Conjectura de geometrização - Geometrization conjecture

Teorema de geometrização

Campo	Topologia geométrica
Conjecturado por	William Thurston
Conjecturado em	1982
Primeira prova por	Grigori Perelman
Primeira prova em	2006
Consequências	Poincaré conjectura conjectura de eliptização de Thurston

Em matemática, a conjectura da geometrização de Thurston afirma que cada um de certos espaços topológicos tridimensionais tem uma estrutura geométrica única que pode ser associada a ela. É um análogo do teorema de uniformização para superfícies bidimensionais , que afirma que toda superfície de Riemann simplesmente conectada pode receber uma das três geometrias ( euclidiana , esférica ou hiperbólica ). Em três dimensões, nem sempre é possível atribuir uma única geometria a todo um espaço topológico. Em vez disso, a conjectura da geometrização afirma que cada variedade 3 fechada pode ser decomposta de forma canônica em partes, cada uma com um dos oito tipos de estrutura geométrica. A conjectura foi proposta por William Thurston  ( 1982 ) e implica várias outras conjecturas, como a conjectura de Poincaré e a conjectura de eliptização de Thurston .

O teorema da hiperbolização de Thurston implica que as variedades de Haken satisfazem a conjectura da geometrização. Thurston anunciou uma prova na década de 1980 e, desde então, várias provas completas foram publicadas.

Grigori Perelman esboçou uma prova da conjectura de geometrização total em 2003 usando o fluxo de Ricci com cirurgia . Existem agora vários manuscritos diferentes (veja abaixo) com detalhes da prova. A conjectura de Poincaré e a conjectura da forma do espaço esférico são corolários da conjectura da geometrização, embora existam provas mais curtas da primeira que não conduzem à conjectura da geometrização.

A conjectura

Uma variedade de 3 é chamada fechada se for compacta e não tiver limites .

Cada variedade 3 fechada tem uma decomposição primária : isso significa que é a soma conectada das variedades 3 principais (essa decomposição é essencialmente única, exceto por um pequeno problema no caso de variedades não orientáveis ). Isso reduz muito do estudo de variedades de 3 ao caso de variedades de 3 primos: aquelas que não podem ser escritas como uma soma conectada não trivial.

Aqui está uma declaração da conjectura de Thurston:

Cada variedade de 3 primários fechada orientada pode ser cortada ao longo dos toros , de modo que o interior de cada uma das variedades resultantes tenha uma estrutura geométrica com volume finito.

Existem 8 estruturas geométricas possíveis em 3 dimensões, descritas na próxima seção. Há uma maneira mínima única de cortar uma variedade de 3 orientada irredutível ao longo do tori em pedaços que são variedades Seifert ou atoroidal, chamada de decomposição JSJ , que não é exatamente o mesmo que a decomposição na conjectura de geometrização, porque algumas das peças no A decomposição JSJ pode não ter estruturas geométricas de volume finito. (Por exemplo, o toro de mapeamento de um mapa Anosov de um toro tem uma estrutura de solvente de volume finito, mas sua decomposição JSJ o abre ao longo de um toro para produzir um produto de um toro e um intervalo de unidade, e o interior deste não tem estrutura geométrica de volume finito.)

Para variedades não orientadas, a maneira mais fácil de estabelecer uma conjectura de geometrização é primeiro pegar a cobertura dupla orientada . Também é possível trabalhar diretamente com variedades não orientáveis, mas isso dá algumas complicações extras: pode ser necessário cortar ao longo de planos projetivos e garrafas de Klein , bem como esferas e toros, e variedades com um componente de contorno de plano projetivo geralmente não têm estrutura geométrica.

Em 2 dimensões, a afirmação análoga diz que toda superfície (sem limite) tem uma estrutura geométrica que consiste em uma métrica com curvatura constante; não é necessário cortar o manifold primeiro.

As oito geometrias de Thurston

Uma geometria de modelo é uma variedade lisa X simplesmente conectada com uma ação transitiva de um grupo de Lie G em X com estabilizadores compactos.

Uma geometria de modelo é chamada de máxima se G for máxima entre grupos agindo de maneira suave e transitiva em X com estabilizadores compactos. Às vezes, essa condição é incluída na definição da geometria de um modelo.

Uma estrutura geométrica em uma variedade M é um difeomorfismo de M a X / Γ para alguma geometria de modelo X , onde Γ é um subgrupo discreto de G agindo livremente em X  ; este é um caso especial de uma estrutura ( G , X ) completa . Se uma dada variedade admite uma estrutura geométrica, então admite uma cujo modelo é máximo.

