Geometria complexa - Complex geometry

Em matemática , geometria complexa é o estudo de estruturas e construções geométricas decorrentes ou descritas por números complexos . Em particular, a geometria complexa se preocupa com o estudo de espaços como variedades complexas e variedades algébricas complexas , funções de várias variáveis complexas e construções holomórficas, como feixes de vetores holomórficos e feixes coerentes . A aplicação de métodos transcendentais à geometria algébrica se enquadra nesta categoria, junto com os aspectos mais geométricos da análise complexa .

A geometria complexa se encontra na interseção da geometria algébrica, geometria diferencial e análise complexa e usa ferramentas de todas as três áreas. Por causa da combinação de técnicas e idéias de várias áreas, os problemas em geometria complexa costumam ser mais tratáveis ou concretos do que em geral. Por exemplo, a classificação de variedades complexas e variedades algébricas complexas por meio do programa de modelo mínimo e a construção de espaços de módulos diferenciam o campo da geometria diferencial, onde a classificação de possíveis variedades suaves é um problema significativamente mais difícil. Além disso, a estrutura extra da geometria complexa permite, especialmente no ambiente compacto , que os resultados analíticos globais sejam comprovados com grande sucesso, incluindo a prova de Shing-Tung Yau da conjectura de Calabi , a correspondência Hitchin-Kobayashi , a correspondência não - fabiana de Hodge. e resultados de existência para métricas Kähler-Einstein e métricas Kähler de curvatura escalar constante .

Geometria complexa tem aplicações importantes para a física teórica, onde é essencial para a compreensão da teoria de campo conformal , a teoria das cordas , e simetria espelho . Muitas vezes, é uma fonte de exemplos em outras áreas da matemática, incluindo na teoria da representação, onde variedades generalizadas de sinalizadores podem ser estudadas usando geometria complexa que leva ao teorema de Borel-Weil-Bott , ou em geometria simplética , onde variedades de Kähler são simpléticas, em Riemanniano geometria em que variedades complexas fornecem exemplos de estruturas métricas exóticas, como variedades de Calabi – Yau e variedades de hyperkähler , e na teoria de calibre , onde pacotes de vetores holomórficos geralmente admitem soluções para importantes equações diferenciais decorrentes da física, como as equações de Yang-Mills . A geometria complexa também é impactante na geometria algébrica pura, onde os resultados analíticos no cenário complexo, como a teoria de Hodge das variedades Kähler inspiram a compreensão das estruturas de Hodge para variedades e esquemas , bem como a teoria de Hodge p-ádica , a teoria de deformação para variedades complexas inspira a compreensão de a teoria de deformação de esquemas e os resultados sobre a cohomologia de variedades complexas inspiraram a formulação das conjecturas de Weil e das conjecturas padrão de Grothendieck . Por outro lado, os resultados e técnicas de muitos desses campos muitas vezes realimentam a geometria complexa e, por exemplo, os desenvolvimentos na matemática da teoria das cordas e simetria do espelho revelaram muito sobre a natureza das variedades Calabi-Yau , que os teóricos das cordas prevêem que deveria têm a estrutura de fibrações Lagrangianas por meio da conjectura SYZ , e o desenvolvimento da teoria de variedades simpléticas de Gromov-Witten levou a avanços na geometria enumerativa de variedades complexas.

A conjectura de Hodge , um dos problemas do prêmio do milênio , é um problema de geometria complexa.

Ideia

Um exemplo típico de um espaço complexo é a linha projetiva complexa . Ela pode ser vista como a esfera , uma variedade lisa que surge da geometria diferencial , ou a esfera de Riemann , uma extensão do plano complexo pela adição de um ponto no infinito .

Em termos gerais, a geometria complexa se preocupa com espaços e objetos geométricos que são modelados, em certo sentido, no plano complexo . Características do plano complexo e análise complexa de uma única variável, como uma noção intrínseca de orientabilidade (ou seja, ser capaz de girar consistentemente 90 graus no sentido anti-horário em todos os pontos do plano complexo) e a rigidez das funções holomórficas (isto é , a existência de uma única derivada complexa implica diferenciabilidade complexa para todas as ordens) são vistos como manifestos em todas as formas de estudo da geometria complexa. Por exemplo, toda variedade complexa é canonicamente orientável, e uma forma do teorema de Liouville se aplica a variedades complexas compactas ou variedades algébricas complexas projetivas .

