Teorema da divergência - Divergence theorem

No cálculo vetorial , o teorema da divergência , também conhecido como teorema de Gauss ou teorema de Ostrogradsky , é um teorema que relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a divergência do campo no volume incluído.

Mais precisamente, o teorema da divergência afirma que a integral de superfície de um campo vetorial sobre uma superfície fechada, que é chamada de fluxo através da superfície, é igual à integral de volume da divergência sobre a região dentro da superfície. Intuitivamente, ele afirma que a soma de todas as fontes do campo em uma região (com sumidouros considerados fontes negativas) dá o fluxo líquido para fora da região .

O teorema da divergência é um resultado importante para a matemática da física e da engenharia , particularmente em eletrostática e dinâmica de fluidos . Nestes campos, geralmente é aplicado em três dimensões. No entanto, ele generaliza para qualquer número de dimensões. Em uma dimensão, é equivalente à integração por partes . Em duas dimensões, é equivalente ao teorema de Green .

Explicação usando fluxo de líquido

Os campos vetoriais são frequentemente ilustrados usando o exemplo do campo de velocidade de um fluido , como um gás ou líquido. Um líquido em movimento tem uma velocidade - uma velocidade e uma direção - em cada ponto, que pode ser representada por um vetor , de modo que a velocidade do líquido forma um campo vetorial. Considere uma superfície fechada imaginária S dentro de um corpo de líquido, envolvendo um volume de líquido. O fluxo de líquido para fora do volume é igual à taxa de volume do fluido que cruza essa superfície, ou seja, a integral de superfície da velocidade sobre a superfície.

Como os líquidos são incompressíveis, a quantidade de líquido dentro de um volume fechado é constante; se não houver fontes ou sumidouros dentro do volume, então o fluxo de líquido para fora de S é zero. Se o líquido está em movimento, ele pode fluir para dentro do volume em alguns pontos sobre a superfície S e fora do volume em outros pontos, mas os valores que entram e saem em qualquer momento são iguais, de modo que o líquido do fluxo de saída de líquido da o volume é zero.

No entanto, se uma fonte de líquido estiver dentro da superfície fechada, como um tubo através do qual o líquido é introduzido, o líquido adicional exercerá pressão sobre o líquido circundante, causando um fluxo para fora em todas as direções. Isto irá causar um líquido para fora de fluxo através da superfície S . O fluxo para fora através de S é igual à taxa de volume do fluxo de fluido para S do tubo. Da mesma forma, se houver uma pia ou dreno dentro de S , como um tubo que drena o líquido, a pressão externa do líquido causará uma velocidade através do líquido direcionada para dentro em direção ao local do dreno. A taxa de volume do fluxo de líquido para dentro através da superfície S é igual à taxa de líquido removido pela pia.

Se houver várias fontes e sumidouros de líquido dentro de S , o fluxo através da superfície pode ser calculado somando a taxa de volume de líquido adicionado pelas fontes e subtraindo a taxa de líquido drenado pelos sumidouros. A taxa de volume do fluxo de líquido através de uma fonte ou sumidouro (com o fluxo através de um sumidouro dado um sinal negativo) é igual à divergência do campo de velocidade na boca do tubo, somando assim (integrando) a divergência do líquido ao longo o volume encerrado pelo S é igual à taxa de volume de fluxo através de S . Este é o teorema da divergência.

O teorema da divergência é empregado em qualquer lei de conservação que afirma que o volume total de todos os sumidouros e fontes, ou seja, o volume integral da divergência, é igual ao fluxo líquido através da fronteira do volume.

