Densidade do tensor - Tensor density

Em geometria diferencial , uma densidade tensorial ou tensor relativo é uma generalização do conceito de campo tensorial . Uma densidade de tensor se transforma em um campo de tensor ao passar de um sistema de coordenadas para outro (ver campo de tensor ), exceto que é adicionalmente multiplicado ou ponderado por uma potência W do determinante Jacobiano da função de transição de coordenadas ou seu valor absoluto. É feita uma distinção entre densidades de tensores (autênticas), densidades de pseudotensores, densidades de tensores pares e densidades de tensores ímpares. Às vezes, as densidades do tensor com peso negativo W são chamadas de capacidade do tensor. Uma densidade de tensor também pode ser considerada como uma seção do produto tensorial de um feixe de tensor com um feixe de densidade .

Motivação

Em física e campos relacionados, muitas vezes é útil trabalhar com os componentes de um objeto algébrico em vez do próprio objeto. Um exemplo seria decompor um vetor em uma soma de vetores de base ponderados por alguns coeficientes, como

${\ displaystyle {\ vec {v}} = c_ {1} {\ vec {e}} _ {1} + c_ {2} {\ vec {e}} _ {2} + c_ {3} {\ vec {e}} _ {3}}$

onde é um vetor no espaço euclidiano tridimensional , são os vetores de base padrão usuais no espaço euclidiano. Isso geralmente é necessário para fins computacionais e muitas vezes pode ser útil quando objetos algébricos representam abstrações complexas, mas seus componentes têm interpretações concretas. No entanto, com essa identificação, é preciso ter cuidado para rastrear as mudanças da base subjacente na qual a quantidade é expandida; pode ser conveniente, no decorrer de um cálculo, mudar a base enquanto o vetor permanece fixo no espaço físico. Mais geralmente, se um objeto algébrico representa um objeto geométrico, mas é expresso em termos de uma base particular, então é necessário, quando a base for alterada, também alterar a representação. Os físicos muitas vezes chamam esta representação de um objeto geométrico de tensor se ele se transforma em uma sequência de mapas lineares, dada uma mudança linear de base (embora confusamente outros chamem o objeto geométrico subjacente que não mudou sob a transformação de coordenadas de "tensor", uma convenção que este artigo evita estritamente). Em geral, existem representações que se transformam de maneiras arbitrárias dependendo de como o invariante geométrico é reconstruído a partir da representação. Em certos casos especiais, é conveniente usar representações que se transformam quase como tensores, mas com um fator adicional não linear na transformação. Um exemplo prototípico é uma matriz que representa o produto vetorial (área do paralelogramo estendido) em . A representação é dada por na base padrão por ${\ displaystyle {\ vec {v}}}$${\ displaystyle c_ {i} \ in \ mathbb {R} ^ {n} {\ text {e}} {\ vec {e}} _ {i}}$${\ displaystyle {\ vec {v}}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$

${\ displaystyle {\ vec {u}} \ times {\ vec {v}} = {\ begin {bmatrix} u_ {1} & u_ {2} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ - 1 e 0 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} v_ {1} \\ v_ {2} \ end {bmatrix}} = u_ {1} v_ {2} -u_ {2} v_ {1}}$

Se agora tentarmos expressar essa mesma expressão em uma base diferente da base padrão, então os componentes dos vetores mudarão, digamos de acordo com onde está uma matriz 2 por 2 de números reais. Dado que a área do paralelogramo estendido é uma invariante geométrica, ela não pode ter mudado com a mudança de base e, portanto, a nova representação desta matriz deve ser: ${\ textstyle {\ begin {bmatrix} u '_ {1} & u' _ {2} \ end {bmatrix}} ^ {\ textf {T}} = A {\ begin {bmatrix} u_ {1} & u_ {2 } \ end {bmatrix}} ^ {\ textf {T}}}$${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle \ left (A ^ {- 1} \ right) ^ {\ textf {T}} {\ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \ end {bmatrix}} A ^ {- 1}}$