A geometria complexa tem um sabor diferente do que pode ser chamado de geometria real , o estudo dos espaços baseado nas propriedades geométricas e analíticas da reta numérica real . Por exemplo, enquanto variedades suaves admitem partições de unidade , coleções de funções suaves que podem ser identicamente iguais a um em algum conjunto aberto , e identicamente zero em outros lugares, variedades complexas não admitem tais coleções de funções holomórficas. Na verdade, esta é a manifestação do teorema da identidade , um resultado típico na análise complexa de uma única variável. Em certo sentido, a novidade da geometria complexa pode ser atribuída a essa observação fundamental.

É verdade que cada variedade complexa é, em particular, uma variedade real e uniforme. Isso porque o plano complexo é, depois de esquecer sua estrutura complexa, isomórfico ao plano real . No entanto, a geometria complexa não é tipicamente vista como um subcampo particular da geometria diferencial , o estudo de variedades suaves. Em particular, o teorema GAGA de Serre diz que toda variedade analítica projetiva é na verdade uma variedade algébrica , e o estudo de dados holomórficos em uma variedade analítica é equivalente ao estudo de dados algébricos. ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$

Essa equivalência indica que a geometria complexa está, em certo sentido, mais próxima da geometria algébrica do que da geometria diferencial . Outro exemplo disso, que remete à natureza do plano complexo, é que, na análise complexa de uma única variável, as singularidades das funções meromórficas são prontamente descritíveis. Em contraste, o possível comportamento singular de uma função contínua com valor real é muito mais difícil de caracterizar. Como resultado disso, pode-se estudar prontamente espaços singulares em geometria complexa, como variedades analíticas complexas singulares ou variedades algébricas complexas singulares, enquanto na geometria diferencial o estudo de espaços singulares é freqüentemente evitado.

Na prática, a geometria complexa se encontra na interseção da geometria diferencial, geometria algébrica e análise em várias variáveis complexas , e um geômetro complexo usa ferramentas de todos os três campos para estudar espaços complexos. As direções típicas de interesse em geometria complexa envolvem a classificação de espaços complexos, o estudo de objetos holomórficos anexados a eles (como feixes de vetores holomórficos e feixes coerentes ) e as relações íntimas entre objetos geométricos complexos e outras áreas da matemática e da física.

Definições

Geometria complexa preocupa-se com o estudo de variedades complexas , e algébrica complexa e variedades analíticas complexas . Nesta seção, esses tipos de espaços são definidos e as relações entre eles são apresentadas.

Uma variedade complexa é um espaço topológico tal que: ${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle X}$ é Hausdorff e o segundo contável .
${\ displaystyle X}$ é localmente homeomórfico a um subconjunto aberto de para alguns . Ou seja, para cada ponto , existe uma vizinhança aberta de e um homeomorfismo a um subconjunto aberto . Esses conjuntos abertos são chamados de gráficos . ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle p \ in X}$ ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle \ varphi: U \ to V}$ ${\ displaystyle V \ subseteq \ mathbb {C} ^ {n}}$
Se e forem quaisquer dois gráficos sobrepostos que mapeiam em conjuntos abertos de , respectivamente, a função de transição é um biolomorfismo . ${\ displaystyle (U_ {1}, \ varphi)}$ ${\ displaystyle (U_ {2}, \ psi)}$ ${\ displaystyle V_ {1}, V_ {2}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ psi \ circ \ varphi ^ {- 1}: \ varphi (U_ {1} \ cap U_ {2}) \ to \ psi (U_ {1} \ cap U_ {2})}$

Observe que, uma vez que todo biolomorfismo é um difeomorfismo , e é isomorfismo como um espaço vetorial real para , toda variedade complexa de dimensão é em particular uma variedade suave de dimensão , que é sempre um número par. ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2n}}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle 2n}$

Em contraste com variedades complexas que são sempre suaves, a geometria complexa também se preocupa com espaços possivelmente singulares. Uma variedade analítico complexo afim é um subconjunto de tal modo que sobre cada ponto , existe uma vizinhança aberta de e uma colecção de um número finito de funções holomorfos de tal modo que . Por convenção, também exigimos que o conjunto seja irredutível . Um ponto é singular se a matriz Jacobiana do vetor de funções holomórficas não tem classificação completa em , e não singular caso contrário. Uma variedade analítica complexa projetiva é um subconjunto de espaço projetivo complexo que é, da mesma forma, dado localmente pelos zeros de uma coleção finita de funções holomórficas em subconjuntos abertos de . ${\ displaystyle X \ subseteq \ mathbb {C} ^ {n}}$ ${\ displaystyle p \ in X}$ ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle f_ {1}, \ dots, f_ {k}: U \ to \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle X \ cap U = \ {z \ in U \ mid f_ {1} (z) = \ cdots = f_ {k} (z) = 0 \} = Z (f_ {1}, \ dots, f_ {k})}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle p \ in X}$ ${\ displaystyle (f_ {1}, \ dots, f_ {k})}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle X \ subseteq \ mathbb {CP} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {CP} ^ {n}}$