Declaração matemática

Uma região V limitada pela superfície com a normal de superfície n${\ displaystyle S = \ parcial V}$

Suponha que V seja um subconjunto de (no caso de n = 3, V representa um volume no espaço tridimensional ) que é compacto e tem um limite suave por partes S (também indicado por ). Se F é um campo vetorial continuamente diferenciável definido em uma vizinhança de V , então: ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ partial V = S}$

${\ displaystyle \ iiint _ {V} \ left (\ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {F} \ right) \, \ mathrm {d} V =}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle S}$ ${\ displaystyle (\ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}}) \, \ mathrm {d} S.}$

O lado esquerdo é um integral de volume sobre o volume V , do lado direito é o integral de superfície sobre o limite do volume V . A variedade fechada é orientada por normais apontando para fora e é a unidade normal apontando para fora em cada ponto da fronteira . ( pode ser usado como uma abreviação para .) Em termos da descrição intuitiva acima, o lado esquerdo da equação representa o total das fontes no volume V e o lado direito representa o fluxo total através da fronteira S . ${\ displaystyle \ parcial V}$${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {n}}}$${\ displaystyle \ parcial V}$${\ displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {S}}$${\ displaystyle \ mathbf {n} \ mathrm {d} S}$

Derivação informal

O teorema da divergência segue do fato de que, se um volume V é dividido em partes separadas, o fluxo de saída do volume original é igual à soma do fluxo de saída de cada volume do componente. Isso é verdade apesar do fato de que os novos subvolumes têm superfícies que não faziam parte da superfície do volume original, porque essas superfícies são apenas partições entre dois dos subvolumes e o fluxo através deles apenas passa de um volume para o outro e assim se cancela quando o fluxo fora dos subvolumes é somado.

Um volume dividido em dois subvolumes. À direita, os dois subvolumes são separados para mostrar o fluxo das diferentes superfícies.

Veja o diagrama. Um volume fechado e limitado V é dividido em dois volumes V ₁ e V ₂ por uma superfície S ₃ (verde) . O fluxo Φ ( V _i ) de cada região componente V _i é igual à soma do fluxo através de suas duas faces, então a soma do fluxo das duas partes é

${\ displaystyle \ Phi (V _ {\ text {1}}) + \ Phi (V _ {\ text {2}}) = \ Phi _ {\ text {1}} + \ Phi _ {\ text {31}} + \ Phi _ {\ text {2}} + \ Phi _ {\ text {32}}}$

onde Φ ₁ e Φ ₂ são o fluxo das superfícies S ₁ e S ₂ , Φ ₃₁ é o fluxo de S ₃ do volume 1 e Φ ₃₂ é o fluxo de S ₃ do volume 2. O ponto é essa superfície S ₃ faz parte da superfície de ambos os volumes. A direção "para fora" do vetor normal é oposta para cada volume, então o fluxo de saída de um através de S ₃ é igual ao negativo do fluxo de saída do outro ${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {n}}}$

${\ displaystyle \ Phi _ {\ text {31}} = \ iint _ {S_ {3}} \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}} \; \ mathrm {d} S = - \ iint _ {S_ {3}} \ mathbf {F} \ cdot (- \ mathbf {\ hat {n}}) \; \ mathrm {d} S = - \ Phi _ {\ text {32}}}$

então, esses dois fluxos se cancelam na soma. Portanto

${\ displaystyle \ Phi (V _ {\ text {1}}) + \ Phi (V _ {\ text {2}}) = \ Phi _ {\ text {1}} + \ Phi _ {\ text {2}} }$

Como a união das superfícies S ₁ e S ₂ é S

${\ displaystyle \ Phi (V _ {\ text {1}}) + \ Phi (V _ {\ text {2}}) = \ Phi (V)}$

O volume pode ser dividido em qualquer número de subvolumes e o fluxo de V é igual à soma do fluxo de cada subvolume, porque o fluxo através das superfícies verdes se anula na soma. Em (b) os volumes são mostrados ligeiramente separados, ilustrando que cada partição verde faz parte do limite de dois volumes adjacentes

Este princípio se aplica a um volume dividido em qualquer número de partes, conforme mostrado no diagrama. Uma vez que a integral sobre cada partição interna (superfícies verdes) aparece com sinais opostos no fluxo dos dois volumes adjacentes, eles se cancelam, e a única contribuição para o fluxo é a integral sobre as superfícies externas (cinza) . Uma vez que as superfícies externas de todos os volumes dos componentes são iguais à superfície original.

