Teorema de não clonagem - No-cloning theorem

Parte de uma série de artigos sobre
Mecânica quântica
${\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} | \ psi (t) \ rangle = {\ hat {H}} | \ psi (t) \ rangle}$ Equação de Schrödinger
Introdução Glossário História
Fundo Mecânica clássica Velha teoria quântica Notação de sutiã Hamiltoniano Interferência
Fundamentos Complementaridade Decoerência Emaranhamento Nível de energia Medição Não localidade Número quântico Estado Sobreposição Simetria Tunelamento Incerteza Função de onda  ( recolher )
Experimentos Desigualdade de Bell Davisson – Germer Fenda dupla Elitzur-Vaidman Franck – Hertz Desigualdade de Leggett-Garg Mach – Zehnder Popper Borracha quântica  ( escolha retardada ) gato de Schrodinger Stern – Gerlach Escolha atrasada de Wheeler
Formulações Visão geral Heisenberg Interação Matriz Espaço de fase Schrödinger Soma sobre histórias (integral do caminho)
Equações Dirac Klein – Gordon Pauli Rydberg Schrödinger
Interpretações Visão geral Bayesiano Histórias consistentes Copenhague de Broglie – Bohm Conjunto Variável oculta Muitos mundos Colapso objetivo Lógica quântica Relacional Transacional
Tópicos avançados Mecânica quântica relativística Teoria quântica de campos Ciência da informação quântica Computação quântica Caos quântico Matriz de densidade Teoria de dispersão Mecânica estatística quântica Aprendizado de máquina quântico
Cientistas Aharonov Sino Blackett Bloch Bohm Bohr Nascer Bose de Broglie Candlin Compton Dirac Davisson Debye Ehrenfest Einstein Everett Fock Fermi Feynman Glauber Gutzwiller Heisenberg Hilbert Jordânia Kramers Pauli Borrego Landau Laue Moseley Millikan Onnes Planck Rabi Raman Rydberg Schrödinger Sommerfeld von Neumann Weyl Wien Wigner Zeeman Zeilinger
v t e

Na física , o teorema da não clonagem afirma que é impossível criar uma cópia independente e idêntica de um estado quântico desconhecido arbitrário , uma afirmação que tem profundas implicações no campo da computação quântica, entre outros. O teorema é uma evolução do teorema no-go de 1970 de autoria de James Park, no qual ele demonstra que um esquema de medição não perturbador que é simples e perfeito não pode existir (o mesmo resultado seria derivado independentemente em 1982 por Wootters e Zurek bem como Dieks no mesmo ano). Os teoremas acima mencionados não impedem que o estado de um sistema fique emaranhado com o estado de outro, visto que a clonagem se refere especificamente à criação de um estado separável com fatores idênticos. Por exemplo, pode-se usar a porta NOT controlada e a porta Walsh-Hadamard para emaranhar dois qubits sem violar o teorema de não clonagem, pois nenhum estado bem definido pode ser definido em termos de um subsistema de um estado emaranhado. O teorema de não clonagem (como geralmente entendido) diz respeito apenas a estados puros, ao passo que o enunciado generalizado sobre estados mistos é conhecido como teorema de no-broadcast .

O teorema da não clonagem tem um dual invertido no tempo , o teorema da não exclusão . Juntos, eles sustentam a interpretação da mecânica quântica em termos de teoria das categorias e, em particular, como uma categoria compacta de punhal . Essa formulação, conhecida como mecânica quântica categórica , permite, por sua vez, uma conexão a ser feita da mecânica quântica à lógica linear como a lógica da teoria da informação quântica (no mesmo sentido que a lógica intuicionista surge das categorias fechadas cartesianas ).

História

De acordo com Asher Peres e David Kaiser , a publicação da prova de 1982 do teorema da não clonagem por Wootters e Zurek e por Dieks foi motivada por uma proposta de Nick Herbert para um dispositivo de comunicação superluminal usando emaranhamento quântico , e Giancarlo Ghirardi provou o teorema 18 meses antes da prova publicada por Wootters e Zurek em seu relatório de árbitro para a referida proposta (como evidenciado por uma carta do editor). No entanto, Ortigoso apontou em 2018 que uma prova completa, juntamente com uma interpretação em termos da falta de medições simples e não perturbadoras na mecânica quântica, já havia sido entregue por Park em 1970.

