Teorema de Ehrenfest - Ehrenfest theorem

Parte de uma série sobre
Mecânica quântica
${\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} | \ psi (t) \ rangle = {\ hat {H}} | \ psi (t) \ rangle}$ Equação de Schrödinger
Introdução Glossário História Livros didáticos
Fundo Mecânica clássica Velha teoria quântica Notação de sutiã Hamiltoniano Interferência
Fundamentos Regra de nascimento Comprimento de onda Compton Coerência Decoerência Complementaridade Nível de energia Emaranhamento Hamiltoniano Princípio da incerteza Estado Fundamental Amplitude de probabilidade Distribuição de probabilidade Interferência Medição Medição fraca Não localidade Observável Operador Quantum Flutuação quântica Número quântico Ruído quântico Estado quântico Sistema quântico Teletransporte quântico Qubit Rodar Sobreposição Estado de vácuo quântico Simetria Quebra de simetria (espontânea) Estado de vácuo Propagação de onda Função de onda Colapso da função de onda Dualidade onda-partícula Onda de matéria Barreira de potencial retangular Fock space
Efeitos Efeito Zeeman Efeito Stark Efeito Aharonov-Bohm Quantização Landau Efeito Quantum Hall Efeito Quantum Zeno Tunelamento quântico Efeito fotoelétrico Efeito casimiro
Experimentos Desigualdade de Bell Davisson – Germer Fenda dupla Elitzur-Vaidman Franck – Hertz Desigualdade de Leggett-Garg Mach – Zehnder Popper Borracha quântica  ( escolha retardada ) gato de Schrodinger Stern – Gerlach Escolha atrasada de Wheeler
Formulações Visão geral Imagens dinâmicas ( Heisenberg ; Interação ; Schrödinger ) Matriz Espaço de fase Soma sobre histórias (integral do caminho)
Equações Dirac Hellmann-Feynman Klein – Gordon Lippmann – Schwinger Pauli Rydberg Schrödinger Integração funcional
Interpretações Visão geral Bayesiano Histórias consistentes Copenhague de Broglie – Bohm Conjunto Variável oculta Muitos mundos Colapso objetivo Lógica quântica Relacional Transacional
Tópicos avançados Hipótese de termalização de estado próprio Recozimento quântico Caos quântico Computação quântica Geometria quântica Matriz de densidade Teoria quântica de campos Mecânica quântica fracionária Gravidade quântica Ciência da informação quântica Aprendizado de máquina quântico Teoria de perturbação (mecânica quântica) Mecânica quântica relativística Teoria de dispersão Teoria do vácuo de superfluido Conversão descendente paramétrica espontânea Mecânica estatística quântica
Cientistas Aharonov Sino Blackett Bloch Bohm Bohr Nascermos Bose de Broglie Candlin Compton Dirac Davisson Debye Ehrenfest Einstein Everett Fock Fermi Feynman Glauber Gutzwiller Heisenberg Hilbert Jordânia Kramers Pauli Cordeiro Landau Laue Moseley Millikan Onnes Planck Rabi Raman Rydberg Schrödinger Sommerfeld von Neumann Weyl Wien Wigner Zeeman Zeilinger Goudsmit Uhlenbeck Yang
Categorias ► Mecânica Quântica
v t e

O teorema de Ehrenfest , em homenagem a Paul Ehrenfest , um físico teórico austríaco da Universidade de Leiden , relaciona a derivada temporal dos valores esperados dos operadores de posição e momento x e p ao valor esperado da força em uma partícula massiva se movendo em um potencial escalar , ${\ displaystyle F = -V '(x)}$${\ displaystyle V (x)}$

O teorema de Ehrenfest é um caso especial de uma relação mais geral entre a expectativa de qualquer operador mecânico quântico e a expectativa do comutador desse operador com o hamiltoniano do sistema

onde A é um operador de mecânica quântica e ⟨ Um ⟩ é o valor esperado . Este teorema mais geral não foi realmente derivado por Ehrenfest (é devido a Werner Heisenberg ).