${\ displaystyle \ Phi (V) = \ sum _ {V _ {\ text {i}} \ subconjunto V} \ Phi (V _ {\ text {i}})}$

Como o volume é subdividido em partes menores, a proporção do fluxo de cada volume para o volume se aproxima${\ displaystyle \ Phi (V _ {\ text {i}})}$${\ displaystyle | V _ {\ text {i}} |}$${\ displaystyle \ operatorname {div} \ mathbf {F}}$

O fluxo Φ de cada volume é a integral da superfície do campo vetorial F ( x ) sobre a superfície

${\ displaystyle \ iint _ {S (V)} \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}} \; \ mathrm {d} S = \ sum _ {V _ {\ text {i}} \ subconjunto V} \ iint _ {S (V _ {\ text {i}})} \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}} \; \ mathrm {d} S}$

O objetivo é dividir o volume original em um número infinito de volumes infinitesimais. Como o volume é dividido em partes cada vez menores, a integral de superfície à direita, o fluxo de cada subvolume, se aproxima de zero porque a área de superfície S ( V _i ) se aproxima de zero. No entanto, a partir da definição de divergência , a razão entre fluxo e volume,, a parte entre parênteses abaixo, não desaparece em geral, mas se aproxima da divergência div F conforme o volume se aproxima de zero. ${\ displaystyle {\ frac {\ Phi (V _ {\ text {i}})} {| V _ {\ text {i}} |}} = {\ frac {1} {| V _ {\ text {i}} |}} \ iint _ {S (V _ {\ text {i}})} \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}} \; \ mathrm {d} S}$

${\ displaystyle \ iint _ {S (V)} \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}} \; \ mathrm {d} S = \ sum _ {V _ {\ text {i}} \ subconjunto V} \ left ({\ frac {1} {| V _ {\ text {i}} |}} \ iint _ {S (V _ {\ text {i}})} \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}} \; \ mathrm {d} S \ direita) | V _ {\ text {i}} |}$

Contanto que o campo vetorial F ( x ) tenha derivadas contínuas, a soma acima se mantém mesmo no limite quando o volume é dividido em incrementos infinitamente pequenos

${\ displaystyle \ iint _ {S (V)} \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}} \; \ mathrm {d} S = \ lim _ {| V _ {\ text {i}} | \ to 0} \ sum _ {V _ {\ text {i}} \ subconjunto V} \ left ({\ frac {1} {| V _ {\ text {i}} |}} \ iint _ {S (V_ {\ text {i}})} \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}} \; \ mathrm {d} S \ direita) | V _ {\ text {i}} |}$

Conforme se aproxima do volume zero, torna-se o dV infinitesimal , a parte entre parênteses torna-se a divergência e a soma torna-se uma integral de volume sobre V${\ displaystyle | V _ {\ text {i}} |}$

Como esta derivação é livre de coordenadas, mostra que a divergência não depende das coordenadas utilizadas.

Corolários

Substituindo F no teorema da divergência por formas específicas, outras identidades úteis podem ser derivadas (cf. identidades de vetor ).

• Com uma função escalar ge um campo vetorial F ,${\ displaystyle \ mathbf {F} \ rightarrow \ mathbf {F} g}$

${\ displaystyle \ iiint _ {V} \ left [\ mathbf {F} \ cdot \ left (\ nabla g \ right) + g \ left (\ nabla \ cdot \ mathbf {F} \ right) \ right] \ mathrm {d} V =}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle S}$ ${\ displaystyle g \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {n} \ mathrm {d} S.}$

Um caso especial disso é , caso em que o teorema é a base para as identidades de Green .${\ displaystyle \ mathbf {F} = \ nabla f}$

• Com para dois campos de vetor F e G , onde denota um produto vetorial ,${\ displaystyle \ mathbf {F} \ rightarrow \ mathbf {F} \ times \ mathbf {G}}$${\ displaystyle \ times}$