que, quando expandida é apenas a expressão original, mas multiplicada pelo determinante de , que também é . Na verdade, esta representação pode ser pensada como uma transformação de tensor de dois índices, mas em vez disso, é computacionalmente mais fácil pensar na regra de transformação de tensor como multiplicação por , em vez de 2 multiplicações de matriz (Na verdade, em dimensões superiores, a extensão natural de isto é multiplicações de matrizes, o que para grandes é completamente inviável). Objetos que se transformam dessa maneira são chamados de densidades tensoras porque surgem naturalmente ao se considerar problemas relativos a áreas e volumes, e por isso são frequentemente usados ​​na integração. ${\ displaystyle A ^ {- 1}}$${\ textstyle {\ frac {1} {\ det A}}}$${\ textstyle {\ frac {1} {\ det A}}}$${\ displaystyle n, n \ vezes n}$${\ displaystyle n}$

Definição

Alguns autores classificam as densidades de tensores em dois tipos chamados densidades de tensores (autênticas) e densidades de pseudotensores neste artigo. Outros autores os classificam de maneira diferente, nos tipos chamados densidades de tensores pares e densidades de tensores ímpares. Quando o peso da densidade do tensor é um inteiro, há uma equivalência entre essas abordagens que depende se o inteiro é par ou ímpar.

Observe que essas classificações elucidam as diferentes maneiras pelas quais as densidades de tensores podem se transformar um tanto patologicamente sob transformações de coordenadas de reversão de orientação . Independentemente de suas classificações nesses tipos, há apenas uma maneira de as densidades de tensores se transformarem sob transformações de coordenadas que preservam a orientação .

Neste artigo, escolhemos a convenção que atribui um peso de +2 ao determinante do tensor métrico expresso com índices covariantes . Com esta escolha, as densidades clássicas, como a densidade de carga, serão representadas por densidades de tensor de peso +1. Alguns autores usam uma convenção de signos para pesos que é a negação daquela apresentada aqui.

Em contraste com o significado usado neste artigo, na relatividade geral " pseudotensor " às vezes significa um objeto que não se transforma como um tensor ou tensor relativo de qualquer peso.

Densidades de tensor e pseudotensor

Por exemplo, uma densidade de tensor de classificação dois (autêntica) mista de peso W se transforma como:

${\ displaystyle {\ mathfrak {T}} _ {\ beta} ^ {\ alpha} = \ left (\ det {\ left [{\ frac {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ iota}} { \ partial {x} ^ {\ gamma}}} \ right]} \ right) ^ {W} \, {\ frac {\ partial {x} ^ {\ alpha}} {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ delta}}} \, {\ frac {\ parcial {\ bar {x}} ^ {\ epsilon}} {\ parcial {x} ^ {\ beta}}} \, {\ bar {\ mathfrak { T}}} _ {\ epsilon} ^ {\ delta} \ ,,}$      ((autêntica) densidade do tensor de peso (inteiro) W )

onde é a densidade de tensor de classificação dois no sistema de coordenadas, é a densidade de tensor transformada no sistema de coordenadas; e usamos o determinante Jacobiano . Como o determinante pode ser negativo, o que é para uma transformação de coordenadas com reversão de orientação, esta fórmula é aplicável apenas quando W é um inteiro. (No entanto, veja as densidades de tensores pares e ímpares abaixo.) ${\ displaystyle {\ bar {\ mathfrak {T}}}}$${\ displaystyle {\ bar {x}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {T}}}$${\ displaystyle {x}}$

Dizemos que uma densidade de tensor é uma densidade de pseudotensor quando há uma mudança de sinal adicional sob uma transformação de coordenadas de reversão de orientação. Uma densidade de pseudotensor de dois postos mistos de peso W se transforma conforme

