaystyle \ emptyset}$
5. Z ( M * ) = Z ( M ) (o axioma hermitiano ). Se assim que Z ( M ) pode ser visto como uma transformação linear entre espaços vector hermitianos, então isso é equivalente a Z ( M * ), sendo a adjunta de Z ( M ).${\ displaystyle \ partial M = \ Sigma _ {0} ^ {*} \ cup \ Sigma _ {1}}$

Observação. Se para uma variedade fechada M vemos Z ( M ) como um invariante numérico, então para uma variedade com uma fronteira devemos pensar em Z ( M ) ∈ Z (∂ M ) como um invariante "relativo". Seja f  : Σ → Σ um difeomorfismo que preserva a orientação e identifique as extremidades opostas de Σ × I por f . Isso nos dá uma variedade Σ _f e nossos axiomas implicam

${\ displaystyle Z (\ Sigma _ {f}) = \ operatorname {Trace} \ \ Sigma (f)}$

onde Σ ( f ) é o automorfismo induzido de Z (Σ).

Observação. Para uma variedade M com limite Σ, podemos sempre formar o duplo que é uma variedade fechada. O quinto axioma mostra que ${\ displaystyle M \ cup _ {\ Sigma} M ^ {*}}$

${\ displaystyle Z \ left (M \ cup _ {\ Sigma} M ^ {*} \ right) = | Z (M) | ^ {2}}$

onde à direita calculamos a norma na métrica hermitiana (possivelmente indefinida).

A relação com a física

Fisicamente (2) + (4) estão relacionados à invariância relativística, enquanto (3) + (5) são indicativos da natureza quântica da teoria.

Σ destina-se a indicar o espaço físico (geralmente, d = 3 para a física padrão) e a dimensão extra em Σ × I é o tempo "imaginário". O espaço Z ( M ) é o espaço de Hilbert da teoria quântica e uma teoria física, com um hamiltoniano H , terá um operador de evolução no tempo e ^itH ou um operador de "tempo imaginário" e ^−tH . A principal característica do topológicos QFTs é que H = 0, o que implica que não há dinâmica real ou propagação, ao longo do cilindro Σ × eu . No entanto, pode haver "propagação" não trivial (ou amplitudes de tunelamento) de Σ ₀ a Σ ₁ através de uma variedade interveniente M com ; isso reflete a topologia da M . ${\ displaystyle \ partial M = \ Sigma _ {0} ^ {*} \ cup \ Sigma _ {1}}$

Se ∂ M = Σ, em seguida, o vector de distinto Z ( M ) no espaço de Hilbert Z (Σ) é considerada como o estado de vácuo definida por H . Para um coletor fechado M, o número Z ( M ) é o valor esperado do vácuo . Em analogia com a mecânica estatística , também é chamada de função de partição .

A razão pela qual uma teoria com um hamiltoniano zero pode ser formulada de maneira sensata reside na abordagem integral do caminho de Feynman para QFT. Isso incorpora invariância relativística (que se aplica a "espaços-tempos" gerais ( d + 1) -dimensionais) e a teoria é formalmente definida por um Lagrangiano adequado - um funcional dos campos clássicos da teoria. Um Lagrangeanos que envolve apenas os primeiros derivados em tempo formalmente leva a um Hamiltoniano zero, mas o próprio Lagrangeanos podem ter características não-trivial que se relacionam com a topologia de M .

Exemplos de Atiyah

Em 1988, M. Atiyah publicou um artigo no qual descreveu muitos novos exemplos de teoria quântica de campo topológica que foram considerados naquela época ( Atiyah 1988 ) . Ele contém alguns novos invariantes topológicos junto com algumas novas idéias: Invariante de Casson , invariante de Donaldson , teoria de Gromov , homologia de Floer e teoria de Jones-Witten . erro harv: sem alvo: CITEREFAtiyah1988 ( ajuda )

d = 0

Nesse caso, Σ consiste em um número finito de pontos. Para um único ponto nós associamos um espaço vectorial V = Z (ponto) e a n -points o n produto tensor vezes de: V ^{⊗ n} = V  ⊗ ... ⊗  V . O grupo simétrico S _n atua sobre V ^{⊗ n} . Uma maneira padrão de obter o espaço de Hilbert quântico é começar com uma variedade simplética clássica (ou espaço de fase ) e então quantificá-la. Vamos estender S _n a um grupo de Lie compacto L e considerar órbitas "integráveis" para o qual a estrutura simpléctica vem a partir de um feixe de linha , em seguida, leva a quantização do representações irredutíveis V de L . Esta é a interpretação física do teorema Borel-Weil ou do teorema Borel-Weil-Bott . O Lagrangiano dessas teorias é a ação clássica ( holonomia do feixe de linhas). Assim, QFTs topológicos com d = 0 se relacionam naturalmente com a teoria de representação clássica de grupos de Lie e o grupo de simetria .

