Spin-1/2 - Spin-1/2

Um único ponto no espaço pode girar continuamente sem se emaranhar. Observe que, após uma rotação de 360 ​​°, a espiral alterna entre as orientações no sentido horário e anti-horário. Ele retorna à sua configuração original depois de girar 720 ° completos.

Parte de uma série de artigos sobre
Mecânica quântica
${\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} | \ psi (t) \ rangle = {\ hat {H}} | \ psi (t) \ rangle}$ Equação de Schrödinger
Introdução Glossário História
Fundo Mecânica clássica Velha teoria quântica Notação de sutiã Hamiltoniano Interferência
Fundamentos Complementaridade Decoerência Emaranhamento Nível de energia Medição Não localidade Número quântico Estado Sobreposição Simetria Tunelamento Incerteza Função de onda  ( recolher )
Experimentos Desigualdade de Bell Davisson – Germer Fenda dupla Elitzur-Vaidman Franck – Hertz Desigualdade de Leggett-Garg Mach – Zehnder Popper Borracha quântica  ( escolha retardada ) gato de Schrodinger Stern – Gerlach Escolha atrasada de Wheeler
Formulações Visão geral Heisenberg Interação Matriz Espaço de fase Schrödinger Soma sobre histórias (integral do caminho)
Equações Dirac Klein – Gordon Pauli Rydberg Schrödinger
Interpretações Visão geral Bayesiano Histórias consistentes Copenhague de Broglie – Bohm Conjunto Variável oculta Muitos mundos Colapso objetivo Lógica quântica Relacional Transacional
Tópicos avançados Mecânica quântica relativística Teoria quântica de campos Ciência da informação quântica Computação quântica Caos quântico Matriz de densidade Teoria de dispersão Mecânica estatística quântica Aprendizado de máquina quântico
Cientistas Aharonov Sino Blackett Bloch Bohm Bohr Nascer Bose de Broglie Candlin Compton Dirac Davisson Debye Ehrenfest Einstein Everett Fock Fermi Feynman Glauber Gutzwiller Heisenberg Hilbert Jordânia Kramers Pauli Cordeiro Landau Laue Moseley Millikan Onnes Planck Rabi Raman Rydberg Schrödinger Sommerfeld von Neumann Weyl Wien Wigner Zeeman Zeilinger
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Na mecânica quântica , o spin é uma propriedade intrínseca de todas as partículas elementares . Todos os férmions conhecidos , as partículas que constituem a matéria comum, têm um spin de1/2. O número de spin descreve quantas facetas simétricas uma partícula possui em uma rotação completa; um giro de1/2significa que a partícula deve ser girada duas voltas completas (através de 720 °) antes de ter a mesma configuração de quando começou.

Partículas com rotação líquida 1/2incluem o próton , nêutron , elétron , neutrino e quarks . A dinâmica do spin1/2os objetos não podem ser descritos com precisão usando a física clássica ; eles estão entre os sistemas mais simples que requerem a mecânica quântica para descrevê-los. Como tal, o estudo do comportamento do spin1/2sistemas formam uma parte central da mecânica quântica .

Experiência Stern-Gerlach

A necessidade de introduzir spin meio-inteiro remonta experimentalmente aos resultados do experimento Stern-Gerlach . Um feixe de átomos é executado através de um forte campo magnético heterogêneo , que então se divide em N partes dependendo do momento angular intrínseco dos átomos. Verificou-se que, para átomos de prata, o feixe foi dividido em dois - o estado fundamental, portanto, não poderia ser um inteiro, porque mesmo se o momento angular intrínseco dos átomos fosse o menor inteiro (diferente de zero) possível, 1, o feixe seria dividido em 3 partes, correspondendo a átomos com L _z  = −1, +1 e 0, com 0 sendo simplesmente o valor conhecido por estar entre -1 e +1, embora também sendo um inteiro inteiro em si, e assim um número de spin quantizado válido neste caso. A existência desta hipotética "etapa extra" entre os dois estados quânticos polarizados necessitaria de um terceiro estado quântico; um terceiro feixe, que não é observado no experimento. A conclusão foi que os átomos de prata tinham momento angular intrínseco líquido de1/2.

Propriedades gerais

Representação heurística de cones de momento angular de spin para um spin1/2 partícula.

Rodar-1/2os objetos são todos férmions (um fato explicado pelo teorema da estatística de spin ) e satisfazem o princípio de exclusão de Pauli . Rodar-1/2as partículas podem ter um momento magnético permanente ao longo da direção de seu spin, e esse momento magnético dá origem a interações eletromagnéticas que dependem do spin. Um desses efeitos que foi importante na descoberta do spin é o efeito Zeeman , a divisão de uma linha espectral em vários componentes na presença de um campo magnético estático.