${\ displaystyle \ iiint _ {V} \ nabla \ left (\ mathbf {F} \ times \ mathbf {G} \ right) \ mathrm {d} V = \ iiint _ {V} \ left [\ mathbf {G} \ cdot \ left (\ nabla \ times \ mathbf {F} \ right) - \ mathbf {F} \ cdot \ left (\ nabla \ times \ mathbf {G} \ right) \ right] \, \ mathrm {d} V =}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle S}$ ${\ displaystyle (\ mathbf {F} \ times \ mathbf {G}) \ cdot \ mathbf {n} \ mathrm {d} S.}$

• Com para dois campos de vetor F e G , onde denota um produto escalar,${\ displaystyle \ mathbf {F} \ rightarrow \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {G}}$${\ displaystyle \ cdot}$

${\ displaystyle \ iiint _ {V} \ nabla \ left (\ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {G} \ right) \ mathrm {d} V = \ iiint _ {V} \ left [\ mathbf {F} \ cdot \ left (\ nabla \ cdot \ mathbf {G} \ right) + \ left (\ nabla \ cdot \ mathbf {F} \ right) \ cdot \ mathbf {G} \ right] \, \ mathrm {d} V =}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle S}$ ${\ displaystyle (\ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {G}) \ cdot \ mathbf {n} \ mathrm {d} S.}$

• Com para uma função escalar f e campo vetorial c :${\ displaystyle \ mathbf {F} \ rightarrow f \ mathbf {c}}$  

${\ displaystyle \ iiint _ {V} \ mathbf {c} \ cdot \ nabla f \, \ mathrm {d} V =}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle S}$ ${\ displaystyle (\ mathbf {c} f) \ cdot \ mathbf {n} \ mathrm {d} S- \ iiint _ {V} f (\ nabla \ cdot \ mathbf {c}) \, \ mathrm {d} V.}$

O último termo à direita desaparece para campo vetorial constante ou livre de divergência (solenoidal), por exemplo, fluxos incompressíveis sem fontes ou sumidouros, como mudança de fase ou reações químicas, etc. Em particular, considerando ser constante:${\ displaystyle \ mathbf {c}}$${\ displaystyle \ mathbf {c}}$

${\ displaystyle \ iiint _ {V} \ nabla f \, \ mathrm {d} V =}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle S}$ ${\ displaystyle f \ mathbf {n} \ mathrm {d} S.}$

• Com para campo vetorial F e vetor constante c :${\ displaystyle \ mathbf {F} \ rightarrow \ mathbf {c} \ times \ mathbf {F}}$

${\ displaystyle \ iiint _ {V} \ mathbf {c} \ cdot (\ nabla \ times \ mathbf {F}) \, \ mathrm {d} V =}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle S}$ ${\ displaystyle (\ mathbf {F} \ times \ mathbf {c}) \ cdot \ mathbf {n} \ mathrm {d} S.}$

Reordenando o produto triplo no lado direito e tirando o vetor constante da integral,

${\ displaystyle \ iiint _ {V} (\ nabla \ times \ mathbf {F}) \, \ mathrm {d} V \ cdot \ mathbf {c} =}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle S}$ ${\ displaystyle (\ mathrm {d} \ mathbf {S} \ times \ mathbf {F}) \ cdot \ mathbf {c}.}$

Portanto,

${\ displaystyle \ iiint _ {V} (\ nabla \ times \ mathbf {F}) \, \ mathrm {d} V =}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle S}$ ${\ displaystyle \ mathbf {n} \ times \ mathbf {F} \ mathrm {d} S.}$

Exemplo

O campo vetorial correspondente ao exemplo mostrado. Os vetores podem apontar para dentro ou para fora da esfera.

O teorema da divergência pode ser usado para calcular um fluxo através de uma superfície fechada que envolve totalmente um volume, como qualquer uma das superfícies à esquerda. Ele pode não ser diretamente usados para calcular o fluxo através de superfícies com limites, como aqueles à direita. (As superfícies são azuis, os limites são vermelhos.)