d = 1

Devemos considerar condições de contorno periódicas dadas por laçadas fechadas num compacto variedade simpléctica X . Junto com a holonomia de Witten (1982) , os loops usados ​​no caso de d = 0 como um Lagrangiano são então usados ​​para modificar o Hamiltoniano. Para uma superfície fechada M, o invariante Z ( M ) da teoria é o número de mapas pseudo-holomórficos f  : M → X no sentido de Gromov (eles são mapas holomórficos comuns se X for uma variedade de Kähler ). Se esse número se torna isto é infinito se não houver "módulos", então temos de corrigir mais dados sobre M . Isso pode ser feito escolhendo alguns pontos P _i e, em seguida, olhando para mapas holomórficos f  : M → X com f ( P _i ) restrito a repousar em um hiperplano fixo. Witten (1988b) escreveu o Lagrangiano relevante para essa teoria. Floer deu um tratamento rigoroso, ou seja , homologia de Floer , com base nas idéias da teoria de Morse de Witten ; para o caso em que as condições de contorno estão acima do intervalo em vez de serem periódicas, os pontos inicial e final do caminho estão em duas subvariedades Lagrangianas fixas . Esta teoria foi desenvolvida como teoria invariante de Gromov-Witten .

Outro exemplo é a Teoria de Campos Conformados Holomórficos . Isso pode não ter sido considerado teoria quântica estritamente topológica de campo na época, porque os espaços de Hilbert têm dimensões infinitas. As teorias de campo conformes também estão relacionadas ao grupo de Lie compacto G, no qual a fase clássica consiste em uma extensão central do grupo de loops (LG) . Quantizá-los produz os espaços de Hilbert da teoria das representações irredutíveis (projetivas) de LG . O grupo Diff ₊ ( S ¹ ) agora substitui o grupo simétrico e desempenha um papel importante. Como resultado, a função de partição em tais teorias depende de uma estrutura complexa , portanto, não é puramente topológica.

d = 2

A teoria de Jones-Witten é a teoria mais importante neste caso. Aqui, o espaço de fase clássico, associado a uma superfície fechada Σ, é o espaço de módulos de um pacote G plano sobre Σ. O Lagrangiano é um múltiplo inteiro da função de Chern-Simons de uma conexão G em uma variedade de 3 (que deve ser "enquadrada"). O múltiplo inteiro k , chamado de nível, é um parâmetro da teoria ek → ∞ fornece o limite clássico. Esta teoria pode ser naturalmente associada à teoria d = 0 para produzir uma teoria "relativa". Os detalhes foram descritos por Witten, que mostra que a função de partição para um link (com moldura) na esfera 3 é apenas o valor do polinômio de Jones para uma raiz de unidade adequada. A teoria pode ser definida sobre o campo ciclotômico relevante , ver Atiyah (1988) . Ao considerar uma superfície de Riemann com limite, podemos acoplá- la à teoria conforme d = 1 em vez de acoplar a teoria d = 2 a d = 0. Isso se desenvolveu na teoria de Jones-Witten e levou à descoberta de conexões profundas entre nós teoria e teoria quântica de campos. erro harvtxt: sem alvo: CITEREFAtiyah1988 ( ajuda )

d = 3

Donaldson definiu o invariante inteiro de 4 variedades suaves usando espaços de módulos de instantes SU (2). Esses invariantes são polinômios na segunda homologia. Assim, as variedades de 4 devem ter dados extras consistindo na álgebra simétrica de H ₂ . Witten (1988a) produziu um Lagrangiano super-simétrico que reproduz formalmente a teoria de Donaldson. A fórmula de Witten pode ser entendida como um análogo de dimensão infinita do teorema de Gauss-Bonnet . Em uma data posterior, esta teoria foi desenvolvida e tornou - se a teoria de calibre Seiberg-Witten que reduz SU (2) a U (1) em N = 2, d = 4 teoria de calibre. A versão hamiltoniana da teoria foi desenvolvida por Floer em termos do espaço de conexões em uma variedade de 3. Floer usa a função de Chern-Simons , que é a teoria Lagrangiana de Jones-Witten para modificar a Hamiltoniana. Para obter detalhes, consulte Atiyah (1988) . Witten (1988a) também mostrou como se pode acoplar as teorias d = 3 ed = 1: isso é bastante análogo ao acoplamento entre d = 2 e d = 0 na teoria de Jones-Witten. erro harvtxt: sem alvo: CITEREFAtiyah1988 ( ajuda )

Agora, a teoria de campo topológica é vista como um functor , não em uma dimensão fixa, mas em todas as dimensões ao mesmo tempo.

O caso de um espaço-tempo fixo

Seja Bord _M a categoria cujos morfismos são subvariedades n- dimensionais de M e cujos objetos são componentes conectados dos limites de tais subvariedades. Considere dois morfismos como equivalentes se eles forem homotópicos via subvariedades de M , e assim formar a categoria quociente hBord _M : Os objetos em hBord _M são os objetos de Bord _M e os morfismos de hBord _M são classes de homotopia de equivalência de morfismos em Bord _M . Um TQFT em M é um functor monoidal simétrico de hBord _M para a categoria de espaços vetoriais.