Pode-se definir de forma semelhante uma variedade algébrica complexa afim como um subconjunto que é localmente dado como o conjunto zero de polinômios finitos em variáveis complexas. Para definir uma variedade algébrica complexa projetiva , é necessário que o subconjunto seja localmente dado pelo conjunto zero de polinômios homogêneos finitos . ${\ displaystyle X \ subseteq \ mathbb {C} ^ {n}}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle X \ subseteq \ mathbb {CP} ^ {n}}$

Para definir uma variedade algébrica complexa geral ou uma variedade analítica complexa, requer-se a noção de um espaço localmente anelado . Uma variedade algébrica / analítica complexa é um espaço localmente anelado que é localmente isomórfico como um espaço localmente anelado para uma variedade algébrica / analítica complexa afim. No caso analítico, normalmente permite- se ter uma topologia que é localmente equivalente à topologia do subespaço devido à identificação com subconjuntos abertos de , enquanto no caso algébrico é frequentemente equipado com uma topologia de Zariski . Novamente, também por convenção exigimos que esse espaço localmente anelado seja irredutível. ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {O}} _ {X})}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$ ${\ displaystyle X}$

Visto que a definição de um ponto singular é local, a definição dada para uma variedade analítica / algébrica afim se aplica aos pontos de qualquer variedade analítica ou algébrica complexa. O conjunto de pontos de uma variedade que são singulares é chamado de locus singular , denotado , e o complemento é o locus não singular ou suave , denotado . Dizemos que uma variedade complexa é suave ou não singular se seu locus singular estiver vazio. Ou seja, se for igual ao seu locus não singular. ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X ^ {sing}}$ ${\ displaystyle X ^ {nonsing}}$

Pelo teorema da função implícita para funções holomórficas, toda variedade complexa é em particular uma variedade analítica complexa não singular, mas não é em geral afim ou projetiva. Pelo teorema GAGA de Serre, toda variedade analítica complexa projetiva é na verdade uma variedade algébrica complexa projetiva. Quando uma variedade complexa não é singular, é uma variedade complexa. Mais geralmente, o locus não singular de qualquer variedade complexa é uma variedade complexa.

Tipos de espaços complexos

Variedades Kähler

Variedades complexas podem ser estudadas da perspectiva da geometria diferencial, por meio da qual são equipadas com estruturas geométricas extras, como uma forma métrica ou simplética Riemanniana . Para que essa estrutura extra seja relevante para a geometria complexa, deve-se solicitar que ela seja compatível com a estrutura complexa no sentido adequado. Uma variedade Kähler é uma variedade complexa com uma estrutura métrica e simplética Riemanniana compatível com a estrutura complexa. Cada subvariedade complexa de uma variedade Kähler é Kähler e, portanto, em particular, cada variedade afim não singular ou complexa projetiva é Kähler, após restringir a métrica Hermitiana padrão em ou a métrica Estudo Fubini em, respectivamente. ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {CP} ^ {n}}$

Outros exemplos importantes de variedades Kähler incluem superfícies de Riemann, superfícies K3 e variedades Calabi – Yau .

Manifolds Stein

O teorema GAGA de Serre afirma que as variedades analíticas complexas projetivas são, na verdade, algébricas. Embora isso não seja estritamente verdadeiro para variedades afins, existe uma classe de variedades complexas que agem de maneira muito semelhante às variedades algébricas complexas afins, chamadas variedades de Stein . Uma variedade é Stein se for holomorficamente convexa e holomorficamente separável (consulte o artigo sobre variedades de Stein para obter as definições técnicas). Pode-se mostrar, entretanto, que isso é equivalente a ser uma subvariedade complexa de para alguns . Outra maneira pela qual as variedades de Stein são semelhantes às variedades algébricas de complexos afins é que os teoremas A e B de Cartan são válidos para as variedades de Stein. ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$ ${\ displaystyle n}$

Exemplos de variedades de Stein incluem superfícies de Riemann não compactas e variedades algébricas complexas afins não singulares.