${\ displaystyle {\ mathfrak {T}} _ {\ beta} ^ {\ alpha} = \ operatorname {sgn} \ left (\ det {\ left [{\ frac {\ partial {\ bar {x}} ^ { \ iota}} {\ partial {x} ^ {\ gamma}}} \ right]} \ right) \ left (\ det {\ left [{\ frac {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ iota }} {\ partial {x} ^ {\ gamma}}} \ right]} \ right) ^ {W} \, {\ frac {\ partial {x} ^ {\ alpha}} {\ partial {\ bar { x}} ^ {\ delta}}} \, {\ frac {\ parcial {\ bar {x}} ^ {\ epsilon}} {\ parcial {x} ^ {\ beta}}} \, {\ bar { \ mathfrak {T}}} _ {\ epsilon} ^ {\ delta} \ ,,}$      (densidade do pseudotensor de peso (inteiro) W )

onde sgn () é uma função que retorna +1 quando seu argumento é positivo ou -1 quando seu argumento é negativo.

Densidades de tensores pares e ímpares

As transformações para densidades de tensores pares e ímpares têm o benefício de serem bem definidas, mesmo quando W não é um inteiro. Assim, pode-se falar de, digamos, uma densidade tensorial ímpar de peso +2 ou uma densidade tensorial par de peso -1/2.

Quando W é um número inteiro par, a fórmula acima para uma densidade de tensor (autêntica) pode ser reescrita como

${\ displaystyle {\ mathfrak {T}} _ {\ beta} ^ {\ alpha} = \ left \ vert \ det {\ left [{\ frac {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ iota}} {\ partial {x} ^ {\ gamma}}} \ right]} \ right \ vert ^ {W} \, {\ frac {\ partial {x} ^ {\ alpha}} {\ partial {\ bar {x }} ^ {\ delta}}} \, {\ frac {\ parcial {\ bar {x}} ^ {\ epsilon}} {\ parcial {x} ^ {\ beta}}} \, {\ bar {\ mathfrak {T}}} _ {\ epsilon} ^ {\ delta} \ ,.}$      (densidade de tensor uniforme de peso W )

Da mesma forma, quando W é um número inteiro ímpar, a fórmula para uma densidade de tensor (autêntica) pode ser reescrita como

${\ displaystyle {\ mathfrak {T}} _ {\ beta} ^ {\ alpha} = \ operatorname {sgn} \ left (\ det {\ left [{\ frac {\ partial {\ bar {x}} ^ { \ iota}} {\ partial {x} ^ {\ gamma}}} \ right]} \ right) \ left \ vert \ det {\ left [{\ frac {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ iota}} {\ partial {x} ^ {\ gamma}}} \ right]} \ right \ vert ^ {W} \, {\ frac {\ partial {x} ^ {\ alpha}} {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ delta}}} \, {\ frac {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ epsilon}} {\ partial {x} ^ {\ beta}}} \, {\ bar {\ mathfrak {T}}} _ {\ epsilon} ^ {\ delta} \ ,.}$      (densidade de tensor ímpar de peso W )

Pesos de zero e um

Uma densidade de tensor de qualquer tipo com peso zero também é chamada de tensor absoluto . Uma densidade de tensor autêntica (par) de peso zero também é chamada de tensor comum .

Se um peso não for especificado, mas a palavra "relativo" ou "densidade" for usada em um contexto onde um peso específico é necessário, geralmente assume-se que o peso é +1.

Propriedades algébricas

1. Uma combinação linear (também conhecida como soma ponderada ) de densidades de tensor do mesmo tipo e peso W é novamente uma densidade de tensor desse tipo e peso.
2. Um produto de duas densidades de tensores de qualquer tipo e com pesos W ₁ e W ₂ é uma densidade de tensores de peso W ₁ + W ₂ .

