Cálculo estocástico - Stochastic calculus

O cálculo estocástico é um ramo da matemática que opera em processos estocásticos . Ele permite que uma teoria consistente de integração seja definida para integrais de processos estocásticos com respeito a processos estocásticos.

O processo estocástico mais conhecido ao qual o cálculo estocástico é aplicado é o processo de Wiener (nomeado em homenagem a Norbert Wiener ), que é usado para modelar o movimento browniano conforme descrito por Louis Bachelier em 1900 e por Albert Einstein em 1905 e outros processos de difusão física no espaço de partículas sujeitas a forças aleatórias. Desde a década de 1970, o processo Wiener tem sido amplamente aplicado em matemática e economia financeira para modelar a evolução temporal dos preços das ações e das taxas de juros dos títulos.

Os principais sabores do cálculo estocástico são o cálculo Itô e seu parente variacional, o cálculo Malliavin . Por razões técnicas, a integral de Itô é a mais útil para classes gerais de processos, mas a integral de Stratonovich relacionada é freqüentemente útil na formulação de problemas (particularmente em disciplinas de engenharia). A integral de Stratonovich pode ser prontamente expressa em termos da integral de Itô. O principal benefício da integral de Stratonovich é que ela obedece à regra da cadeia usual e, portanto, não requer o lema de Itô . Isso permite que os problemas sejam expressos em uma forma invariante do sistema de coordenadas, o que é inestimável ao desenvolver o cálculo estocástico em variedades diferentes de R ⁿ . O teorema da convergência dominada não é válido para a integral de Stratonovich; conseqüentemente, é muito difícil provar resultados sem reexpressar as integrais na forma Itô.

Itô integral

A integral de Itô é central para o estudo do cálculo estocástico. A integral é definido para um semimartingale X e delimitada localmente previsível processo H . ${\ displaystyle \ int H \, dX}$

Integral de Stratonovich

A integral de Stratonovich de um semimartingale contra outro semimartingale Y pode ser definida em termos da integral de Itô como ${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {t} X_ {s -} \ circ dY_ {s}: = \ int _ {0} ^ {t} X_ {s-} dY_ {s} + {\ frac { 1} {2}} \ left [X, Y \ right] _ {t} ^ {c},}$

em que [ X ,  Y ] _t ^c denota a covariação quadrática das partes contínuas de X e  Y . A notação alternativa

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {t} X_ {s} \, \ parcial Y_ {s}}$

também é usado para denotar a integral de Stratonovich.

Formulários

Uma aplicação importante do cálculo estocástico é em finanças matemáticas , nas quais os preços dos ativos são frequentemente considerados como seguindo equações diferenciais estocásticas . No modelo Black-Scholes , os preços são considerados como seguindo o movimento browniano geométrico .

Referências

• Fima C Klebaner, 2012, Introdução ao Cálculo Estocástico com Aplicação (3ª Edição). Publicação Científica Mundial, ISBN  9781848168312
• Szabados, TS; Székely, BZ (2008). "Integração estocástica baseada em caminhadas aleatórias simples e simétricas". Journal of Theoretical Probability . 22 : 203. arXiv : 0712.3908 . doi : 10.1007 / s10959-007-0140-8 . Pré-impressão