É mais aparente na imagem de Heisenberg da mecânica quântica, onde é apenas o valor esperado da equação de movimento de Heisenberg. Ele fornece suporte matemático para o princípio da correspondência .

A razão é que o teorema de Ehrenfest está intimamente relacionado com o teorema de Liouville de mecânica hamiltoniana , que envolve o suporte de Poisson em vez de um comutador. A regra prática de Dirac sugere que as afirmações na mecânica quântica que contêm um comutador correspondem às afirmações na mecânica clássica onde o comutador é suplantado por um colchete de Poisson multiplicado por iħ . Isso faz com que os valores de expectativa do operador obedeçam às equações clássicas de movimento correspondentes, desde que o hamiltoniano seja no máximo quadrático nas coordenadas e momentos. Caso contrário, as equações de evolução ainda podem se manter aproximadamente , desde que as flutuações sejam pequenas.

Relação com a Física Clássica

Embora, à primeira vista, possa parecer que o teorema de Ehrenfest está dizendo que os valores esperados da mecânica quântica obedecem às equações clássicas de movimento de Newton, este não é realmente o caso. Se o par satisfizesse a segunda lei de Newton, o lado direito da segunda equação teria que ser ${\ displaystyle (\ langle x \ rangle, \ langle p \ rangle)}$

${\ displaystyle -V '\ left (\ left \ langle x \ right \ rangle \ right),}$

que normalmente não é o mesmo que

${\ displaystyle - \ left \ langle V '(x) \ right \ rangle.}$

Se, por exemplo, o potencial é cúbico (ou seja, proporcional a ), então é quadrático (proporcional a ). Isso significa que, no caso da segunda lei de Newton, o lado direito estaria na forma de , enquanto no teorema de Ehrenfest ele estaria na forma de . A diferença entre essas duas quantidades é o quadrado da incerteza em e, portanto, não é zero. ${\ displaystyle V (x)}$${\ displaystyle x ^ {3}}$${\ displaystyle V '}$${\ displaystyle x ^ {2}}$${\ displaystyle \ langle x \ rangle ^ {2}}$${\ displaystyle \ langle x ^ {2} \ rangle}$${\ displaystyle x}$

Uma exceção ocorre no caso em que as equações clássicas de movimento são lineares, ou seja, quando são quadráticas e são lineares. Nesse caso especial, e concordo. Assim, para o caso de um oscilador harmônico quântico, a posição esperada e o momento esperado seguem exatamente as trajetórias clássicas. ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle V '}$${\ displaystyle V '\ left (\ left \ langle x \ right \ rangle \ right)}$${\ displaystyle \ left \ langle V '(x) \ right \ rangle}$

Para sistemas gerais, se a função de onda estiver altamente concentrada em torno de um ponto , então e será quase a mesma, já que ambos serão aproximadamente iguais a . Nesse caso, a posição esperada e o momento esperado seguirão aproximadamente as trajetórias clássicas, pelo menos enquanto a função de onda permanecer localizada na posição. ${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle V '\ left (\ left \ langle x \ right \ rangle \ right)}$${\ displaystyle \ left \ langle V '(x) \ right \ rangle}$${\ displaystyle V '(x_ {0})}$

Derivação na imagem de Schrödinger

Suponha que algum sistema esteja atualmente em um estado quântico Φ . Se quisermos saber a derivada instantânea no tempo do valor esperado de A , isto é, por definição