Variedades Hyper-Kähler

Uma classe especial de variedades complexas são as variedades hiper-Kähler , que são variedades Riemannianas que admitem três estruturas quase complexas integráveis distintas que satisfazem as relações quaterniônicas . Assim, as variedades hiper-Kähler são variedades Kähler de três maneiras diferentes e, subsequentemente, têm uma estrutura geométrica rica. ${\ displaystyle I, J, K}$ ${\ displaystyle I ^ {2} = J ^ {2} = K ^ {2} = IJK = - \ operatorname {Id}}$

Exemplos de variedades hiper-Kähler incluem espaços ALE , superfícies K3, espaços de módulos de feixes de Higgs , variedades de quiver e muitos outros espaços de módulos decorrentes da teoria de calibre e da teoria da representação .

Variedades de Calabi – Yau

Uma fatia bidimensional real de um quíntico Calabi – Yau triplo

Conforme mencionado, uma classe particular de variedades Kähler é fornecida pelas variedades Calabi – Yau. Eles são fornecidos por variedades Kähler com pacote canônico trivial . Normalmente, a definição de um coletor de Calabi – Yau também exige ser compacta. Neste caso, a prova de Yau da conjectura de Calabi implica que admite uma métrica Kähler com curvatura de Ricci em desaparecimento , e isso pode ser tomado como uma definição equivalente de Calabi-Yau. ${\ displaystyle K_ {X} = \ Lambda ^ {n} T_ {1,0} ^ {*} X}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X}$

As variedades de Calabi-Yau encontraram uso na teoria das cordas e na simetria do espelho , onde são usadas para modelar as 6 dimensões extras do espaço-tempo em modelos de 10 dimensões da teoria das cordas. Exemplos de variedades Calabi-Yau são dados por curvas elípticas , superfícies K3 e variedades Abelianas complexas .

Variedades complexas de Fano

Uma variedade Fano complexa é uma variedade algébrica complexa com um amplo feixe de linhas anticanônicas (ou seja, é amplo). As variedades Fano são de considerável interesse na geometria algébrica complexa e, em particular, na geometria birracional , onde frequentemente surgem no programa de modelo mínimo . Exemplos fundamentais de variedades Fano são dados por espaço projetivo onde , e hipersuperfícies lisas de grau menor que . ${\ displaystyle K_ {X} ^ {*}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {CP} ^ {n}}$ ${\ displaystyle K = {\ mathcal {O}} (- n-1)}$ ${\ displaystyle \ mathbb {CP} ^ {n}}$ ${\ displaystyle n + 1}$

Variedades tóricas

Polítopo de momento que descreve a primeira superfície de Hirzebruch .

Variedades tóricas são variedades algébricas complexas de dimensão contendo um subconjunto denso aberto biolomórfico a , equipado com uma ação que estende a ação no subconjunto denso aberto. Uma variedade tórica pode ser descrita combinatorialmente por seu leque tórico e, pelo menos quando não é singular, por um politopo de momento . Este é um polígono com a propriedade de que qualquer vértice pode ser colocado na forma padrão do vértice do orante positivo pela ação de . A variedade tórica pode ser obtida como um espaço adequado que fibras sobre o politopo. ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle (\ mathbb {C} ^ {*}) ^ {n}}$ ${\ displaystyle (\ mathbb {C} ^ {*}) ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {GL} (n, \ mathbb {Z})}$

Muitas construções realizadas em variedades tóricas admitem descrições alternativas em termos de combinatória e geometria do politopo de momento ou de seu leque tórico associado. Isso torna as variedades tóricas um caso de teste particularmente atraente para muitas construções em geometria complexa. Exemplos de variedades tóricas incluem espaços projetivos complexos e feixes sobre eles.

Técnicas em geometria complexa

Devido à rigidez das funções holomórficas e variedades complexas, as técnicas normalmente usadas para estudar variedades complexas e variedades complexas diferem daquelas usadas na geometria diferencial regular e estão mais próximas das técnicas usadas na geometria algébrica. Por exemplo, em geometria diferencial, muitos problemas são abordados tomando construções locais e remendando-as globalmente usando partições de unidade. Partições de unidade não existem na geometria complexa e, portanto, o problema de quando os dados locais podem ser colados nos dados globais é mais sutil. Precisamente quando os dados locais podem ser corrigidos juntos é medido pela cohomologia de feixes , e feixes e seus grupos de cohomologia são as principais ferramentas.

Por exemplo, problemas famosos na análise de várias variáveis complexas que precedem a introdução de definições modernas são os problemas do Primo , perguntando precisamente quando os dados meromórficos locais podem ser colados para obter uma função meromórfica global. Esses velhos problemas podem ser resolvidos simplesmente após a introdução de feixes e grupos de cohomologia.