Suponha que desejamos avaliar

${\ displaystyle \ scriptstyle S}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {n} \, \ mathrm {d} S,}$

onde S é a esfera unitária definida por

${\ displaystyle S = \ left \ {(x, y, z) \ in \ mathbb {R} ^ {3} \: \ x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = 1 \ direito\},}$

e F é o campo vetorial

${\ displaystyle \ mathbf {F} = 2x \ mathbf {i} + y ^ {2} \ mathbf {j} + z ^ {2} \ mathbf {k}.}$

O cálculo direto desta integral é bastante difícil, mas podemos simplificar a derivação do resultado usando o teorema da divergência, porque o teorema da divergência diz que a integral é igual a:

${\ displaystyle \ iiint _ {W} (\ nabla \ cdot \ mathbf {F}) \, \ mathrm {d} V = 2 \ iiint _ {W} (1 + y + z) \, \ mathrm {d} V = 2 \ iiint _ {W} \ mathrm {d} V + 2 \ iiint _ {W} y \, \ mathrm {d} V + 2 \ iiint _ {W} z \, \ mathrm {d} V, }$

onde W é a bola unitária:

${\ displaystyle W = \ left \ {(x, y, z) \ in \ mathbb {R} ^ {3} \: \ x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} \ leq 1 \direito\}.}$

Como a função y é positiva em um hemisfério de W e negativa no outro, de forma igual e oposta, sua integral total sobre W é zero. O mesmo é verdade para z :

${\ displaystyle \ iiint _ {W} y \, \ mathrm {d} V = \ iiint _ {W} z \, \ mathrm {d} V = 0.}$

Portanto,

${\ displaystyle \ scriptstyle S}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {n} \, \ mathrm {d} S = 2 \ iiint _ {W} \, dV = {\ frac {8 \ pi} {3}},}$

porque a bola unitária W tem volume 4 π/3.

Formulários

Forma diferencial e forma integral das leis físicas

Como resultado do teorema da divergência, uma série de leis físicas podem ser escritas em uma forma diferencial (onde uma quantidade é a divergência de outra) e uma forma integral (onde o fluxo de uma quantidade através de uma superfície fechada é igual a outra quantidade). Três exemplos são a lei de Gauss (em eletrostática ), a lei de Gauss para o magnetismo e a lei de Gauss para a gravidade .

Equações de continuidade

As equações de continuidade oferecem mais exemplos de leis com formas diferencial e integral, relacionadas entre si pelo teorema da divergência. Em dinâmica de fluidos , eletromagnetismo , mecânica quântica , teoria da relatividade e vários outros campos, existem equações de continuidade que descrevem a conservação de massa, momento, energia, probabilidade ou outras quantidades. Genericamente, essas equações afirmam que a divergência do fluxo da quantidade conservada é igual à distribuição das fontes ou sumidouros dessa quantidade. O teorema da divergência afirma que qualquer equação de continuidade pode ser escrita em uma forma diferencial (em termos de uma divergência) e em uma forma integral (em termos de um fluxo).

Leis do inverso do quadrado

Qualquer lei do inverso do quadrado pode, em vez disso, ser escrita na forma do tipo lei de Gauss (com uma forma diferencial e integral, conforme descrito acima). Dois exemplos são a lei de Gauss (em eletrostática), que segue do inverso do quadrado da lei de Coulomb , e a lei de Gauss para a gravidade , que segue do inverso do quadrado da lei da gravitação universal de Newton . A derivação da equação do tipo lei de Gauss a partir da formulação do inverso do quadrado ou vice-versa é exatamente a mesma em ambos os casos; consulte qualquer um desses artigos para obter detalhes.

História

Joseph-Louis Lagrange introduziu a noção de integrais de superfície em 1760 e novamente em termos mais gerais em 1811, na segunda edição de sua Mécanique Analytique . Lagrange empregou integrais de superfície em seu trabalho sobre mecânica dos fluidos. Ele descobriu o teorema da divergência em 1762.

Carl Friedrich Gauss também estava usando integrais de superfície enquanto trabalhava na atração gravitacional de um esferóide elíptico em 1813, quando provou casos especiais do teorema da divergência. Ele provou casos especiais adicionais em 1833 e 1839. Mas foi Mikhail Ostrogradsky , quem deu a primeira prova do teorema geral, em 1826, como parte de sua investigação do fluxo de calor. Casos especiais foram comprovados por George Green em 1828 em Um ensaio sobre a aplicação da análise matemática às teorias da eletricidade e do magnetismo , Siméon Denis Poisson em 1824 em um artigo sobre elasticidade e Frédéric Sarrus em 1828 em seu trabalho sobre corpos flutuantes.