   Um produto de densidades de tensor autênticas e densidades de pseudotensor será uma densidade de tensor autêntica quando um número par dos fatores forem densidades de pseudotensor; será uma densidade de pseudotensor quando um número ímpar de fatores forem densidades de pseudotensor. Da mesma forma, um produto de densidades de tensor pares e densidades de tensores ímpares será uma densidade de tensor par quando um número par de fatores for densidades de tensor ímpares; será uma densidade de tensor ímpar quando um número ímpar de fatores forem densidades de tensor ímpar.

3. A contracção dos índices sobre uma densidade tensor com peso W novamente produz uma densidade de peso tensor W .
4. Usando (2) e (3) pode-se ver que aumentar e diminuir os índices usando o tensor métrico (peso 0) deixa o peso inalterado.

Inversão de matriz e determinante de matriz de densidades de tensor

Se for uma matriz não singular e uma densidade de tensor de classificação de peso W com índices covariantes, então sua matriz inversa será uma densidade de tensor de classificação de peso - W com índices contravariantes. Declarações semelhantes se aplicam quando os dois índices são contravariantes ou são covariantes e contravariantes mistos. ${\ displaystyle {\ mathfrak {T}} _ {\ alpha \ beta}}$

Se for uma densidade de tensor de classificação dois de peso W com índices covariantes, então o determinante da matriz terá peso NW + 2 , onde N é o número de dimensões espaço-temporais. Se for uma densidade de tensor de classificação dois de peso W com índices contravariantes, então o determinante da matriz terá peso NW - 2 . O determinante da matriz terá peso NW . ${\ displaystyle {\ mathfrak {T}} _ {\ alpha \ beta}}$${\ displaystyle \ det {\ mathfrak {T}} _ {\ alpha \ beta}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {T}} ^ {\ alpha \ beta}}$${\ displaystyle \ det {\ mathfrak {T}} ^ {\ alpha \ beta}}$${\ displaystyle \ det {\ mathfrak {T}} _ {~ \ beta} ^ {\ alpha}}$

Relatividade geral

Parte de uma série de artigos sobre
Relatividade geral
${\ displaystyle G _ {\ mu \ nu} + \ Lambda g _ {\ mu \ nu} = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} T _ {\ mu \ nu}}$
Introdução História Formulação matemática Testes
Conceitos fundamentais Princípio da Relatividade Teoria da relatividade Covariância geral Simultaneidade Relatividade da simultaneidade Movimento relativo Evento Quadro de Referência Quadro de referência inercial Massa Massa inercial Quadro de descanso Quadro de centro de impulso Curvatura Geodésico Geon Princípio de equivalência Missa na relatividade geral Equivalência massa-energia Invariante Massa invariante Simetrias do espaço-tempo Relatividade especial Relatividade duplamente especial relatividade especial invariante de Sitter Relatividade de escala Velocidade da luz Derivada de tempo Hora adequada Comprimento adequado Contração de comprimento Ação à distância Princípio da localidade Geometria riemanniana Condição de energia
Fenômenos Gravitoeletromagnetismo Problema Kepler Gravidade Campo gravitacional Gravidade bem Lente gravitacional Ondas gravitacionais Redshift gravitacional Redshift Turno azul Dilatação do tempo Dilatação do tempo gravitacional Atraso de tempo Shapiro Potencial gravitacional Compressão gravitacional Colapso gravitacional Arrasto de quadro Efeito geodésico Horizonte aparente Horizonte de eventos Singularidade gravitacional Singularidade nua Buraco negro Buraco branco Espaço-tempo Seta do tempo Cone de luz Linha mundial Espaço tridimensional Espaço quadridimensional Espaço Tempo Múltiplo Manifold suave Variedade Riemanniana Espaço de configuração Espaço estatal Espaço de fase Espaço Hilbert Espaço euclidiano Espaço topológico Defeito topológico Diagramas de espaço-tempo Espaço-tempo de Minkowski Escalar de Lorentz Curva tipo tempo fechada (CTC) Buraco de minhoca Buraco de minhoca de Ellis
Equações Formalismos Equações Gravidade linearizada Equações de campo de Einstein Friedmann Geodésica Mathisson – Papapetrou – Dixon Hamilton – Jacobi – Einstein Invariante de curvatura (relatividade geral) Transformação de Lorentz Variedade Lorentziana Variedade globalmente hiperbólica Condições de causalidade Estrutura causal Formalismos ADM BSSN Newman – Penrose Pós-newtoniana Teoria avançada Teoria de Brans-Dicke Hipótese da censura cósmica Teoria de Kaluza-Klein Gravidade quântica Supergravidade
Soluções Disco relativístico Schwarzschild ( interior ) Reissner – Nordström Gödel Kerr Kerr-Newman Kasner Lemaître – Tolman Taub-NUT Milne Robertson – Walker onda pp poeira van Stockum Weyl – Lewis – Papapetrou Solução de vácuo
Teoremas Teorema de Birkhoff Teorema de divisão de Geroch Teorema de Goldberg-Sachs Teorema de Lovelock Teorema sem cabelo Teoremas de singularidade de Penrose-Hawking Teorema da energia positiva
Cientistas Einstein Lorentz Hilbert Poincaré Schwarzschild de Sitter Reissner Nordström Weyl Eddington Friedman Milne Zwicky Lemaître Gödel Wheeler Robertson Bardeen andador Kerr Chandrasekhar Ehlers Penrose Hawking Raychaudhuri Taylor Hulse van Stockum Taub Novo homem Yau Thorne outras
v t e