Exemplos especiais de feixes usados em geometria complexa incluem feixes de linhas holomórficas (e os divisores associados a eles), feixes de vetores holomórficos e feixes coerentes . Visto que a cohomologia de feixe mede obstruções na geometria complexa, uma técnica usada é provar teoremas de desaparecimento. Exemplos de teoremas de desaparecimento em geometria complexa incluem o teorema de desaparecimento de Kodaira para a cohomologia de feixes de linha em variedades de Kähler compactas e os teoremas A e B de Cartan para a cohomologia de feixes coerentes em variedades complexas afins.

A geometria complexa também faz uso de técnicas que surgem da geometria diferencial e da análise. Por exemplo, o teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch , um caso especial do teorema do índice Atiyah-Singer , calcula a característica holomórfica de Euler de um pacote vetorial holomórfico em termos de classes características do pacote vetorial complexo suave subjacente.

Classificação em geometria complexa

Um tema importante na geometria complexa é a classificação . Devido à natureza rígida de complexos e variedades, o problema de classificar esses espaços é freqüentemente tratável. A classificação em geometria complexa e algébrica freqüentemente ocorre por meio do estudo de espaços de módulos , que são, eles próprios, variedades ou variedades complexas cujos pontos classificam outros objetos geométricos que surgem na geometria complexa.

Superfícies de Riemann

O termo módulos foi cunhado por Bernhard Riemann durante seu trabalho original em superfícies de Riemann. A teoria de classificação é mais conhecida para superfícies compactas de Riemann. Pela classificação de superfícies orientadas fechadas, as superfícies compactas de Riemann vêm em um número contável de tipos discretos, medidos por seu gênero , que é um número inteiro não negativo contando o número de orifícios em uma determinada superfície compacta de Riemann. ${\ displaystyle g}$

A classificação segue essencialmente o teorema da uniformização e é a seguinte:

g = 0 : ${\ displaystyle \ mathbb {CP} ^ {1}}$
g = 1 : Existe uma variedade complexa unidimensional que classifica as possíveis superfícies compactas de Riemann do gênero 1, as chamadas curvas elípticas , a curva modular . Pelo teorema de uniformização, qualquer curva elíptica pode ser escrita como um quociente onde é um número complexo com parte imaginária estritamente positiva. O espaço dos módulos é dado pelo quociente do grupo atuando na metade superior do plano pelas transformações de Möbius . ${\ displaystyle \ mathbb {C} / (\ mathbb {Z} + \ tau \ mathbb {Z})}$ ${\ displaystyle \ tau}$ ${\ displaystyle \ operatorname {PSL} (2, \ mathbb {Z})}$
g> 1 : Para cada gênero maior que um, existe um espaço de módulos do gênero g superfícies compactas de Riemann, de dimensão . Semelhante ao caso das curvas elípticas, este espaço pode ser obtido por um quociente adequado da metade superior de Siegel pela ação do grupo . ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {g}}$ ${\ displaystyle \ dim _ {\ mathbb {C}} {\ mathcal {M}} _ {g} = 3g-3}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Sp} (2g, \ mathbb {Z})}$

Feixes de linha holomórfica

A geometria complexa não se preocupa apenas com espaços complexos, mas com outros objetos holomórficos anexados a eles. A classificação de feixes de linha holomórfica em uma variedade complexa é dada pela variedade de Picard . ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Pic} (X)}$ ${\ displaystyle X}$

A variedade picard pode ser facilmente descrita no caso em que é uma superfície compacta de Riemann do gênero g. Nomeadamente, neste caso, a variedade Picard é uma união disjunta de variedades Abelianas complexas , cada uma das quais é isomórfica à variedade Jacobiana da curva, classificando divisores de grau zero até equivalência linear. Em termos geométricos diferenciais, essas variedades Abelianas são toros complexos, variedades complexas difeomórficas , possivelmente com uma de muitas estruturas complexas diferentes. ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle (S ^ {1}) ^ {2g}}$

Pelo teorema de Torelli , uma superfície compacta de Riemann é determinada por sua variedade Jacobiana, e isso demonstra uma razão pela qual o estudo de estruturas em espaços complexos pode ser útil, na medida em que pode permitir que se resolva a classificação dos próprios espaços.

Veja também

Referências

Huybrechts, Daniel (2005). Geometria complexa: uma introdução . Springer. ISBN 3-540-21290-6.
Griffiths, Phillip ; Harris, Joseph (1994), Principles of algebraic geometry , Wiley Classics Library, Nova York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-05059-9, MR 1288523
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S. Kobayashi, K. Nomizu. Foundations of Differential Geometry (Wiley Classics Library) Volume 1, 2.
EH Neville (1922) Prolegomena to Analytical Geometry in Anisotropic Euclidean Space of Three Dimensions , Cambridge University Press .

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