Uso de números complexos para avaliar integrais
No cálculo integral , a fórmula de Euler para números complexos pode ser usada para avaliar integrais envolvendo funções trigonométricas . Usando a fórmula de Euler, qualquer função trigonométrica podem ser escritas em termos de funções exponenciais complexas, a saber, e e, em seguida, integradas. Esta técnica é frequentemente mais simples e rápida do que usar identidades trigonométricas ou integração por partes e é suficientemente poderosa para integrar qualquer expressão racional envolvendo funções trigonométricas.
e
eu
x
{\ displaystyle e ^ {ix}}
e
-
eu
x
{\ displaystyle e ^ {- ix}}
Fórmula de Euler
A fórmula de Euler afirma que
e
eu
x
=
porque
x
+
eu
pecado
x
.
{\ displaystyle e ^ {ix} = \ cos x + i \, \ sin x.}
Substituir por dá a equação
-
x
{\ displaystyle -x}
x
{\ displaystyle x}
e
-
eu
x
=
porque
x
-
eu
pecado
x
{\ displaystyle e ^ {- ix} = \ cos xi \, \ sin x}
porque o cosseno é uma função par e o seno é ímpar. Essas duas equações podem ser resolvidas para o seno e cosseno para dar
porque
x
=
e
eu
x
+
e
-
eu
x
2
e
pecado
x
=
e
eu
x
-
e
-
eu
x
2
eu
.
{\ displaystyle \ cos x = {\ frac {e ^ {ix} + e ^ {- ix}} {2}} \ quad {\ text {and}} \ quad \ sin x = {\ frac {e ^ { ix} -e ^ {- ix}} {2i}}.}
Exemplos Primeiro exemplo Considere a integral
∫
porque
2
x
d
x
.
{\ displaystyle \ int \ cos ^ {2} x \, dx.}
A abordagem padrão para esta integral é usar uma fórmula de meio-ângulo para simplificar o integrando. Podemos usar a identidade de Euler em seu lugar:
∫
porque
2
x
d
x
=
∫
(
e
eu
x
+
e
-
eu
x
2
)
2
d
x
=
1
4
∫
(
e
2
eu
x
+
2
+
e
-
2
eu
x
)
d
x
{\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ int \ cos ^ {2} x \, dx \, & = \, \ int \ left ({\ frac {e ^ {ix} + e ^ {- ix}} { 2}} \ right) ^ {2} dx \\ [6pt] & = \, {\ frac {1} {4}} \ int \ left (e ^ {2ix} + 2 + e ^ {- 2ix} \ direita) dx \ end {alinhado}}}
Nesse ponto, seria possível voltar aos números reais usando a fórmula e 2 ix + e −2 ix = 2 cos 2 x
1
4
∫
(
e
2
eu
x
+
2
+
e
-
2
eu
x
)
d
x
=
1
4
(
e
2
eu
x
2
eu
+
2
x
-
e
-
2
eu
x
2
eu
)
+
C
=
1
4
(
2
x
+
pecado
2
x
)
+
C
.
{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {1} {4}} \ int \ left (e ^ {2ix} + 2 + e ^ {- 2ix} \ right) dx & = {\ frac {1} { 4}} \ left ({\ frac {e ^ {2ix}} {2i}} + 2x - {\ frac {e ^ {- 2ix}} {2i}} \ right) + C \\ [6pt] & = {\ frac {1} {4}} \ left (2x + \ sin 2x \ right) + C. \ end {alinhado}}}
Segundo exemplo Considere a integral
∫
pecado
2
x
porque
4
x
d
x
.