Relação do determinante Jacobiano e tensor métrico

Qualquer tensor comum não singular se transforma como ${\ displaystyle T _ {\ mu \ nu}}$

${\ displaystyle T _ {\ mu \ nu} = {\ frac {\ parcial {\ bar {x}} ^ {\ kappa}} {\ parcial {x} ^ {\ mu}}} {\ bar {T}} _ {\ kappa \ lambda} {\ frac {\ parcial {\ bar {x}} ^ {\ lambda}} {\ parcial {x} ^ {\ nu}}} \ ,,}$

onde o lado direito pode ser visto como o produto de três matrizes. Tomando o determinante de ambos os lados da equação (usando que o determinante de um produto da matriz é o produto dos determinantes), dividindo ambos os lados por , e tomando sua raiz quadrada, obtém-se ${\ displaystyle \ det \ left ({\ bar {T}} _ {\ kappa \ lambda} \ right)}$

${\ displaystyle \ left \ vert \ det {\ left [{\ frac {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ iota}} {\ partial {x} ^ {\ gamma}}} \ right]} \ direita \ vert = {\ sqrt {\ frac {\ det ({T} _ {\ mu \ nu})} {\ det \ left ({\ bar {T}} _ {\ kappa \ lambda} \ right)} }} \ ,.}$

Quando o tensor T é o tensor métrico , e é um local inerciais sistema de coordenadas onde diag (-1, + 1, + 1, + 1), o Minkowski métrica , em seguida, -1 e assim ${\ displaystyle {g} _ {\ kappa \ lambda}}$${\ displaystyle {\ bar {x}} ^ {\ iota}}$${\ displaystyle {\ bar {g}} _ {\ kappa \ lambda} = \ eta _ {\ kappa \ lambda} =}$ ${\ displaystyle \ det \ left ({\ bar {g}} _ {\ kappa \ lambda} \ right) = \ det (\ eta _ {\ kappa \ lambda}) =}$ 

${\ displaystyle \ left \ vert \ det {\ left [{\ frac {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ iota}} {\ partial {x} ^ {\ gamma}}} \ right]} \ direita \ vert = {\ sqrt {- {g}}} \ ,,}$

onde é o determinante do tensor métrico . ${\ displaystyle {g} = \ det \ left ({g} _ {\ mu \ nu} \ right)}$${\ displaystyle {g} _ {\ mu \ nu}}$