Teorema e prova

Suponha que temos dois sistemas quânticos A e B com um espaço de Hilbert comum . Suponha que desejamos ter um procedimento para copiar o estado do sistema quântico A , sobre o estado do sistema quântico B, para qualquer estado original (ver notação bra-ket ). Ou seja, começando com o estado , queremos acabar com o estado . Para fazer uma "cópia" do estado A , nós o combinamos com o sistema B em algum estado inicial desconhecido, ou em branco, independente do qual não temos conhecimento prévio. ${\ displaystyle H = H_ {A} = H_ {B}}$${\ displaystyle | \ phi \ rangle _ {A}}$${\ displaystyle | e \ rangle _ {B}}$${\ displaystyle | \ phi \ rangle _ {A}}$${\ displaystyle | \ phi \ rangle _ {A} \ otimes | e \ rangle _ {B}}$${\ displaystyle | \ phi \ rangle _ {A} \ otimes | \ phi \ rangle _ {B}}$${\ displaystyle | e \ rangle _ {B}}$${\ displaystyle | \ phi \ rangle _ {A}}$

O estado do sistema composto inicial é então descrito pelo seguinte produto tensorial :

${\ displaystyle | \ phi \ rangle _ {A} \ otimes | e \ rangle _ {B}.}$

(a seguir iremos omitir o símbolo e mantê-lo implícito). ${\ displaystyle \ otimes}$

Existem apenas duas operações quânticas permitidas com as quais podemos manipular o sistema composto:

• Podemos realizar uma observação , que irreversivelmente colapsa o sistema em algum estado próprio de um observável , corrompendo a informação contida no (s) qubit (s) . Obviamente, não é isso que queremos.
• Alternativamente, poderíamos controlar o hamiltoniano do sistema combinado e, portanto, o operador de evolução no tempo U ( t ), por exemplo, para um hamiltoniano independente do tempo ,. A evolução até algum tempo fixo produz um operador unitário U on , o espaço de Hilbert do sistema combinado. No entanto, nenhum operador U unitário pode clonar todos os estados.${\ displaystyle U (t) = e ^ {- iHt / \ hbar}}$${\ displaystyle t_ {0}}$ ${\ displaystyle H \ otimes H}$

O teorema da não clonagem responde negativamente à seguinte questão: É possível construir um operador unitário U , agindo sobre , sob o qual o estado em que o sistema B está sempre evolui para o estado em que o sistema A está, independentemente do estado o sistema A está dentro? ${\ displaystyle H_ {A} \ otimes H_ {B} = H \ otimes H}$

Teorema : Não há operador unitário U em tal que para todos os estados normalizados e em${\ displaystyle H \ otimes H}$${\ displaystyle | \ phi \ rangle _ {A}}$${\ displaystyle | e \ rangle _ {B}}$${\ displaystyle H}$

${\ displaystyle U (| \ phi \ rangle _ {A} | e \ rangle _ {B}) = e ^ {i \ alpha (\ phi, e)} | \ phi \ rangle _ {A} | \ phi \ rangle _ {B}}$

para algum número real dependendo de e . ${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle e}$

O fator de fase extra expressa o fato de que um estado quântico-mecânico define um vetor normalizado no espaço de Hilbert apenas até um fator de fase, isto é, como um elemento do espaço de Hilbert projetivado .

Para provar o teorema, selecionamos um par arbitrário de estados e no espaço de Hilbert . Porque U é suposto ser unitário, teríamos ${\ displaystyle | \ phi \ rangle _ {A}}$${\ displaystyle | \ psi \ rangle _ {A}}$${\ displaystyle H}$

${\ displaystyle \ langle \ phi | \ psi \ rangle \ langle e | e \ rangle \ equiv \ langle \ phi | _ {A} \ langle e | _ {B} | \ psi \ rangle _ {A} | e \ rangle _ {B} = \ langle \ phi | _ {A} \ langle e | _ {B} U ^ {\ dagger} U | \ psi \ rangle _ {A} | e \ rangle _ {B} = e ^ {-i (\ alpha (\ phi, e) - \ alpha (\ psi, e))} \ langle \ phi | _ {A} \ langle \ phi | _ {B} | \ psi \ rangle _ {A} | \ psi \ rangle _ {B} \ equiv e ^ {- i (\ alpha (\ phi, e) - \ alpha (\ psi, e))} \ langle \ phi | \ psi \ rangle ^ {2}. }$

Uma vez que o estado quântico é considerado normalizado, obtemos ${\ displaystyle | e \ rangle}$

${\ displaystyle | \ langle \ phi | \ psi \ rangle | ^ {2} = | \ langle \ phi | \ psi \ rangle |.}$

Isso implica que ou . Daí, pela desigualdade de Cauchy-Schwarz, ou ou é ortogonal a . No entanto, esse não pode ser o caso para dois estados arbitrários . Portanto, um único U universal não pode clonar um estado quântico geral . Isso prova o teorema da não clonagem. ${\ displaystyle | \ langle \ phi | \ psi \ rangle | = 1}$${\ displaystyle | \ langle \ phi | \ psi \ rangle | = 0}$${\ displaystyle \ phi = e ^ {i \ beta} \ psi}$${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle \ psi}$

Pegue um qubit, por exemplo. Pode ser representado por dois números complexos , chamados amplitudes de probabilidade ( normalizados para 1 ), ou seja, três números reais (dois ângulos polares e um raio). Copiar três números em um computador clássico usando qualquer operação de copiar e colar é trivial (até uma precisão finita), mas o problema se manifesta se o qubit for transformado unitariamente (por exemplo, pela porta quântica de Hadamard ) para ser polarizado (cuja transformação unitária é uma sobrejetiva isometria ). Nesse caso, o qubit pode ser representado por apenas dois números reais (um ângulo polar e um raio igual a 1), enquanto o valor do terceiro pode ser arbitrário em tal representação. No entanto, a realização de um qubit (fóton codificado por polarização, por exemplo) é capaz de armazenar todo o suporte de informação do qubit dentro de sua "estrutura". Assim, nenhuma evolução unitária universal U pode clonar um estado quântico arbitrário de acordo com o teorema de não clonagem. Teria que depender do estado qubit (inicial) transformado e, portanto, não seria universal .