Observe que os cobordismos podem, se seus limites corresponderem, ser costurados para formar um novo bordismo. Esta é a lei de composição para morfismos na categoria de cobordismo. Visto que os functores são necessários para preservar a composição, isso diz que o mapa linear correspondente a um morfismo costurado é apenas a composição do mapa linear para cada peça.

Há uma equivalência de categorias entre a categoria das teorias quânticas topológicas bidimensionais de campos e a categoria das álgebras de Frobenius comutativas .

Todos os espaços-tempos n- dimensionais de uma vez

O par de calças é um bordismo (1 + 1) -dimensional, que corresponde a um produto ou coproduto em um TQFT bidimensional.

Para considerar todos os espaços-tempos de uma vez, é necessário substituir o hBord _M por uma categoria maior. Portanto, deixe Bord _n ser a categoria dos bordismos, ou seja, a categoria cujos morfismos são variedades n- dimensionais com limite e cujos objetos são os componentes conectados das fronteiras das variedades n-dimensionais. (Observe que qualquer variedade ( n -1) -dimensional pode aparecer como um objeto em Bord _n .) Como acima, considere dois morfismos em Bord _n como equivalentes se eles forem homotópicos e formar a categoria de quociente hBord _n . Bord _n é uma categoria monoidal sob a operação que mapeia dois bordismos ao bordismo feito a partir de sua união disjunta. Um TQFT em variedades n- dimensionais é então um functor de hBord _n para a categoria de espaços vetoriais, que mapeia uniões disjuntas de bordismos para seu produto tensorial.

Por exemplo, para bordismos (1 + 1) -dimensional (bordismos bidimensionais entre variedades unidimensionais), o mapa associado a um par de calças dá um produto ou coproduto, dependendo de como os componentes de limite são agrupados - que é comutativo ou cocomutativo, enquanto o mapa associado a um disco fornece uma contagem (traço) ou unidade (escalares), dependendo do agrupamento de componentes de contorno e, portanto, TQFTs de dimensão (1 + 1) correspondem a álgebras de Frobenius .

Além disso, podemos considerar variedades simultaneamente quadridimensionais, tridimensionais e bidimensionais relacionadas pelos bordismos acima, e a partir delas podemos obter exemplos amplos e importantes.

Desenvolvimento em um momento posterior

Olhando para o desenvolvimento da teoria quântica de campos topológica, devemos considerar suas muitas aplicações a teoria de calibre Seiberg-Witten , a teoria das cordas topológico , a relação entre a teoria dos nós e teoria quântica de campos, e invariantes nó quântica . Além disso, gerou tópicos de grande interesse em matemática e física. Também de interesse recente importante são os operadores não locais em TQFT ( Gukov & Kapustin (2013) ). Se a teoria das cordas for vista como fundamental, então os TQFTs não locais podem ser vistos como modelos não físicos que fornecem uma aproximação computacionalmente eficiente para a teoria local das cordas.

TQFTs do tipo Witten e sistemas dinâmicos

Equações diferenciais estocásticas (parciais) (SDEs) são a base para modelos de tudo na natureza acima da escala de degenerescência e coerência quântica e são essencialmente TQFTs do tipo Witten. Todos os SDEs possuem supersimetria topológica ou BRST , e na representação do operador da dinâmica estocástica está a derivada exterior , que é comutativa com o operador de evolução estocástica. Este supersymmetry preserva a continuidade do espaço de fase por fluxos contínuos, e o fenómeno de ruptura espontânea supersimétrico por um estado de terra não-supersimétrico mundial engloba tais estabelecidos poços conceitos físicas como caos , turbulência , 1 / f e crepitação ruídos, criticalidade auto-organizada etc. O setor topológico da teoria para qualquer SDE pode ser reconhecido como um TQFT do tipo Witten. ${\ displaystyle \ delta}$

Veja também

Referências

• Atiyah, Michael (1988a). "Novos invariantes de variedades tridimensionais e quadridimensionais" . A herança matemática de Hermann Weyl . Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. 48 . American Mathematical Society. pp.  285–299 . doi : 10.1090 / pspum / 048/974342 . ISBN 9780821814826.
• Atiyah, Michael (1988b). "Teorias de campo quântico topológico" (PDF) . Publicações Mathématiques de l'IHÉS . 68 (68): 175–186. doi : 10.1007 / BF02698547 . MR  1001453 . S2CID  121647908 .
• Gukov, Sergei; Kapustin, Anton (2013). "Topological Quantum Field Theory, Nonlocal Operators, and Gapped Phases of Gauge Theories". arXiv : 1307,4793 [ hep-th ].
• Linker, Patrick (2015). "Teoria de Dipolo Campo Topológico" . O Winnower . 2 : e144311.19292. doi : 10.15200 / winn.144311.19292 .
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• Schwarz, Albert (2000). "Teorias de campo quântico topológico". arXiv : hep-th / 0011260 .
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