{\ displaystyle \ int \ sin ^ {2} x \ cos 4x \, dx.}
Essa integral seria extremamente tediosa de resolver usando identidades trigonométricas, mas usar a identidade de Euler torna-a relativamente indolor:
∫
pecado
2
x
porque
4
x
d
x
=
∫
(
e
eu
x
-
e
-
eu
x
2
eu
)
2
(
e
4
eu
x
+
e
-
4
eu
x
2
)
d
x
=
-
1
8
∫
(
e
2
eu
x
-
2
+
e
-
2
eu
x
)
(
e
4
eu
x
+
e
-
4
eu
x
)
d
x
=
-
1
8
∫
(
e
6
eu
x
-
2
e
4
eu
x
+
e
2
eu
x
+
e
-
2
eu
x
-
2
e
-
4
eu
x
+
e
-
6
eu
x
)
d
x
.
{\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ int \ sin ^ {2} x \ cos 4x \, dx & = \ int \ left ({\ frac {e ^ {ix} -e ^ {- ix}} {2i} } \ right) ^ {2} \ left ({\ frac {e ^ {4ix} + e ^ {- 4ix}} {2}} \ right) dx \\ [6pt] & = - {\ frac {1} {8}} \ int \ left (e ^ {2ix} -2 + e ^ {- 2ix} \ right) \ left (e ^ {4ix} + e ^ {- 4ix} \ right) dx \\ [6pt] & = - {\ frac {1} {8}} \ int \ left (e ^ {6ix} -2e ^ {4ix} + e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} -2e ^ {- 4ix} + e ^ {- 6ix} \ right) dx. \ end {alinhado}}}
Neste ponto, podemos integrar diretamente ou podemos primeiro alterar o integrando para 2 cos 6 x - 4 cos 4 x + 2 cos 2 x e continuar a partir daí. Qualquer um dos métodos dá
∫
pecado
2
x
porque
4
x
d
x
=
-
1
24
pecado
6
x
+
1
8
pecado
4
x
-
1
8
pecado
2
x
+
C
.
{\ displaystyle \ int \ sin ^ {2} x \ cos 4x \, dx = - {\ frac {1} {24}} \ sin 6x + {\ frac {1} {8}} \ sin 4x - {\ frac {1} {8}} \ sin 2x + C.}
Usando peças reais Além da identidade de Euler, pode ser útil fazer um uso criterioso das partes reais de expressões complexas. Por exemplo, considere o integral
∫
e
x
porque
x
d
x
.
{\ displaystyle \ int e ^ {x} \ cos x \, dx.}
Uma vez que cos x é a parte real de e ix
∫
e
x
porque
x
d
x
=
Ré
∫
e
x
e
eu
x
d
x
.
{\ displaystyle \ int e ^ {x} \ cos x \, dx = \ operatorname {Re} \ int e ^ {x} e ^ {ix} \, dx.}
A integral à direita é fácil de avaliar:
∫
e
x
e
eu
x
d
x
=
∫
e
(
1
+
eu
)
x
d
x
=
e
(
1
+
eu
)
x
1
+
eu
+
C
.
{\ displaystyle \ int e ^ {x} e ^ {ix} \, dx = \ int e ^ {(1 + i) x} \, dx = {\ frac {e ^ {(1 + i) x}} {1 + i}} + C.}
Desse modo:
∫
e
x
porque
x
d
x
=
Ré
(
e
(
1
+
eu
)
x
1
+
eu
)
+
C
=
e
x
Ré
(
e
eu
x
1
+
eu
)
+
C
=
e
x
Ré
(
e
eu
x
(
1
-
eu
)
2
)
+
C
=
e
x
porque
x
+
pecado
x
2
+
C
.
{\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ int e ^ {x} \ cos x \, dx & = \ operatorname {Re} \ left ({\ frac {e ^ {(1 + i) x}} {1 + i }} \ right) + C \\ [6pt] & = e ^ {x} \ operatorname {Re} \ left ({\ frac {e ^ {ix}} {1 + i}} \ right) + C \\ [6pt] & = e ^ {x} \ operatorname {Re} \ left ({\ frac {e ^ {ix} (1-i)} {2}} \ right) + C \\ [6pt] & = e ^ {x} {\ frac {\ cos x + \ sin x} {2}} + C. \ end {alinhado}}}
Frações Em geral, esta técnica pode ser usada para avaliar quaisquer frações envolvendo funções trigonométricas. Por exemplo, considere o integral
∫
1
+
porque
2
x
porque
x
+
porque
3
x
d
x
.