Ao contrário de sistemas de mecânica quântica mais complicados, o spin de um spin1/2partícula pode ser expressa como uma combinação linear de apenas dois estados próprios , ou eigenspinors . Estes são tradicionalmente rotulados de aumento e redução de rotação. Por causa disso, os operadores de spin da mecânica quântica podem ser representados como matrizes 2 × 2 simples . Essas matrizes são chamadas de matrizes de Pauli .

Operadores de criação e aniquilação podem ser construídos para1/2objetos; estes obedecem às mesmas relações de comutação que outros operadores de momento angular .

Conexão com o princípio da incerteza

Uma consequência do princípio da incerteza generalizada é que os operadores de projeção de spin (que medem o spin ao longo de uma dada direção como x , y ou z ) não podem ser medidos simultaneamente. Fisicamente, isso significa que não está definido em qual eixo uma partícula está girando. Uma medição da z -component de rotação destrói qualquer informação sobre o x - e y -Componentes que pode ter sido anteriormente obtidos.

Descrição matemática

Um giro-1/2partícula é caracterizada por um número quântico de momento angular para spin s de1/2. Em soluções da equação de Schrödinger , o momento angular é quantizado de acordo com este número, de modo que o momento angular de rotação total

${\ displaystyle S = {\ sqrt {{\ tfrac {1} {2}} \ left ({\ tfrac {1} {2}} + 1 \ right)}} \ \ hbar = {\ tfrac {\ sqrt { 3}} {2}} \ hbar.}$

No entanto, a estrutura fina observada quando o elétron é observado ao longo de um eixo, como o eixo z , é quantizada em termos de um número quântico magnético , que pode ser visto como uma quantização de um componente vetorial desse momento angular total, que pode ter apenas os valores de ±1/2ħ .

Observe que esses valores para o momento angular são funções apenas da constante de Planck reduzida (o momento angular de qualquer fóton ), sem dependência de massa ou carga.

Fase complexa

Matematicamente, o spin da mecânica quântica não é descrito por um vetor como no momento angular clássico. É descrito por um vetor de valor complexo com dois componentes chamados espinor . Existem diferenças sutis entre o comportamento de espinores e vetores sob rotações de coordenadas , decorrentes do comportamento de um espaço vetorial sobre um campo complexo.

Quando um spinor é girado 360 ° (uma volta completa), ele se transforma em seu negativo e, depois de uma nova rotação de 360 ​​°, ele se transforma novamente em seu valor inicial. Isso ocorre porque na teoria quântica o estado de uma partícula ou sistema é representado por uma amplitude de probabilidade complexa ( função de onda ) ψ , e quando o sistema é medido, a probabilidade de encontrar o sistema no estado ψ é igual a | ψ | ² = ψ * ψ , o quadrado absoluto (quadrado do valor absoluto ) da amplitude. Em termos matemáticos, o espaço de Hilbert quântico carrega uma representação projetiva do grupo de rotação SO (3).

Suponha que um detector que pode ser girado mede uma partícula na qual as probabilidades de detectar algum estado são afetadas pela rotação do detector. Quando o sistema é girado em 360 °, a saída observada e a física são as mesmas que inicialmente, mas as amplitudes são alteradas para um spin-1/2partícula por um fator de -1 ou um deslocamento de fase de metade de 360 ​​°. Quando as probabilidades são calculadas, o -1 é elevado ao quadrado, (-1) ²  = 1, então a física prevista é a mesma da posição inicial. Além disso, em uma rotação1/2partícula existem apenas dois estados de spin e as amplitudes de ambos mudam pelo mesmo fator -1, de modo que os efeitos de interferência são idênticos, ao contrário do caso para spins mais altos. As complexas amplitudes de probabilidade são algo como uma construção teórica que não pode ser observada diretamente.

Se as amplitudes de probabilidade girassem na mesma quantidade que o detector, então elas teriam mudado por um fator de -1 quando o equipamento foi girado em 180 ° que, quando ao quadrado, preveria a mesma saída do início, mas os experimentos mostram isso para estar errado. Se o detector for girado em 180 °, o resultado com rotação1/2 as partículas podem ser diferentes do que seriam se não fossem giradas, portanto, o fator da metade é necessário para fazer com que as previsões da teoria coincidam com os experimentos.

Em termos de evidência mais direta, os efeitos físicos da diferença entre a rotação de um spin1/2partícula por 360 ° em comparação com 720 ° foram experimentalmente observados em experimentos clássicos em interferometria de nêutrons. Em particular, se um feixe de spin orientado1/2as partículas são divididas e apenas um dos feixes é girado em torno do eixo de sua direção de movimento e então recombinado com o feixe original, diferentes efeitos de interferência são observados dependendo do ângulo de rotação. No caso de rotação de 360 ​​°, efeitos de cancelamento são observados, enquanto no caso de rotação de 720 °, as vigas se reforçam mutuamente.