A 3-dimensional do modelo geométrico X é relevante para a conjectura de geometrização se é máxima e se houver pelo menos um colector compacto com uma estrutura geométrica modelado em X . Thurston classificou as 8 geometrias do modelo que satisfazem essas condições; eles estão listados abaixo e às vezes são chamados de geometrias de Thurston . (Existem também inúmeras geometrias de modelo sem quocientes compactos.)

Há alguma conexão com os grupos Bianchi : os grupos de Lie tridimensionais. A maioria das geometrias de Thurston pode ser realizada como uma métrica invariante à esquerda em um grupo Bianchi. No entanto S ² × R não pode ser, o espaço euclidiano corresponde a dois grupos Bianchi diferentes, e há um número incontável de grupos Bianchi não unimodulares solucionáveis , muitos dos quais fornecem geometrias de modelo sem representantes compactos.

Geometria esférica S ³

O estabilizador de ponto é O (3, R ), e o grupo G é o grupo de Lie 6-dimensional O (4, R ), com 2 componentes. As variedades correspondentes são exatamente as três variedades fechadas com grupo fundamental finito . Os exemplos incluem a 3-esfera , a esfera de homologia de Poincaré , os espaços das lentes . Esta geometria pode ser modelada como uma métrica invariante à esquerda no grupo Bianchi do tipo IX . Os manifolds com essa geometria são todos compactos, orientáveis ​​e têm a estrutura de um espaço de fibra Seifert (geralmente de várias maneiras). A lista completa de tais variedades é fornecida no artigo sobre variedades 3 esféricas . Sob o fluxo de Ricci, as variedades com essa geometria entram em colapso até um ponto no tempo finito.

Geometria Euclidiana E ³

O estabilizador de ponto é O (3, R ), e o grupo G é o grupo de Lie 6-dimensional R ³ × O (3, R ), com 2 componentes. Os exemplos são o toro 3 e , mais geralmente, o toro de mapeamento de um automorfismo de ordem finita do toro 2; veja o pacote de toro . Existem exatamente 10 manifolds finitos fechados com esta geometria, 6 orientáveis ​​e 4 não orientáveis. Esta geometria pode ser modelada como uma métrica invariante à esquerda nos grupos Bianchi do tipo I ou VII ₀ . Os coletores de volume finito com essa geometria são todos compactos e têm a estrutura de um espaço de fibra Seifert (às vezes de duas maneiras). A lista completa de tais manifolds é fornecida no artigo sobre espaços de fibra Seifert . Sob o fluxo de Ricci, variedades com geometria euclidiana permanecem invariantes.

Geometria hiperbólica H ³

O estabilizador de ponto é O (3, R ), e o grupo G é o grupo de Lie 6-dimensional O ⁺ (1, 3, R ), com 2 componentes. Há um grande número de exemplos disso, e sua classificação não é completamente compreendida. O exemplo com menor volume é o coletor de semanas . Outros exemplos são dados pelo espaço Seifert-Weber , ou por cirurgias Dehn "suficientemente complicadas" em links , ou pela maioria das variedades de Haken . A conjectura de geometrização implica que uma variedade 3 fechada é hiperbólica se e somente se for irredutível, atoroidal e tem grupo fundamental infinito. Esta geometria pode ser modelado como uma invariante esquerda métrica no grupo Bianchi de tipo V . Sob o fluxo de Ricci, as variedades com geometria hiperbólica se expandem.

A geometria de S ² × R

O estabilizador de ponto é O (2, R ) × Z / 2 Z , e o grupo G é O (3, R ) × R × Z / 2 Z , com 4 componentes. As quatro variedades de volume finito com esta geometria são: S ² × S ¹ , o toro de mapeamento do mapa antípoda de S ² , a soma conectada de duas cópias do espaço projetivo tridimensional e o produto de S ¹ com o bidimensional espaço projetivo. Os dois primeiros são toros de mapeamento do mapa de identidade e mapa antípoda da 2-esfera, e são os únicos exemplos de 3-variedades que são primos, mas não irredutíveis. O terceiro é o único exemplo de uma soma conectada não trivial com uma estrutura geométrica. Este é o único modelo de geometria que não pode ser realizado como uma métrica invariante à esquerda em um grupo de Lie tridimensional. Os coletores de volume finito com essa geometria são todos compactos e têm a estrutura de um espaço de fibra Seifert (geralmente de várias maneiras). Sob o fluxo Ricci normalizado, as variedades com esta geometria convergem para uma variedade unidimensional.