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ langle A \ rangle & = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d } t}} \ int \ Phi ^ {*} A \ Phi \, \ mathrm {d} ^ {3} x \\ & = \ int \ left ({\ frac {\ partial \ Phi ^ {*}} { \ parcial t}} \ direita) A \ Phi \, \ mathrm {d} ^ {3} x + \ int \ Phi ^ {*} \ esquerda ({\ frac {\ parcial A} {\ parcial t}} \ direita ) \ Phi \, \ mathrm {d} ^ {3} x + \ int \ Phi ^ {*} A \ left ({\ frac {\ partial \ Phi} {\ partial t}} \ right) \, \ mathrm { d} ^ {3} x \\ & = \ int \ left ({\ frac {\ partial \ Phi ^ {*}} {\ partial t}} \ right) A \ Phi \, \ mathrm {d} ^ { 3} x + \ left \ langle {\ frac {\ partial A} {\ partial t}} \ right \ rangle + \ int \ Phi ^ {*} A \ left ({\ frac {\ partial \ Phi} {\ partial t}} \ direita) \, \ mathrm {d} ^ {3} x \ end {alinhado}}}$

onde estamos integrando todo o espaço. Se aplicarmos a equação de Schrödinger , descobrimos que

${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ Phi} {\ partial t}} = {\ frac {1} {i \ hbar}} H \ Phi}$

Ao tomar o conjugado complexo, encontramos

${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ Phi ^ {*}} {\ partial t}} = - {\ frac {1} {i \ hbar}} \ Phi ^ {*} H ^ {*} = - { \ frac {1} {i \ hbar}} \ Phi ^ {*} H.}$

Observe H = H   ^∗ , porque o hamiltoniano é hermitiano . Colocando isso na equação acima, temos

${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ langle A \ rangle = {\ frac {1} {i \ hbar}} \ int \ Phi ^ {*} (AH-HA) \ Phi ~ d ^ { 3} x + \ left \ langle {\ frac {\ partial A} {\ partial t}} \ right \ rangle = {\ frac {1} {i \ hbar}} \ langle [A, H] \ rangle + \ left \ langle {\ frac {\ partial A} {\ partial t}} \ right \ rangle.}$

Freqüentemente (mas nem sempre) o operador A é independente do tempo, de modo que sua derivada é zero e podemos ignorar o último termo.

Derivação na imagem de Heisenberg

Na imagem de Heisenberg , a derivação é trivial. A imagem de Heisenberg transfere a dependência do sistema para o tempo para os operadores, em vez dos vetores de estado. Começando com a equação de movimento de Heisenberg

${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} A (t) = {\ frac {\ parcial A (t)} {\ parcial t}} + {\ frac {1} {i \ hbar}} [A (º],}$

podemos derivar o teorema de Ehrenfest simplesmente projetando a equação de Heisenberg da direita e da esquerda, ou tomando o valor esperado, então ${\ displaystyle | \ Psi \ rangle}$${\ displaystyle \ langle \ Psi |}$

${\ displaystyle \ left \ langle \ Psi \ left | {\ frac {d} {dt}} A (t) \ right | \ Psi \ right \ rangle = \ left \ langle \ Psi \ left | {\ frac {\ parcial A (t)} {\ parcial t}} \ direita | \ Psi \ direita \ rangle + \ esquerda \ langle \ Psi \ left | {\ frac {1} {i \ hbar}} [A (t), H ] \ right | \ Psi \ right \ rangle,}$

Podemos puxar o d / dt fora do primeiro termo, uma vez que os vetores de estado não são mais dependentes do tempo na imagem de Heisenberg. Portanto,

${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ langle A (t) \ rangle = \ left \ langle {\ frac {\ partial A (t)} {\ partial t}} \ right \ rangle + {\ frac {1} {i \ hbar}} \ left \ langle [A (t), H] \ right \ rangle}$

Exemplo geral

Os valores esperados do teorema, entretanto, são exatamente os mesmos na imagem de Schrödinger . Para o exemplo muito geral de uma partícula massiva se movendo em um potencial , o hamiltoniano é simplesmente

${\ displaystyle H (x, p, t) = {\ frac {p ^ {2}} {2m}} + V (x, t)}$

onde x é a posição da partícula.