{\ displaystyle \ int {\ frac {1+ \ cos ^ {2} x} {\ cos x + \ cos 3x}} \, dx.}
Usando a identidade de Euler, essa integral se torna
1
2
∫
6
+
e
2
eu
x
+
e
-
2
eu
x
e
eu
x
+
e
-
eu
x
+
e
3
eu
x
+
e
-
3
eu
x
d
x
.
{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ int {\ frac {6 + e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix}} {e ^ {ix} + e ^ {- ix} + e ^ {3ix} + e ^ {- 3ix}}} \, dx.}
Se agora fizermos a substituição , o resultado será a integral de uma função racional :
você
=
e
eu
x
{\ displaystyle u = e ^ {ix}}
-
eu
2
∫
1
+
6
você
2
+
você
4
1
+
você
2
+
você
4
+
você
6
d
você
.
{\ displaystyle - {\ frac {i} {2}} \ int {\ frac {1 + 6u ^ {2} + u ^ {4}} {1 + u ^ {2} + u ^ {4} + u ^ {6}}} \, du.}
Pode-se proceder usando decomposição parcial da fração .
Veja também Referências
<img src="https://en.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">
![{\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ int \ cos ^ {2} x \, dx \, & = \, \ int \ left ({\ frac {e ^ {ix} + e ^ {- ix}} { 2}} \ right) ^ {2} dx \\ [6pt] & = \, {\ frac {1} {4}} \ int \ left (e ^ {2ix} + 2 + e ^ {- 2ix} \ direita) dx \ end {alinhado}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/477bcd8b7e0424bbab7594999c9a5157a119d1f4)
![{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {1} {4}} \ int \ left (e ^ {2ix} + 2 + e ^ {- 2ix} \ right) dx & = {\ frac {1} { 4}} \ left ({\ frac {e ^ {2ix}} {2i}} + 2x - {\ frac {e ^ {- 2ix}} {2i}} \ right) + C \\ [6pt] & = {\ frac {1} {4}} \ left (2x + \ sin 2x \ right) + C. \ end {alinhado}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/094b4102f3fcb40250e8417ebff895de2aed2b46)
![{\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ int \ sin ^ {2} x \ cos 4x \, dx & = \ int \ left ({\ frac {e ^ {ix} -e ^ {- ix}} {2i} } \ right) ^ {2} \ left ({\ frac {e ^ {4ix} + e ^ {- 4ix}} {2}} \ right) dx \\ [6pt] & = - {\ frac {1} {8}} \ int \ left (e ^ {2ix} -2 + e ^ {- 2ix} \ right) \ left (e ^ {4ix} + e ^ {- 4ix} \ right) dx \\ [6pt] & = - {\ frac {1} {8}} \ int \ left (e ^ {6ix} -2e ^ {4ix} + e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} -2e ^ {- 4ix} + e ^ {- 6ix} \ right) dx. \ end {alinhado}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/803fea23145359a202cb5de0ea639ddbfbc77b0f)
![{\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ int e ^ {x} \ cos x \, dx & = \ operatorname {Re} \ left ({\ frac {e ^ {(1 + i) x}} {1 + i }} \ right) + C \\ [6pt] & = e ^ {x} \ operatorname {Re} \ left ({\ frac {e ^ {ix}} {1 + i}} \ right) + C \\ [6pt] & = e ^ {x} \ operatorname {Re} \ left ({\ frac {e ^ {ix} (1-i)} {2}} \ right) + C \\ [6pt] & = e ^ {x} {\ frac {\ cos x + \ sin x} {2}} + C. \ end {alinhado}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65e9c7fbcba2dfcd2ca6dab6894ec6bb9e21f128)