Generalização

No enunciado do teorema, duas suposições foram feitas: o estado a ser copiado é um estado puro e a copiadora proposta atua via evolução no tempo unitário. Essas suposições não causam perda de generalidade. Se o estado a ser copiado for um estado misto , ele pode ser purificado . Como alternativa, pode ser fornecida uma prova diferente que funcione diretamente com estados mistos; neste caso, o teorema é frequentemente conhecido como teorema de não transmissão . Da mesma forma, uma operação quântica arbitrária pode ser implementada através da introdução de um ancilla e realizando uma evolução unitária adequada. Assim, o teorema da não clonagem é totalmente geral.

Consequências

• O teorema da não clonagem impede o uso de certas técnicas clássicas de correção de erros em estados quânticos. Por exemplo, cópias de backup de um estado no meio de uma computação quântica não podem ser criadas e usadas para corrigir erros subsequentes. A correção de erros é vital para a computação quântica prática e, por algum tempo, não estava claro se isso era possível ou não. Em 1995, Shor e Steane mostraram que é por desenvolver independentemente os primeiros códigos de correção de erros quânticos , que contornam o teorema da não clonagem.
• Da mesma forma, a clonagem violaria o teorema do não-teletransporte , que diz que é impossível converter um estado quântico em uma sequência de bits clássicos (mesmo uma sequência infinita de bits), copiar esses bits para algum novo local e recriar uma cópia de o estado quântico original no novo local. Isso não deve ser confundido com teletransporte assistido por emaranhamento , que permite que um estado quântico seja destruído em um local e uma cópia exata seja recriada em outro local.
• O teorema de não clonagem está implícito no teorema de não comunicação , que afirma que o emaranhamento quântico não pode ser usado para transmitir informações clássicas (seja superluminalmente ou mais lentamente). Ou seja, a clonagem, junto com o emaranhamento, permitiria que tal comunicação ocorresse. Para ver isso, considere o experimento mental EPR e suponha que os estados quânticos possam ser clonados. Suponha que partes de um estado de Bell maximamente emaranhado sejam distribuídas para Alice e Bob. Alice poderia enviar bits para Bob da seguinte maneira: Se Alice deseja transmitir um "0", ela mede o spin de seu elétron na direção z , reduzindo o estado de Bob para ou . Para transmitir "1", Alice não faz nada com seu qubit. Bob cria muitas cópias do estado de seu elétron e mede o spin de cada cópia na direção z . Bob saberá que Alice transmitiu um "0" se todas as suas medições produzirem o mesmo resultado; caso contrário, suas medições terão resultados ou com igual probabilidade. Isso permitiria que Alice e Bob comunicassem bits clássicos entre si (possivelmente por meio de separações semelhantes a espaço , violando a causalidade ).${\ displaystyle | z + \ rangle _ {B}}$${\ displaystyle | z- \ rangle _ {B}}$${\ displaystyle | z + \ rangle _ {B}}$${\ displaystyle | z- \ rangle _ {B}}$
• Os estados quânticos não podem ser discriminados perfeitamente.
• O teorema da não clonagem impede uma interpretação do princípio holográfico para buracos negros no sentido de que existem duas cópias de informações, uma situada no horizonte de eventos e a outra no interior do buraco negro. Isso leva a interpretações mais radicais, como a complementaridade do buraco negro .
• O teorema da não-clonagem se aplica a todas as categorias compactas de punhal : não há morfismo de clonagem universal para qualquer categoria não trivial desse tipo. Embora o teorema seja inerente à definição desta categoria, não é trivial ver que assim é; o insight é importante, pois esta categoria inclui coisas que não são espaços de Hilbert de dimensão finita, incluindo a categoria de conjuntos e relações e a categoria de cobordismos .

Clonagem imperfeita

Embora seja impossível fazer cópias perfeitas de um estado quântico desconhecido, é possível produzir cópias imperfeitas. Isso pode ser feito acoplando um sistema auxiliar maior ao sistema a ser clonado e aplicando uma transformação unitária ao sistema combinado. Se a transformação unitária for escolhida corretamente, vários componentes do sistema combinado irão evoluir para cópias aproximadas do sistema original. Em 1996, V. Buzek e M. Hillery mostraram que uma máquina universal de clonagem pode fazer um clone de um estado desconhecido com a surpreendentemente alta fidelidade de 5/6.

A clonagem quântica imperfeita pode ser usada como um ataque de espionagem em protocolos de criptografia quântica , entre outros usos na ciência da informação quântica.

Veja também

Referências

Outras fontes

• V. Buzek e M. Hillery, Quantum cloning , Physics World 14 (11) (2001), pp. 25-29.