A geometria de H ² × R

O estabilizador de ponto é O (2, R ) × Z / 2 Z , e o grupo G é O ⁺ (1, 2, R ) × R × Z / 2 Z , com 4 componentes. Os exemplos incluem o produto de uma superfície hiperbólica com um círculo ou, mais geralmente, o toro de mapeamento de uma isometria de uma superfície hiperbólica. Os coletores de volume finito com esta geometria têm a estrutura de um espaço de fibra Seifert se forem orientáveis. (Se não forem orientáveis, a fibração natural por círculos não é necessariamente uma fibração Seifert: o problema é que algumas fibras podem "reverter a orientação"; em outras palavras, suas vizinhanças parecem garrafas de Klein sólidas com fibra em vez de toros sólidos.) A classificação de tais coletores (orientados) são fornecidos no artigo sobre espaços de fibra Seifert . Esta geometria pode ser modelada como uma métrica invariante à esquerda no grupo Bianchi do tipo III . Sob o fluxo Ricci normalizado, os manifolds com esta geometria convergem para um manifold bidimensional.

A geometria da tampa universal do SL (2, "R")

A cobertura universal de SL (2, R ) é indicada . Fibra sobre H ² . O grupo G tem 2 componentes. Seu componente de identidade possui a estrutura . O estabilizador de ponto é O (2, R ). ${\ displaystyle {\ widetilde {\ rm {SL}}} (2, \ mathbf {R})}$${\ displaystyle (\ mathbf {R} \ times {\ widetilde {\ rm {SL}}} _ {2} (\ mathbf {R})) / \ mathbf {Z}}$

Exemplos dessas variedades incluem: a variedade de vetores unitários do feixe tangente de uma superfície hiperbólica e, mais geralmente, as esferas de homologia de Brieskorn (exceto a 3-esfera e o espaço dodecaédrico de Poincare ). Esta geometria pode ser modelada como uma métrica invariante à esquerda no grupo Bianchi do tipo VIII . Os coletores de volume finito com esta geometria são orientáveis ​​e têm a estrutura de um espaço de fibra Seifert . A classificação de tais variedades é fornecida no artigo sobre espaços de fibra Seifert . Sob o fluxo Ricci normalizado, os manifolds com esta geometria convergem para um manifold bidimensional.

Geometria nula

Esta fibras sobre E ² , e é a geometria do grupo de Heisenberg . O estabilizador de ponto é O (2, R ). O grupo G tem 2 componentes e é um produto semidireto do grupo de Heisenberg tridimensional pelo grupo O (2, R ) de isometrias de um círculo. Variedades compactas com esta geometria incluem o toro de mapeamento de uma torção de Dehn de um toro 2, ou o quociente do grupo de Heisenberg pelo "grupo de Heisenberg integral". Esta geometria pode ser modelada como uma métrica invariante à esquerda no grupo Bianchi do tipo II . Os coletores de volume finito com esta geometria são compactos e orientáveis ​​e têm a estrutura de um espaço de fibra Seifert . A classificação de tais variedades é fornecida no artigo sobre espaços de fibra Seifert . Sob fluxo de Ricci normalizado, variedades compactas com esta geometria convergem para R ² com a métrica plana.

Geometria sol

Esta geometria (também chamada geometria Solv ) fibras sobre a linha com o plano de fibra, e é a geometria do componente de identidade do grupo G . O estabilizador de ponto é o grupo diedro de ordem 8. O grupo G tem 8 componentes e é o grupo de mapas do espaço de Minkowski bidimensional para si mesmo que são isometrias ou multiplicam a métrica por -1. O componente de identidade tem um subgrupo normal R ² com quociente R , onde R atua em R ² com 2 autoespaços (reais), com autovalores reais distintos do produto 1. Este é o grupo de Bianchi do tipo VI ₀ e a geometria pode ser modelada como uma métrica invariante à esquerda neste grupo. Todos os coletores de volume finito com geometria solv são compactos. As variedades compactas com geometria de solv são o toro de mapeamento de um mapa Anosov do toro 2 (tal mapa é um automorfismo do toro 2 dado por uma matriz 2 por 2 invertível cujos autovalores são reais e distintos, como ) , ou quocientes destes por grupos de ordem no máximo 8. Os autovalores do automorfismo do toro geram uma ordem de um campo quadrático real, e as variedades solv poderiam, em princípio, ser classificadas em termos das unidades e classes ideais desta ordem , embora os detalhes não pareçam estar escritos em lugar nenhum. Sob fluxo de Ricci normalizado, coletores compactos com esta geometria convergem (bem lentamente) para R ¹ . ${\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {* {20} c} 2 & 1 \\ 1 & 1 \\\ end {array}} \ right)}$