Suponha que quiséssemos saber a mudança instantânea na expectativa do momento p . Usando o teorema de Ehrenfest, temos

${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ langle p \ rangle = {\ frac {1} {i \ hbar}} \ langle [p, H] \ rangle + \ left \ langle {\ frac {\ parcial p} {\ parcial t}} \ right \ rangle = {\ frac {1} {i \ hbar}} \ langle [p, V (x, t)] \ rangle,}$

já que o operador p comuta consigo mesmo e não tem dependência do tempo. Expandindo o lado direito, substituindo p por - iħ ∇ , obtemos

${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ langle p \ rangle = \ int \ Phi ^ {*} V (x, t) {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \ Phi ~ dx - \ int \ Phi ^ {*} {\ frac {\ partial} {\ partial x}} (V (x, t) \ Phi) ~ dx ~.}$

Depois de aplicar a regra do produto no segundo período, temos

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {d} {dt}} \ langle p \ rangle & = \ int \ Phi ^ {*} V (x, t) {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \ Phi ~ dx- \ int \ Phi ^ {*} \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial x}} V (x, t) \ right) \ Phi ~ dx- \ int \ Phi ^ {*} V (x, t) {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \ Phi ~ dx \\ & = - \ int \ Phi ^ {*} \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial x}} V (x, t) \ right) \ Phi ~ dx \\ & = \ left \ langle - {\ frac {\ partial} {\ partial x}} V (x, t) \ right \ rangle = \ langle F \ rangle. \ end {alinhado}}}$

Conforme explicado na introdução, este resultado não significa que o par satisfaça a segunda lei de Newton , porque o lado direito da fórmula é em vez de . No entanto, como explicado na introdução, para estados altamente localizados no espaço, a posição e o momento esperados seguirão aproximadamente as trajetórias clássicas, o que pode ser entendido como uma instância do princípio da correspondência . ${\ displaystyle (\ langle X \ rangle, \ langle P \ rangle)}$${\ displaystyle \ langle F (x, t) \ rangle,}$${\ displaystyle F (\ langle X \ rangle, t)}$

Da mesma forma, podemos obter a mudança instantânea no valor da expectativa da posição.

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} {\ frac {d} {dt}} \ langle x \ rangle & = {\ frac {1} {i \ hbar}} \ langle [x, H] \ rangle + \ left \ langle {\ frac {\ partial x} {\ partial t}} \ right \ rangle \\ [5pt] & = {\ frac {1} {i \ hbar}} \ left \ langle \ left [x, {\ frac {p ^ {2}} {2m}} + V (x, t) \ right] \ right \ rangle +0 \\ [5pt] & = {\ frac {1} {i \ hbar}} \ left \ langle \ left [x, {\ frac {p ^ {2}} {2m}} \ right] \ right \ rangle \\ [5pt] & = {\ frac {1} {i \ hbar 2m}} \ left \ langle [x, p] {\ frac {d} {dp}} p ^ {2} \ right \ rangle \\ [5pt] & = {\ frac {1} {i \ hbar 2m}} \ langle i \ hbar 2p \ rangle \\ [5pt] & = {\ frac {1} {m}} \ langle p \ rangle \ end {alinhado}}}$

Na verdade, esse resultado está de acordo com a equação clássica.

Derivação da equação de Schrödinger a partir dos teoremas de Ehrenfest

Foi estabelecido acima que os teoremas de Ehrenfest são consequências da equação de Schrödinger . No entanto, o inverso também é verdadeiro: a equação de Schrödinger pode ser inferida a partir dos teoremas de Ehrenfest. Nós começamos de

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} m {\ frac {d} {dt}} \ left \ langle \ Psi (t) \ right | {\ hat {x}} \ left | \ Psi (t) \ right \ rangle & = \ left \ langle \ Psi (t) \ right | {\ hat {p}} \ left | \ Psi (t) \ right \ rangle, \\ [5pt] {\ frac {d} {dt}} \ left \ langle \ Psi (t) \ right | {\ hat {p}} \ left | \ Psi (t) \ right \ rangle & = \ left \ langle \ Psi (t) \ right | -V '({ \ hat {x}}) \ left | \ Psi (t) \ right \ rangle. \ end {alinhado}}}$