Exemplos trabalhados

Exemplo 1

Para verificar a variante planar do teorema da divergência para uma região : ${\ displaystyle R}$

${\ displaystyle R = \ left \ {(x, y) \ in \ mathbb {R} ^ {2} \: \ x ^ {2} + y ^ {2} \ leq 1 \ right \},}$

e o campo vetorial:

${\ displaystyle \ mathbf {F} (x, y) = 2y \ mathbf {i} + 5x \ mathbf {j}.}$

O limite de é o círculo unitário , que pode ser representado parametricamente por: ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle C}$

${\ displaystyle x = \ cos (s), \ quad y = \ sin (s)}$

tal que onde unidades é o comprimento do arco do ponto ao ponto diante . Então, uma equação vetorial de é ${\ displaystyle 0 \ leq s \ leq 2 \ pi}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle s = 0}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle C}$

${\ displaystyle C (s) = \ cos (s) \ mathbf {i} + \ sin (s) \ mathbf {j}.}$

Em um ponto em : ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle C}$

${\ displaystyle P = (\ cos (s), \, \ sin (s)) \, \ Rightarrow \, \ mathbf {F} = 2 \ sin (s) \ mathbf {i} +5 \ cos (s) \ mathbf {j}.}$

Portanto,

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ oint _ {C} \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {n} \, \ mathrm {d} s & = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} (2 \ sin (s) \ mathbf {i} +5 \ cos (s) \ mathbf {j}) \ cdot (\ cos (s) \ mathbf {i} + \ sin (s) \ mathbf {j}) \, \ mathrm {d} s \\ & = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} (2 \ sin (s) \ cos (s) +5 \ sin (s) \ cos (s)) \, \ mathrm {d} s \\ & = 7 \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ sin (s) \ cos (s) \, \ mathrm {d} s \\ & = 0. \ end {alinhado }}}$

Porque , podemos avaliar , e porque , . Assim ${\ displaystyle M = 2y}$${\ displaystyle {\ frac {\ partial M} {\ partial x}} = 0}$${\ displaystyle N = 5x}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial N} {\ partial y}} = 0}$

${\ displaystyle \ iint _ {R} \, \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {F} \, \ mathrm {d} A = \ iint _ {R} \ left ({\ frac {\ parcial M} {\ parcial x}} + {\ frac {\ parcial N} {\ parcial y}} \ direita) \, \ mathrm {d} A = 0.}$

Exemplo 2

Digamos que desejamos avaliar o fluxo do seguinte campo vetorial definido por delimitado pelas seguintes desigualdades: ${\ displaystyle \ mathbf {F} = 2x ^ {2} {\ textbf {i}} + 2y ^ {2} {\ textbf {j}} + 2z ^ {2} {\ textbf {k}}}$

${\ displaystyle \ left \ {0 \ leq x \ leq 3 \ right \} \ left \ {- 2 \ leq y \ leq 2 \ right \} \ left \ {0 \ leq z \ leq 2 \ pi \ right \ }}$

Pelo teorema da divergência,

${\ displaystyle \ iiint _ {V} \ left (\ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {F} \ right) \ mathrm {d} V =}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle S}$ ${\ displaystyle (\ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {n}) \, \ mathrm {d} S.}$

Agora precisamos determinar a divergência de . Se for um campo vetorial tridimensional, a divergência de é dada por . ${\ displaystyle {\ textbf {F}}}$${\ displaystyle \ mathbf {F}}$${\ displaystyle {\ textbf {F}}}$${\ textstyle \ nabla \ cdot {\ textbf {F}} = \ left ({\ frac {\ parcial} {\ parcial x}} {\ textbf {i}} + {\ frac {\ parcial} {\ parcial y }} {\ textbf {j}} + {\ frac {\ partial} {\ partial z}} {\ textbf {k}} \ right) \ cdot {\ textbf {F}}}$