Singularidade

Uma variedade 3 fechada tem uma estrutura geométrica de no máximo um dos 8 tipos acima, mas as variedades 3 não compactas de volume finito podem ocasionalmente ter mais de um tipo de estrutura geométrica. (No entanto, uma variedade pode ter muitas estruturas geométricas diferentes do mesmo tipo; por exemplo, uma superfície do gênero pelo menos 2 tem um continuum de diferentes métricas hiperbólicas.) Mais precisamente, se M for uma variedade com uma estrutura geométrica de volume finito, então o tipo de estrutura geométrica é quase determinado como segue, em termos do grupo fundamental π ₁ ( M ):

• Se π ₁ ( M ) é finito, então a estrutura geométrica em M é esférica e M é compacta.
• Se π ₁ ( M ) é virtualmente cíclico, mas não finito, então a estrutura geométrica em M é S ² × R , e M é compacta.
• Se π ₁ ( M ) é virtualmente abeliano, mas não virtualmente cíclico, então a estrutura geométrica em M é Euclidiana e M é compacta.
• Se π ₁ ( M ) é virtualmente nilpotente, mas não virtualmente abeliano, então a estrutura geométrica em M é geometria nula, e M é compacta.
• Se π ₁ ( M ) é virtualmente solucionável, mas não virtualmente nilpotente, então a estrutura geométrica em M é a geometria solv, e M é compacta.
• Se π ₁ ( M ) tem um subgrupo cíclico normal infinito, mas não é virtualmente solucionável, então a estrutura geométrica em M é H ² × R ou a cobertura universal de SL (2, R ). O coletor M pode ser compacto ou não compacto. Se for compacto, então as 2 geometrias podem ser distinguidas pelo fato de π ₁ ( M ) ter ou não um subgrupo de índice finito que se divide como um produto semidireto do subgrupo cíclico normal e algo mais. Se a variedade não for compacta, o grupo fundamental não pode distinguir as duas geometrias e há exemplos (como o complemento de um nó de trifólio) em que uma variedade pode ter uma estrutura geométrica de volume finito de qualquer tipo.
• Se π ₁ ( M ) não tem subgrupo cíclico normal infinito e não é virtualmente solucionável, então a estrutura geométrica em M é hiperbólica e M pode ser compacta ou não compacta.

As variedades de volume infinito podem ter muitos tipos diferentes de estrutura geométrica: por exemplo, R ³ pode ter 6 das diferentes estruturas geométricas listadas acima, pois 6 das 8 geometrias do modelo são homeomórficas a ele. Além disso, se o volume não precisa ser finito, há um número infinito de novas estruturas geométricas sem modelos compactos; por exemplo, a geometria de quase qualquer grupo de Lie tridimensional não unimodular.

Pode haver mais de uma maneira de decompor um 3-manifold fechado em pedaços com estruturas geométricas. Por exemplo:

• Pegar somas conectadas com várias cópias de S ³ não altera uma variedade.
• A soma conectada de dois espaços projetivos de 3 tem uma geometria S ² × R , e também é a soma conectada de duas peças com geometria S ³ .
• O produto de uma superfície de curvatura negativa e um círculo tem uma estrutura geométrica, mas também pode ser cortado ao longo do tori para produzir peças menores que também possuem estruturas geométricas. Existem muitos exemplos semelhantes para espaços de fibra Seifert.

É possível escolher uma decomposição "canônica" em peças com estrutura geométrica, por exemplo, cortando primeiro o coletor em peças primárias de uma maneira mínima e, em seguida, cortando-as usando o menor número possível de toros. No entanto, essa decomposição mínima não é necessariamente a produzida pelo fluxo de Ricci; na verdade, o fluxo de Ricci pode cortar uma variedade em pedaços geométricos de muitas maneiras desiguais, dependendo da escolha da métrica inicial.

História

A Medalha Fields foi concedida a Thurston em 1982 parcialmente por sua prova da conjectura de geometrização para variedades de Haken .