NRQM (mecânica quântica não relativística)

O estado quântico de uma partícula de spin 1 ⁄ 2 pode ser descrito por um vetor de valor complexo de dois componentes chamado spinor . Estados observáveis da partícula são então encontradas pelos operadores de spin S _x , S _y , e S _z , e o operador de rotação total de S .

Observáveis

Quando os espinores são usados ​​para descrever os estados quânticos, os três operadores de spin ( S _x , S _y , S _z , ) podem ser descritos por matrizes 2 × 2 chamadas matrizes de Pauli cujos autovalores são ±ħ/2.

Por exemplo, o operador de projeção do spin S _z afeta uma medição do spin na direção z .

${\ displaystyle S_ {z} = {\ frac {\ hbar} {2}} \ sigma _ {z} = {\ frac {\ hbar} {2}} {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \ fim {bmatrix}}}$

Os dois valores próprios de S _z , ±ħ/2, então correspondam aos seguintes autômatos:

${\ displaystyle \ chi _ {+} = {\ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix}} = \ left \ vert {s_ {z} {=} {+ \ textstyle {\ frac {1} { 2}}}} \ right \ rangle = | {\ uparrow} \ rangle = | 0 \ rangle}$

${\ displaystyle \ chi _ {-} = {\ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix}} = \ left \ vert {s_ {z} {=} {- \ textstyle {\ frac {1} { 2}}}} \ right \ rangle = | {\ downarrow} \ rangle = | 1 \ rangle.}$

Esses vetores formam uma base completa para o espaço de Hilbert que descreve a partícula de spin 1 ⁄ 2 . Assim, combinações lineares desses dois estados podem representar todos os estados possíveis do spin, incluindo nas direções x e y .

Os operadores de escada são:

${\ displaystyle S _ {+} = \ hbar {\ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \ end {bmatrix}}, S _ {-} = \ hbar {\ begin {bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \ end {bmatrix}} }$

Uma vez que S _± = S _x ± i S _y , segue-se que S _x =1/2( S ₊ + S _- ) e S _y =1/2 eu( S ₊ - S _- ) . Assim:

${\ displaystyle S_ {x} = {\ frac {\ hbar} {2}} \ sigma _ {x} = {\ frac {\ hbar} {2}} {\ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end { bmatrix}}}$

${\ displaystyle S_ {y} = {\ frac {\ hbar} {2}} \ sigma _ {y} = {\ frac {\ hbar} {2}} {\ begin {bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \ fim {bmatrix}}}$

Seus eigenspinors normalizados podem ser encontrados da maneira usual. Para S _x , eles são:

${\ displaystyle \ chi _ {+} ^ {(x)} = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} {\ begin {bmatrix} 1 \\ 1 \ end {bmatrix}} = \ left \ vert {s_ {x} {=} {+ \ textstyle {\ frac {1} {2}}}} \ right \ rangle}$

${\ displaystyle \ chi _ {-} ^ {(x)} = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} {\ begin {bmatrix} 1 \\ - 1 \ end {bmatrix}} = \ left \ vert {s_ {x} {=} {- \ textstyle {\ frac {1} {2}}}} \ right \ rangle}$

Para S _y , eles são:

${\ displaystyle \ chi _ {+} ^ {(y)} = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} {\ begin {bmatrix} 1 \\ i \ end {bmatrix}} = \ left \ vert {s_ {y} {=} {+ \ textstyle {\ frac {1} {2}}}} \ right \ rangle}$

${\ displaystyle \ chi _ {-} ^ {(y)} = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} {\ begin {bmatrix} 1 \\ - i \ end {bmatrix}} = \ left \ vert {s_ {y} {=} {- \ textstyle {\ frac {1} {2}}}} \ right \ rangle}$

RQM (mecânica quântica relativística)

Enquanto NRQM define spin 1/2com 2 dimensões no espaço de Hilbert com dinâmicas que são descritas no espaço e tempo tridimensional, a mecânica quântica relativística define o spin com 4 dimensões no espaço de Hilbert e a dinâmica descrita pelo espaço-tempo 4-dimensional.

Observáveis

Como consequência da natureza quadridimensional do espaço-tempo na relatividade, a mecânica quântica relativística usa matrizes 4 × 4 para descrever operadores de spin e observáveis.

Spin como consequência da combinação da teoria quântica e da relatividade especial

Quando o físico Paul Dirac tentou modificar a equação de Schrödinger para que ficasse consistente com a teoria da relatividade de Einstein , ele descobriu que isso só era possível incluindo matrizes na Equação de Dirac resultante , o que implica que a onda deve ter vários componentes que levam ao spin.

Veja também

• Representação projetiva

Notas

Leitura adicional

• Feynman, Richard (1963). "Volume III, Capítulo 6. Spin One-Half" . The Feynman Lectures on Physics . Caltech .
• Penrose, Roger (2007). A estrada para a realidade . Livros antigos. ISBN 0-679-77631-1.

links externos

• Mídia relacionada ao Spin-½ no Wikimedia Commons