A aplicação da regra do produto leva a

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ left \ langle {\ frac {d \ Psi} {dt}} {\ Big |} {\ hat {x}} {\ Big |} \ Psi \ right \ rangle + \ left \ langle \ Psi {\ Big |} {\ hat {x}} {\ Big |} {\ frac {d \ Psi} {dt}} \ right \ rangle & = \ left \ langle \ Psi {\ Big | } {\ frac {\ hat {p}} {m}} {\ Big |} \ Psi \ right \ rangle, \\ [5pt] \ left \ langle {\ frac {d \ Psi} {dt}} {\ Grande |} {\ hat {p}} {\ Grande |} \ Psi \ right \ rangle + \ left \ langle \ Psi {\ Big |} {\ hat {p}} {\ Big |} {\ frac {d \ Psi} {dt}} \ right \ rangle & = \ langle \ Psi | -V '({\ hat {x}}) | \ Psi \ rangle, \ end {alinhado}}}$

Aqui, aplique o teorema de Stone , usando Ĥ para denotar o gerador quântico da tradução do tempo. O próximo passo é mostrar que este é o mesmo que o operador hamiltoniano usado na mecânica quântica. O teorema de Stone implica

${\ displaystyle i \ hbar \ left | {\ frac {d \ Psi} {dt}} \ right \ rangle = {\ hat {H}} | \ Psi (t) \ rangle ~,}$

onde ħ foi introduzido como uma constante de normalização para a dimensionalidade do equilíbrio. Uma vez que essas identidades devem ser válidas para qualquer estado inicial, a média pode ser descartada e o sistema de equações do comutador para Ĥ são derivados:

${\ displaystyle im [{\ hat {H}}, {\ hat {x}}] = \ hbar {\ hat {p}}, \ qquad i [{\ hat {H}}, {\ hat {p} }] = - \ hbar V '({\ hat {x}}).}$

Assumindo que os observáveis ​​da coordenada e do momento obedecem à relação de comutação canônica [ x̂, p̂ ] = iħ . Definindo , as equações do comutador podem ser convertidas em equações diferenciais ${\ displaystyle {\ hat {H}} = H ({\ hat {x}}, {\ hat {p}})}$

${\ displaystyle m {\ frac {\ partial H (x, p)} {\ partial p}} = p, \ qquad {\ frac {\ partial H (x, p)} {\ partial x}} = V ' (x),}$

cuja solução é o familiar hamiltoniano quântico

${\ displaystyle {\ hat {H}} = {\ frac {{\ hat {p}} ^ {2}} {2m}} + V ({\ hat {x}}).}$

Donde, a equação de Schrödinger foi derivada dos teoremas de Ehrenfest, assumindo a relação de comutação canônica entre a coordenada e o momento. Se alguém assume que a coordenada e o momento comutam, o mesmo método computacional leva à mecânica clássica de Koopman-von Neumann , que é a formulação espacial de Hilbert da mecânica clássica . Portanto, esta derivação, bem como a derivação da mecânica de Koopman-von Neumann , mostra que a diferença essencial entre a mecânica quântica e a clássica se reduz ao valor do comutador [ x̂, p̂ ] .

As implicações do teorema de Ehrenfest para sistemas com dinâmica classicamente caótica são discutidas no artigo da Scholarpedia Ehrenfest tempo e caos . Devido à instabilidade exponencial das trajetórias clássicas, o tempo de Ehrenfest, no qual há uma correspondência completa entre a evolução quântica e clássica, mostra-se logaritmicamente curto, sendo proporcional a um logaritmo do número quântico típico. Para o caso de dinâmica integrável, esta escala de tempo é muito maior, sendo proporcional a uma certa potência do número quântico.

Notas

Referências

• Hall, Brian C. (2013), Quantum Theory for Mathematicians , Graduate Texts in Mathematics, 267 , Springer, ISBN   978-1461471158