O caso de três variedades que deveriam ser esféricas foi mais lento, mas forneceu a centelha necessária para Richard S. Hamilton desenvolver seu fluxo de Ricci . Em 1982, Hamilton mostrou que dada uma variedade fechada de 3 com uma métrica de curvatura de Ricci positiva , o fluxo de Ricci colapsaria a variedade para um ponto no tempo finito, o que prova a conjectura de geometrização para este caso quando a métrica se torna "quase redonda" pouco antes do colapso. Mais tarde, ele desenvolveu um programa para provar a conjectura de geometrização de fluxo de Ricci com cirurgia . A ideia é que o fluxo de Ricci em geral produz singularidades, mas é possível continuar o fluxo de Ricci além da singularidade usando cirurgia para alterar a topologia do manifold. Grosso modo, o fluxo de Ricci contrai as regiões de curvatura positiva e expande as regiões de curvatura negativa, então ele deve matar as peças da variedade com as geometrias de "curvatura positiva" S ³ e S ² × R , enquanto o que resta em grandes momentos deve ter uma decomposição espesso-fina em um pedaço "espesso" com geometria hiperbólica e uma variedade de gráfico "fino" .

Em 2003, Grigori Perelman esboçou uma prova da conjectura da geometrização, mostrando que o fluxo de Ricci pode de fato ser continuado além das singularidades e tem o comportamento descrito acima. A principal dificuldade em verificar a prova de Perelman da conjectura da geometrização foi um uso crítico de seu Teorema 7.4 na pré-impressão 'Ricci Flow com cirurgia em três variedades'. Este teorema foi afirmado por Perelman sem prova. Existem agora várias provas diferentes do Teorema de Perelman 7.4, ou variantes dele que são suficientes para provar a geometrização. Existe o artigo de Shioya e Yamaguchi que usa o teorema de estabilidade de Perelman e um teorema de fibração para espaços de Alexandrov . Este método, com detalhes completos que levam à prova da geometrização, pode ser encontrado na exposição de Bruce Kleiner e John Lott .

Uma segunda rota para a última parte da prova de geometrização de Perelman é o método de Bessières et al. , que usa o teorema de hiperbolização de Thurston para variedades de Haken e a norma de Gromov para variedades de 3. Um livro dos mesmos autores com detalhes completos de sua versão da prova foi publicado pela European Mathematical Society .

Também contendo provas do Teorema de Perelman 7.4, há um artigo de Morgan e Tian , outro artigo de Kleiner e Lott e um artigo de Jianguo Cao e Jian Ge.

Notas

Referências

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• F. Bonahon Geometric Structures on 3-manifolds Handbook of Geometric Topology (2002) Elsevier.
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• G. Perelman, Ricci flow with surgery on three-manifolds , 2003
• G. Perelman, Tempo de extinção finito para as soluções para o fluxo de Ricci em certas três variedades , 2003
• Bruce Kleiner e John Lott, Notes on Perelman's Papers (maio de 2006) (preenche os detalhes da prova de Perelman da conjectura de geometrização).
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• John W. Morgan . Progresso recente na conjectura de Poincaré e na classificação de 3-variedades. Bulletin Amer. Matemática. Soc. 42 (2005) no. 1, 57-78 (o artigo expositivo explica as oito geometrias e conjecturas de geometrização brevemente, e dá um esboço da prova de Perelman da conjectura de Poincaré)
• Morgan, John W.; Fong, Frederick Tsz-Ho (2010). Fluxo de Ricci e geometrização de 3 manifolds . Série de palestras da universidade. ISBN 978-0-8218-4963-7. Página visitada em 2010-09-26 .
• Morgan, John W.; Tian, ​​Gang (2014), The Geometrization Conjecture , Clay Mathematics Monographs, 5 , American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-5201-9
• Scott, Peter The geometries of 3-manifolds. ( errata ) Bull. London Math. Soc. 15 (1983), no. 5, 401–487.
• Thurston, William P. (1982). "Variedades tridimensionais, grupos kleinianos e geometria hiperbólica" . Boletim da American Mathematical Society . Nova série. 6 (3): 357–381. doi : 10.1090 / S0273-0979-1982-15003-0 . ISSN  0002-9904 . MR  0648524 . Isso dá a afirmação original da conjectura.
• William Thurston. Geometria e topologia tridimensional. Vol. 1 . Editado por Silvio Levy. Princeton Mathematical Series, 35. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1997. x + 311 pp.  ISBN  0-691-08304-5 (explicação detalhada das oito geometrias e a prova de que existem apenas oito)
• William Thurston. The Geometry and Topology of Three-manifolds , 1980 notas de aula de Princeton sobre estruturas geométricas em 3-manifolds.

links externos

• "The Geometry of 3-Manifolds (video)" . Arquivado do original em 27 de janeiro de 2010 . Recuperado em 20 de janeiro de 2010 .Uma palestra pública sobre as conjecturas de Poincaré e geometrização, proferida por C. McMullen em Harvard em 2006.