Uso de tensor métrico para manipular densidades de tensor

Consequentemente, uma densidade de tensor par,, de peso W , pode ser escrita na forma ${\ displaystyle {\ mathfrak {T}} _ {\ nu \ dots} ^ {\ mu \ dots}}$

${\ displaystyle {\ mathfrak {T}} _ {\ nu \ dots} ^ {\ mu \ dots} = {\ sqrt {-g}} \; ^ {W} T _ {\ nu \ dots} ^ {\ mu \ dots} \ ,,}$

onde está um tensor comum. Em um sistema de coordenadas localmente inercial, onde , será o caso e será representado com os mesmos números. ${\ displaystyle T _ {\ nu \ dots} ^ {\ mu \ dots} \,}$${\ displaystyle g _ {\ kappa \ lambda} = \ eta _ {\ kappa \ lambda}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {T}} _ {\ nu \ dots} ^ {\ mu \ dots}}$${\ displaystyle T _ {\ nu \ dots} ^ {\ mu \ dots} \,}$

Ao usar a conexão métrica (conexão de Levi-Civita ), a derivada covariante de uma densidade de tensor par é definida como

${\ displaystyle {\ mathfrak {T}} _ {\ nu \ dots; \ alpha} ^ {\ mu \ dots} = {\ sqrt {-g}} \; ^ {W} T _ {\ nu \ dots; \ alpha} ^ {\ mu \ dots} = {\ sqrt {-g}} \; ^ {W} \ left ({\ sqrt {-g}} \; ^ {- W} {\ mathfrak {T}} _ {\ nu \ dots} ^ {\ mu \ dots} \ right) _ {; \ alpha} \ ,.}$

Para uma conexão arbitrária, a derivada covariante é definida pela adição de um termo extra, a saber

${\ displaystyle -W \, \ Gamma _ {~ \ delta \ alpha} ^ {\ delta} \, {\ mathfrak {T}} _ {\ nu \ dots} ^ {\ mu \ dots}}$

à expressão que seria apropriada para a derivada covariante de um tensor comum.

Equivalentemente, a regra do produto é obedecida

${\ displaystyle \ left ({\ mathfrak {T}} _ {\ nu \ dots} ^ {\ mu \ dots} {\ mathfrak {S}} _ {\ tau \ dots} ^ {\ sigma \ dots} \ right ) _ {; \ alpha} = \ left ({\ mathfrak {T}} _ {\ nu \ dots; \ alpha} ^ {\ mu \ dots} \ right) {\ mathfrak {S}} _ {\ tau \ pontos} ^ {\ sigma \ dots} + {\ mathfrak {T}} _ {\ nu \ dots} ^ {\ mu \ dots} \ left ({\ mathfrak {S}} _ {\ tau \ dots; \ alpha } ^ {\ sigma \ dots} \ right) \ ,,}$

onde, para a conexão métrica, a derivada covariante de qualquer função de é sempre zero, ${\ displaystyle g _ {\ kappa \ lambda}}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} g _ {\ kappa \ lambda; \ alpha} & = 0 \\\ left ({\ sqrt {-g}} \; ^ {W} \ right) _ {; \ alpha} & = \ left ({\ sqrt {-g}} \; ^ {W} \ right) _ {, \ alpha} -W \ Gamma _ {~ \ delta \ alpha} ^ {\ delta} {\ sqrt {- g}} \; ^ {W} = {\ frac {W} {2}} g ^ {\ kappa \ lambda} g _ {\ kappa \ lambda, \ alpha} {\ sqrt {-g}} \; ^ { W} -W \ Gamma _ {~ \ delta \ alpha} ^ {\ delta} {\ sqrt {-g}} \; ^ {W} = 0 \,. \ End {alinhado}}}$

Exemplos

A expressão é uma densidade escalar. Pela convenção deste artigo, tem um peso de +1. ${\ displaystyle {\ sqrt {-g}}}$