Assim, podemos configurar a seguinte integral de fluxo da seguinte forma: ${\ displaystyle I =}$ ${\ displaystyle {\ scriptstyle S}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {n} \, \ mathrm {d} S,}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} I & = \ iiint _ {V} \ nabla \ cdot \ mathbf {F} \, \ mathrm {d} V \\ [6pt] & = \ iiint _ {V} \ left ( {\ frac {\ parcial \ mathbf {F_ {x}}} {\ parcial x}} + {\ frac {\ parcial \ mathbf {F_ {y}}} {\ parcial y}} + {\ frac {\ parcial \ mathbf {F_ {z}}} {\ parcial z}} \ direita) \ mathrm {d} V \\ [6pt] & = \ iiint _ {V} (4x + 4y + 4z) \, \ mathrm {d } V \\ [6pt] & = \ int _ {0} ^ {3} \ int _ {- 2} ^ {2} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} (4x + 4y + 4z) \ , \ mathrm {d} V \ end {alinhado}}}$

Agora que configuramos a integral, podemos avaliá-la.

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ int _ {0} ^ {3} \ int _ {- 2} ^ {2} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} (4x + 4y + 4z) \ , \ mathrm {d} V & = \ int _ {- 2} ^ {2} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} (12y + 12z + 18) \, \ mathrm {d} y \, \ mathrm {d} z \\ [6pt] & = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} 24 (2z + 3) \, \ mathrm {d} z \\ [6pt] & = 48 \ pi (2 \ pi +3) \ end {alinhado}}}$

Generalizações

Dimensões múltiplas

Pode-se usar o Teorema de Stokes geral para igualar a integral de volume n- dimensional da divergência de um campo vetorial F sobre uma região U à integral de superfície ( n - 1) -dimensional de F sobre a fronteira de U :

${\ displaystyle \ underbrace {\ int \ cdots \ int _ {U}} _ {n} \ nabla \ cdot \ mathbf {F} \, \ mathrm {d} V = \ underbrace {\ oint _ {} \ cdots \ oint _ {\ U parcial}} _ {n-1} \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {n} \, \ mathrm {d} S}$

Essa equação também é conhecida como teorema da divergência.

Quando n = 2 , isso é equivalente ao teorema de Green .

Quando n = 1 , reduz-se à integração por partes .

Campos tensores

Escrevendo o teorema na notação de Einstein :

${\ displaystyle \ iiint _ {V} {\ dfrac {\ partial \ mathbf {F} _ {i}} {\ partial x_ {i}}} \ mathrm {d} V =}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle S}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {i} n_ {i} \, \ mathrm {d} S}$

sugestiva, substituindo o campo vectorial F com um rank n campo tensor T , isto pode ser generalizada para:

${\ displaystyle \ iiint _ {V} {\ dfrac {\ parcial T_ {i_ {1} i_ {2} \ cdots i_ {q} \ cdots i_ {n}}} {\ parcial x_ {i_ {q}}} } \ mathrm {d} V =}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle S}$ ${\ displaystyle T_ {i_ {1} i_ {2} \ cdots i_ {q} \ cdots i_ {n}} n_ {i_ {q}} \, \ mathrm {d} S.}$

onde em cada lado, tensor de contracção ocorre durante, pelo menos, um índice. Esta forma do teorema ainda está em 3d, cada índice assume os valores 1, 2 e 3. Ele pode ser generalizado ainda mais para dimensões superiores (ou inferiores) (por exemplo, para o espaço-tempo 4d na relatividade geral ).

Veja também

• Teorema de Kelvin-Stokes

Referências

links externos

• "Fórmula de Ostrogradski" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Operadores diferenciais e o teorema da divergência em MathPages
• The Divergence (Gauss) Theorem de Nick Bykov, Wolfram Demonstrations Project .
• Weisstein, Eric W. "Teorema da Divergência" . MathWorld .- Este artigo foi originalmente baseado no artigo GFDL do PlanetMath em https://web.archive.org/web/20021029094728/http://planetmath.org/encyclopedia/Divergence.html