A densidade da corrente elétrica (por exemplo, é a quantidade de carga elétrica que cruza o elemento de 3 volumes dividido por esse elemento - não use a métrica neste cálculo) é uma densidade vetorial contravariante de peso +1. Freqüentemente é escrito como ou , onde e a forma diferencial são tensores absolutos, e onde está o símbolo de Levi-Civita ; Veja abaixo. ${\ displaystyle {\ mathfrak {J}} ^ {\ mu}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {J}} ^ {2}}$${\ displaystyle dx ^ {3} \, dx ^ {4} \, dx ^ {1}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {J}} ^ {\ mu} = J ^ {\ mu} {\ sqrt {-g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {J}} ^ {\ mu} = \ varepsilon ^ {\ mu \ alpha \ beta \ gamma} {\ mathcal {J}} _ {\ alpha \ beta \ gamma} / 3!}$${\ displaystyle J ^ {\ mu} \,}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {J}} _ {\ alpha \ beta \ gamma}}$${\ displaystyle \ varepsilon ^ {\ mu \ alpha \ beta \ gamma}}$

A densidade da força de Lorentz ( ou seja , o momento linear transferido do campo eletromagnético para a matéria dentro de um elemento de 4 volumes dividido por esse elemento - não use a métrica neste cálculo) é uma densidade vetorial covariante de peso +1. ${\ displaystyle {\ mathfrak {f}} _ {\ mu}}$${\ displaystyle dx ^ {1} \, dx ^ {2} \, dx ^ {3} \, dx ^ {4}}$

No espaço-tempo N- dimensional, o símbolo de Levi-Civita pode ser considerado como uma densidade tensorial autêntica de peso −1 covariante de categoria N (ímpar) (ε _{α 1 ⋯ α N} ) ou uma contravariante de categoria N (ímpar) densidade tensorial autêntica de peso +1 (ε ^{α ₁ ⋯ α _N} ). Observe que o símbolo Levi-Civita (assim considerado) não obedece à convenção usual para aumentar ou diminuir os índices com o tensor métrico. Ou seja, é verdade que

${\ displaystyle \ varepsilon ^ {\ alpha \ beta \ gamma \ delta} \, g _ {\ alpha \ kappa} \, g _ {\ beta \ lambda} \, g _ {\ gamma \ mu} g _ {\ delta \ nu} \, = \, \ varepsilon _ {\ kappa \ lambda \ mu \ nu} \, g \ ,,}$

mas na relatividade geral, onde é sempre negativo, isso nunca é igual a . ${\ displaystyle g}$${\ displaystyle \ varepsilon _ {\ kappa \ lambda \ mu \ nu}}$

O determinante do tensor métrico,

${\ displaystyle g = \ det \ left (g _ {\ rho \ sigma} \ right) = {\ frac {1} {4!}} \ varejpsilon ^ {\ alpha \ beta \ gamma \ delta} \ varejpsilon ^ {\ kappa \ lambda \ mu \ nu} g _ {\ alpha \ kappa} g _ {\ beta \ lambda} g _ {\ gamma \ mu} g _ {\ delta \ nu} \ ,,}$

é uma densidade escalar autêntica (uniforme) de peso +2.

Veja também

• Escalar relativo
• Pseudotensor
• Teorema de Noether
• Princípio de variação
• Lei de conservação
• Ação (física)

Notas

Referências

• Spivak, Michael (1999), A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, Vol I (3ª ed.), P. 134 .
• Kuptsov, LP (2001) [1994], "Tensor Density" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press .
• Charles Misner ; Kip S Thorne e John Archibald Wheeler (1973). Gravitação . WH Freeman . p. 501ss. ISBN   0-7167-0344-0 . CS1 maint: vários nomes: lista de autores ( link )
• Weinberg, Steven (1972), Gravitation and Cosmology , John Wiley & sons, Inc, ISBN   0-471-92567-5